人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)测试题(含解析)

初中数学八年级下册第十八章
平行四边形试题
一、单选题
1．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 恰好与点C 重合，点B 的对应点为点B ′，若DC ＝4，AF ＝5，则BC 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．10
D ．82．下列条件中，不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（ ）
A ．∠A ＝∠C
B ．∠A ＝∠B
C ．AC ＝B
D D ．AB ⊥BC 3．已知：在△ABC 中，AC =BC ，点D 、
E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点
F ，使得EF =DE ，那么四边形AFCD 一定是（ ）
A ．菱形
B ．矩形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形4．如图，在ABC 中，6AB CB ==，BD AC ⊥于点D ，F 在BC 上且2BF =，连接AF ，
E 为A
F 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．45．如图，点D ，
E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
3C ．3D ．3
2
6．如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连结AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到AED ，DE 与AC 交于点F ．若点F 是DE 的中点，9AD =， 2.5EF =，AEF 的面积为9，则点F 到BC 的距离为（ ）
A ．1.4
B ．2.4
C ．3.6
D ．4.8
7．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 是边AD 上的一点，将AEB △沿BE 所在的直线折叠，使点A 落在BD 上的点G 处，则AE 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．如图，在△ABC 中，BC =20，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是DE 上一点，DF =4，连接AF ，CF ，若∠AFC =90°，则AC 的长度为（ ）
A ．10
B ．12
C ．13
D ．20
的长为( )
A B ．3C ．D ．6
10．如图，等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于点E 、F ，CAD ∠的平分线分别交BE 、BC 于点M 、N ，连接DM 、EN ，下列结论：①DF DN =；②AE CN =；③DMN ∆是等边三角形；
④EN NC ⊥；⑤BE 垂直平分AN ，其中正确的结论个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题11．如图，在Rt ABC △中，90,30,,,ACB A D E F ∠=︒∠=︒分别为,,AB AD AC 的中点．若2EF =，则BC 的长度为_______．
12．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将 ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到 ABG ，若BE ＝2，则EF 的长为___．
13．已知菱形ABCD 两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH 的周长和面
积分别是菱形ABCD 周长和面积的2倍，则菱形EFGH 两条对角线的长分别是 _____．
14．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，已知DF ＝5，则AE ＝_____．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，M 是BC 的中点，P 是A ′B ′的中点，若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是_____．
三、解答题
16．如图，在ABCD 中，45BCD ∠=︒，BC BD ⊥，E 、F 分别为AB 、CD 边上两点，FB 平分EFC ∠．
(1)如图1，若2AE =，5EF =，求CD 的长；
(2)如图2，若G 为EF 上一点，且GBF EFD =∠∠，求证：2FG FD AB +=．17．下面是小东设计的“作平行四边形ABCD ，使∠B ＝45°，AB ＝2cm ，BC ＝3cm”的作图过程．作法：如图，①画∠B ＝45°；②在∠B 的两边上分别截取BA ＝2cm ，BC ＝3cm ．③以点A 为圆心，BC 长为半径画弧，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧
相交于点D ；则四边形ABCD 为所求的平行四边形．根据小东设计的作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵AB ＝ ，CB ＝ ，
∴四边形ABCD 为所求的平行四边形（
）（填推理的依据）．18．（1）【发现证明】
如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】
①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）
②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是______（不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =AF 的长．
19．如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，延长BC 至点F ，使CF BE =，连接AF ，DE ，DF ．
(1)求证：四边形AEFD 为矩形；
(2)若3AB =，4DE =，5BF =，求DF 的长．
参考答案：1．D
【详解】
解：由折叠得：FA＝FC＝5，
∵四边形ABCD是矩形，CD＝4，
∴△CDF是直角三角形，
∴DF==3，
∴BC＝AD＝AF+DF＝8；
故选：D．
2．A
【详解】
解：A、在▱ABCD，若∠A=∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在▱ABCD中，AC=BD，
