概率统计习题与解答

概率论与数理统计习题与解答
第一章 随机事件与概率
内容概要：
1.随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.
2.样本空间 随机现象的一切可能结果组成的集合称为样本空间.}{ω=Ω，其中：ω：基本结果，又称为样本点.
3.随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件（事件），用C B A ,,,…表示. Ω：表示必然事件，Φ：表示不可能事件.
4.随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.用,,,Z Y X …表示.
5.事件间的关系
01.包含关系：若属于A 的样本点必属于B ，则称A 被包含在B 中。

,B A ⊂或A B ⊃.
02.相等关系：若,B A ⊂且A B ⊂，则B A =.
03.互不相容：若A 与B 没有共同的样本点，则称A 与B 互不相容。

即事件A 与B 不可能同时发生.
6.事件运算
01.并：B A ⋃.事件A 与B 至少有一个发生.
02.交；B A ⋂或AB .事件A 与B 同时发生.
03.差：B A -.事件A 发生而B 不发生.
04.对立事件：A 的对立事件：A .即：A 不发生.
7.事件的运算性质
01交换律：A B B A ⋃=⋃，BA AB =
02结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃,
)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂.
3 分配率：（B A ⋃）BC AC C ⋃=⋂，
))(()(C B C A C B A ⋃⋃=⋃⋂. 04对偶率：B A ⋃=B A ⋂， B A ⋂=B A ⋃.
8.事件域 含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类f 称为事件域.具体说，事件域f 满足：
○
1f ∈Ω， ○
2若,f A ∈则f A ∈， ○
3若,...)2,1(,=∈n f A n ，则可列并 +∞=1n n A f ∈.
习题与解答
1.1随机事件及其概率
★1. 设,,A B C 为三事件，试表示下列事件：
（1）,,A B C 都发生或都不发生；
（2）,,A B C 中不多于一个发生；
（3）,,A B C 中不多于两个发生；
（4）,,A B C 中至少有两个发生。

解 （1）ABC ABC 。

（2）ABC ABC ABC ABC 。

（3）ABC ABC A B C Ω-==。

（4）AB AC BC 。

★2. 请指明以下事件A 与B 间的关系：
（1）检查两件产品，记事件A =“至少有一件不合格品”，B =“两次检查结果不同”；
（2）设T 表示轴承寿命，记事件A ={5000T h >}，B ={8000T >}。

解 （1）A B ⊃。

（2）A B ⊃。

★3. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A ={恰有一弹击中飞机}，B ={至少有一弹击中飞机}，C ={两弹都击中飞机}，D ={两弹都没击中飞机}。

随机变量X 表示击中飞机的次数，试用X 表示事件
,,,A B C D 。

进一步问,,,A B C D 中哪些是互不相容事件？哪些是对立事件？
解 {}1A X ==，{}1B X =≥，{}2C X ==，{}0D X ==。

互不相容的事件为：A 与C ；A 与D ；B 与D ；C 与D 。

对立的事件为：B 与D 。

★4.请叙述下列事件的对立事件：
（1） A =“掷两枚硬币，皆为正面”；
（2） B =“射击三次，皆命中目标”；
（3） C =“加工四个零件，至少有一个合格品”。

解 （1） A =“掷两枚硬币，至少有一个反面”；
（2） B =“射击三次， 至少有一次不命中目标”；
（3） C =“加工四个零件，全为不合格品”。

★5. 如果A 与B 互为对立事件，证明：A 与B 也互为对立事件。

证明：因为 A B =，B A =，所以A 与B 仍互为对立事件。

1.2 概率的定义及其确定方法
★1.掷两颗骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为7；
（2）点数之和不超过5；
（3）两个点数中一个恰是另一个的两倍。

解 样本空间{}(,):,1,2,3,4,5,6i j i j Ω==共有36个样本点，
A ={点数之和为7}={（1,6）
，（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）}， B ={点数之和不超过5}={（1,1）
，（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（4,1）}，
C ={两个点数中一个恰是另一个的两倍}={
（1,2），（2,1），（2,4），（4,2），（3,6），（6,3）}. 所以，()16,P A = ()518,P B = ()16,P C =
★2.考虑一元二次方程20,x Bx C ++=其中,B C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。

解 按题意可知：样本空间{}(,):,1,2,3,4,5,6B C B C Ω==共
有36个等可能的样本点，所求的概率为
22(40)(4)p P B C P B C =-≥=≥，
而
{}2(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)
(6,1)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(4,3)4(5,3)(6,3)(4,4)(5,4)(6,4)(5,5)
(6,5)(5,6)(6,6)B C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 含有19个样本点，所以 1936
p =
. 同理 2(4)q P B C ==，
而{}
{}24(2,1),(4,4),B C ==含有2个样本点。

所以 213618
q ==. ★3.口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取3个，记下取出球的号码，试求：
（1）最小号码为5的概率；
（2）最大号码为5的概率。

