国家开放大学《离散数学(本)》形考任务4参考答案

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一、公式翻译题（每小题4分，共16分）
1．将语句“我会英语，并且会德语．”翻译成命题公式．
参考答案：
设p.我学英语
Q:我学法语
则命题公式为:pΛQ
2．将语句“如果今天是周三，则昨天是周二．”翻译成命题公式．
参考答案：
设P：今天是周三
Q：昨天是周二
则命题公式为：P→Q
3.将语句“C3次列车每天上午9点发车或者10点发车”翻译成命题公式．
参考答案：
设P：C3次列车每天上午9点发车
Q：C3次列车每天上午10点发车
则命题公式为：┐(P↔Q)
4.将语句“小王是个学生，小李是个职员，而小张是个军人．”翻译成命题公式．
参考答案：
设P：小王是个学生
Q：小李是个职员
R:而小张是个军人
则命题公式为：P∧Q∧R
二、计算题（每小题12分，共84分）
1．设集合A={{a}, a, b }，B={a, {b}}
试计算：（1）A⋂B；（2）A ⋃ B；（3）A-(A⋂B)
参考答案：
（1）A ⋂B ={a}
（2）A ⋃ B ={{a},a,b{b}}
（3）A -(A ⋂B )={{a},a,b}-{a}={a,b}
2.设集合A ={2, 3, 6, 12, 24, 36}，B 为A 的子集，其中B ={6, 12}，R 是A 上的整除关系，试
（1）写出R 的关系表达式；
（2）画出关系R 的哈斯图；
（3）求出B 的最大元、极大元、最小上界．
参考答案：
（1）
R={<2,2>,<2,6>,<2,12>,<2,24>,<3,3>,<3,6>,<3,12>,<3,24>,<6,6>,<6,12>,<6,24>,<12,12>,<12,24>,<24,24>}
（2）关系R 的哈斯图
（3）B 的最大元素：12
极大元素：12
最小上届：12
3．设G =<V ，E >，V ={v 1, v 2, v 3, v 4}，E ={(v 1,v 2) , (v 1,v 3) , (v 1,v 4) , (v 2,v 3) , (v 3,v 4)}，试（1）给出G 的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；
（4）画出其补图的图形。

参考答案：
（1）G 的图形表示
（2）邻接矩阵
|0 1 1 11 0 1 01 1 0 1
1 0 1 0
| （3）每个结点的度数
Deg(v1)=3
Deg(v2)=2
Deg(v3)=3
Deg(v4)=2
（4）其补图的图形
4.求P →(Q ∧R ) 的合取范式与主析取范式.
参考答案：
P →(Q ∧R )
=┐P ∨(Q ∧R )
=（┐P ∨Q ）∧（┐P ∨R ）合取范式
=（┐P ∨Q ）∨（R ∧┐R ）∧（┐P ∨R ）
=（┐P ∨Q ）∨（R ∧┐R ）∧（┐P ∨R ）∨（Q ∧┐Q ）
=（┐P ∨Q ∨R ）∧（┐P ∨Q ∨┐R ）∧（┐P ∨┐Q ∨R ）主合取范式
=（┐P ∧┐Q ∧┐R ）∨（┐P ∧┐Q ∧R ）∨（┐P ∧┐Q ∧┐R ）（┐P ∧Q ∧R ）∨（P ∧┐Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧┐R ）∨（P ∧Q ∧R ）主析取范式
5．试画一棵带权为1, 2, 3, 3, 4的最优二叉树,并计算该最优二叉树的权．
参考答案：
最优二叉树的权为1×3+2×3+3×2+3×2+4×2=29
6．试利用Kruskal 算法求出如下所示赋权图中的最小生成树（要求写出求解步骤），并求此最小生成树的权．
参考答案：
W(v2,v6)=1,选(v2,v6)
W(v4,v5)=1,选(v4,v5)
W(v1,v6)=2,选(v1,v6)
W(v3,v5)=2,选(v3,v5)
W(v2,v3)=4,选(v2,v3)
最小生成树，如图
生成树的权W(T)=1+1+2+2+4=10
7.设谓词公式(∃x )P (x , y )→(∀z )Q (x , y , z )，试
（1）写出量词的辖域；
ο ο ο ο ο v 6 v 1 v 2 v 5 v 3 ο v 4 1 6 2 4 5 7 9 3 1 5 2 ο ο ο ο ο v 6 v 1 v 2 v 5 v 3
ο v 4 1 6 2 4 5
7 9 3 1 5 2
（2）指出该公式的自由变元和约束变元。

参考答案：
（1）∃x的辖域为P(x,y)→∀zQ(x, y, z)
∀z的辖域为Q(x, y, z)
（2）自由变元
P(x,y)→∀zQ(x, y, z)中的y
约束变元
P(x,y)→∀zQ(x, y, z)中的x。