则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在▱ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．B
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF 是平行四边形，
∵AD =DB ，AE =EC ，
∴DE =12
BC ，∴DF =BC ，
∵CA =CB ，
∴AC =DF ，
∴四边形ADCF 是矩形；
故选：B ．
4．B
【详解】
解：6,2CB BF == ，
4CF CB BF ∴=-=，
6,AB CB BD AC ==⊥ ，
AD CD ∴=（等腰三角形的三线合一），
即点D 是AC 的中点，
E 为A
F 的中点，
DE ∴是ACF 的中位线，
122
DE CF ∴==，故选：B ．
5．D
【解析】
略
6．B
【详解】
如图，连接BE ，交AD 于点O ．过点E 作EH BC ⊥于点H ，点F 作FG BC ⊥于点G ，由翻折可知AB =AE ，BAO EAO ∠=∠，BD =DE ，
又∵AO =AO ，
∴()BAO EAO SAS ≅ ，
∴BO =EO ，BOA EOA ∠=∠，
∴AD BE ⊥．
∵点F 是DE 的中点，EF =2.5，
∴DF =EF =2.5，BD =DE =5，
∴ADF 和AEF 等底同高，
∴18ADE AEF ADF S S S =+= ．∵12
ADE S AD OE =⋅ ，∴19182
OE ⨯⨯=，解得：4EO =．
∴在Rt ODE △中，3OD ===，∵8BE OB OE =+=．∴11831222
BDE S BE OD =⋅=⨯⨯= ．又∵11522BDE S BD EH EH =
⋅=⨯⨯ ，∴15122
EH ⨯⨯=，解得： 4.8EH =．
∵点F 是DE 的中点，EH BC ⊥，FG BC ⊥，
∴FG 为DEH △中位线，∴1 2.42
FG EH ==．
故选B ．
7．B
【详解】
解：根据题意得： 6BG AB AE EG BGE A ===∠=∠，， ，
在矩形纸片ABCD 中，90BGE A ∠==︒ ，
∴10BD === ，∴4DG BD BG =-= ，
设AE x = ，则,8EG x DE x ==- ，在Rt DEG △ 中，222DG EG DE += ，∴()22248x x +=- ，解得：3x = ，即3AE = ．
故选：B
8．B
【详解】
解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE =12BC =10，
∴EF =DE -DF =10-4=6，
在Rt △AFC 中，AE =EC ，
∴AC =2EF =12，
故选：B ．
9．C
【详解】
解：∵∠AOD =120°，∠AOD +∠AOB =180°，∴∠AOB =60°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA =OB =OC ，∠ABC =90°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB =OA =OC ，
∵AB =3，
∴AC =6，
∴BC = =故选：C ．
10．C
【详解】
解：90BAC ∠=︒ ，AC AB =，AD BC ⊥，
45ABC C ∴∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=︒=∠，BE 平分ABC ∠，
122.52
ABE CBE ABC ∴∠=∠=∠=︒，9022.567.5BFD AEB ∴∠=∠=︒-︒=︒，
67.5AFE BFD AEB ∴∠=∠=∠=︒，
AF AE ∴=，
M 为EF 的中点，
AM BE ∴⊥，
90AMF AME ∴∠=∠=︒，
9067.522.5DAN MBN ∴∠=︒-︒=︒=∠，
在ΔFBD 和ΔNAD 中
FBD DAN BD AD
BDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，()ΔΔFBD NAD ASA ∴≅，
DF DN ∴=，故①正确；
∵AN 平分∠CAD ，∴122.52
CAN DAN CAD ABF ∠=∠=∠=︒=∠，
在AFB ∆和ΔCNA 中4522.5BAF C AB AC
ABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，()ΔΔAFB CAN ASA ∴≅，
AF CN ∴=，
AF AE =
，
AE CN ∴=，故②正确；
= AE AF ，M 为EF 的中点，
AM EF ∴⊥，
90AMF ∴∠=︒，
同理90ADB ∠=︒，
BFD AFE ∠=∠ ，
BE 平分ABC ∠，
MBA MBN ∴∠=∠，
AN BM ⊥ ，
90AMB NMB ∴∠=∠=︒，
1801809022.567.5BNM BAM AMB ABM ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，BA BN ∴=，
AM MN ∴=，
BE ∴垂直平分AN ，故⑤正确；
22.522.545DMN DAN ADM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
45BMD ∴∠=︒，
4522.567.5DNA C CAN ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ，
1804567.567.5MDN DNM ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠，
DM MN ∴=，
ΔDMN ∴是等腰三角形，
而67.5MND ∠=︒，
ΔDMN ∴不是等边三角形，故③错误，
AM MN = ，AN BE ⊥，
AE EN ∴=，
NE NC ∴=，
45NEC C ∴∠=∠=︒，
90ENC ∴∠=︒，
EN NC ∴⊥，故④正确；
即正确的有4个，
故选：C ．
11．4
【详解】
解：∵,E F 分别为,AB AC 的中点．
∴24CD EF == ，
∵90ACB D ∠=︒,为AB 的中点．∴12
CD AB BD == ，
∵30A ∠=︒，
∴9060B A ∠=︒-∠=︒ ，
∴BCD △ 是等边三角形，
∴4BC CD ==．
故答案为：4
12．5
【详解】
解：由旋转的性质可知：AF AG =，DAF BAG ∠=∠，90D ABG ∠=∠=︒，180ABG ABE ∠+∠=︒ ，∴点G 在CB 的延长线上，
四边形ABCD 为正方形，
90BAD ∴∠=︒．
又45EAF ∠=︒ ，
45BAE DAF ∴∠+∠=︒．
45BAG BAE ∴∠+∠=︒．
GAE FAE ∴∠=∠．
在GAE ∆和FAE ∆中，
AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，()GAE FAE SAS ∴∆≅∆
，
EF GE
∴=，
2
EF GE GB BE DF
∴==+=+，
222
EF CF EC
=+
，
222
(2)(6)(62)
DF DF
∴+=-+-，
3
DF
∴=，
5
EF
∴=，
故答案为：5．
13．-
【详解】
解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴OA=1
2
AC=4，OB=
1
2
BD=3，AC⊥BD，
∴AB，
∴菱形ABCD的周长是：5×4=20，面积是：1
2
×6×8=24．
∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，
∴菱形EFGH的边长是10，
设菱形EFGH的对角线为2a，2b，
∴a2+b2=100，1
2
×2a×2b=48，
∴a，b
∴菱形EFGH两条对角线的长分别是
故答案为：2，
14．5
【详解】
∵D，F分别为AB，AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，
∴BC＝2DF＝10，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
152
AE BC ==故答案为：5．
15．3
【详解】
解：连结PC ，
∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠BAC ＝30°，
∴AB =2BC =4，
∵将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，
∴A B ''=AB =4，
∵M 为BC 中点，
∴CM =112122
BC =⨯=，∵点P 为A B ''的中点，△A B C ''是直角三角形，
∴CP =A B 114222
¢¢==，根据两点间距离得出PM ≤PC +CM ，
当点P 、C 、M 三点共线时PM 最大，PM 最大=PC +CM =2+1=3．
故答案为：3．
16．(1)7
(2)见解析
(1)
解：在ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，
∴∠EBF =∠CFB ，
∵FB 平分EFC ∠，
∴∠EFB =∠CFB ，
∴∠EFB =∠EBF ，
∴BE =EF =5，
∵AE =2，
∴CD =AB =AE +BE =7；
(2)
证明：如图，再CF 上截取FN =FG ，
∵GFB NFB BF BF GF FN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴()BFG BFN SAS ≅ ，
∴∠BGF =∠BNF ，
∵180EFD BFG BFN ︒∠+∠+∠= ，∠BFG +∠BGF +∠GBF =180°，∠GBF =∠EFD ，∴∠BGF =∠BFN ，
∴∠BFN =∠BNF ，
∴∠BFD =∠BNC ，
∵BC ⊥BD ，
∴∠CBD =90°，
∵∠BCD =45°，
∴∠BDC =∠BCD =45°，
∴BC =BD ，
∴△BDF ≌△BCN （AAS ），
∴NC =FD ，
∴CD =DF +FN +CN =2FD +FG ，
∵AB =CD ，
∴FG +2FD =AB ．
17．(1)见解析
(2)CD ；AD ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(1)
补全图形如下，
．
(2)
∵AB =CD ，CB =AD
∴四边形ABCD 为所求的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：CD ，AD ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
18．（1）见解析；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；②BE EF DF =+，见解析；
（3）【详解】
（1）证明：把ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADG ∆，如图1，
BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，90B ADG ∠=∠=︒，
180ADF ADG ∴∠+∠=︒，
F ∴，D ，
G 三点共线，
45EAF ∠=︒ ，
45BAE FAD ∴∠+∠=︒，
45DAG FAD ∴∠+∠=︒，
EAF FAG ∴∠=∠，
AF AF = ，
()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，
EF FG DF DG ∴==+，
EF DF BE ∴=+；
（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；
证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，
EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，
AF AF = ，
()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，
EF FM DF DM DF BE ∴==-=-；
②如图3，将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，
AN AF ∴=，90NAF ∠=︒，
45EAF ∠=︒ ，
45NAE ∴∠=︒，
NAE FAE ∴∠=∠，
AE AE = ，
()AFE ANE SAS ∴∆≅∆，
EF EN ∴=，
BE BN NE DF EF ∴=+=+．
即BE EF DF =+．
故答案为：BE EF DF =+．
（3）解：由（1）可知AE AG ==
正方形ABCD 的边长为6，
6DC BC AD ∴===，
∴3===DG ．3BE DG ∴==，
633CE BC BE ∴=-=-=，
设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC 中，
222CF CE EF += ，
222(6)3(3)x x ∴-+=+，
解得：2x =．
2DF ∴=，
AF ∴===．19．(1)见解析(2)
125
(1)
∵BE ＝CF ，
∴BE +CE ＝CF +CE ，即BC ＝EF ，
∵ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴AD ＝EF ，
∵AD ∥EF ，
∴四边形AEFD 为平行四边形，
∵AE ⊥BC ，
∴∠AEF ＝90°，
∴四边形AEFD 为矩形．(2)
∵四边形AEFD 为矩形，∴AF ＝DE ＝4，DF =AE ，∵3AB =，4DE =，5BF =，∴AB 2+AF 2＝BF 2，
∴△BAF 为直角三角形，∠BAF ＝90°，∴1122ABF S AB AF BF AE =⨯=⨯ ，∴AE =12
5，∴12
5DF AE ==．。