解 从10个球中任取3个，有3
10C 种等可能的取法。

设A =“最小号码为5”， B =“最大号码为5”。

事件A 发生须从6，7，8，9，10中任取2个，再取5，共有1125C C 种不同的
取法. 所以 121)(3101125==C C C A P .
同理： 201)(310
1124==C C C B P . 另解 记X 为取出球的最小号码，Y 为取出球的最大号码，则
12
1)6()5()5()(3103531036=-=≥-≥===C C C C X P X P X P A P . 20
1)4()5()5()(3103431035=-=≤-≤===C C C C Y P Y P Y P B P . ★4.n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.
解法1 设甲已坐好，再考虑乙的坐法，共有1-n 个位置可坐，且具有等可能性.所以样本空间共有1-n 个样本点.甲乙相邻又有两种坐法. 故 1
2-=n P . 解法2 n 个人随机的围圆桌而坐，共有)!1(-n 种不同的坐法，甲乙2人相邻可看做是)1(-n 个人围圆桌而坐，有)!2(-n 种不同的坐法，其中甲乙的坐法又有2种. 所以 1
2-=n P . ★5.一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾.然后随机地把六根头两两相接，六根尾也两两相接.求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
解法1：因6根尾两两相接可随意进行，不会影响成环。

故只需考虑6根头两两相接可能出现的情况：第一步，先从6个头中任取2个打一个结，再从余下的4个头中任取2个打一个结，最后将余下的2个头接在一起。

共
有90222426=C C C 种不同结果.而要“成一个环”=A 发生必须有选择地打好三个结，第一个结有1
416C C 种不同打法；第二个结只有2种不同打法；第三个结只有1种不同打法.所以事件A 包含的结果数有481246=⨯⨯⨯个. 15
89048)(==A P . 解法2：若考虑6个头两两相接的前后顺序，则“6个头两两相接”共有6！种不同结果。

事件A =“成一环”⇔先从6个头种选一个，与余下的
5个头中的4个之一相接成第一个结；再从未接的4个头中任选一个，与余下的2个头中的1个相接成第二个结；最后从未接的2个头中任选 一个与另一个相接。

共有6×4×4×2×2×1种接法.
15
8!6122446)(=⨯⨯⨯⨯⨯=A P . 解：6个头两两连接（无论如何连接）将构成3根草。

然后连接6个尾。

从6个尾中任取两个连接有26C 种可能。

然后将剩下的4个尾
取两个连接有24C 种可能，最后将剩下的两个尾连接起来有2
2C 种可能。

故总样本点数为26C 24C 22C =90.为使连接后成一个环，3根草的每一根的两个尾不能连接。

先从6个尾取两连接，有2
6C 种可能，减去3，得26C -3.无论何种情况，这时变成了2根草4个尾，每根草2个尾，为使两根成环，每根草的两个尾不能连接。

这样从四个尾中取两个连接，有24C 种再减2，得24C -2。

最后将剩下的2个尾连接起来（有2
2C 种可能）即成环。

综上所述有组合数为（26C -3）⨯（24C -2）⨯22C 。

故所求概率为： P=222642222642(3)(2)C C C C C C --=815 ★6.把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.
解法1：（“0”和“1”都是不可辨的。

）考虑n 个“1”的放法：2n 个位置上“1”占有n 个位置，所以共有n
n C 2种不同的放法.而事件A =“没有两个“1”连在一起”相当于在n 个“0”之间及两头共1+n 个位置放1，共有n n C 1+种放法.所以
n n n n n n C n C C A P 2211)(+==+.
解法2：（0和1可辨）n 个0和n 个1随机的排列，共有)!2(n 种等可能的排法.而而事件A =“没有两个“1”连在一起”发生相当于先将n 个0全排列，有!n 种排法；再将n 个1排在n 个“0”之间及两头共1+n 个位置
上，有)!1(1+=+n P n n 种排法，所以事件A 包含!n )!1(+n 中排法.
n n
C n n n n A P 21)!2()!1(!)(+=+=. ★7.将n 个完全相同的球（称为不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率；
（2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率。

解：将n 个不可辨的球随机的放入N 个盒子中，因每个盒子的容量不限，只须在N 个盒子中可重复地选取n 次即可，不需再对球进行排列，属于可重复的组合，共有n
n N C 1-+种等可能的选法.
（1）A =“某个指定的盒子恰有k 个球”相当于将余下的k n -个球随
机地放入另外的1-N 个盒子中，有k n k n N k n k n N C C ---+---+-=211种放法. n n N k n k n N C C A P 1
2)(-+---+=，n k ≤≤0. (2)B =“恰好有m 个空盒”相当于先从N 个盒子中任选m 个作为空盒，有n N C 种选法；再从n 个不可辨的球中拿出m N -个往余下的m N -个盒子中各放一个，由于球不可辨，只有一种放法；最后将余下的N m n m N n -+=--)(个球放入m N -个盒子中，属于可重复组合，有11
)(1111)()(----+-----+--+--++-===m N n N m n n n N m n n N m n N m n m N C C C C 种放法.所以 n n N m N n m N C C C B P 1
11)(-+---=. n N m -≥. （3）事件C =“某指定的m 个盒子恰有j 个球”意味着将j 个不可辨
球放入指定的m 个盒子，有i j m C 1-+种放法；余下的j n -个不可辨球放入余
下的m N -个盒子中，有j n j n m N C ---+-1种放法.所以事件C 共包含
i j m C 1-+j n j n m N C ---+-1个样本点.
n
n N j n j n m N j j m C C C C P 111)(-+---+--+=， n j N m ≤≤≤≤0,1.
1.3 概率的性质
★3.一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到二级品的概率.
解 设取到二级品的概率为p ，则取到一级品的概率为2p ，取到三级品的概率为0.5p ，由20.51p p p ++=解得27p =.
★4.从0,1,2，…，9等10个数字中任意选三个不同的数字，试求下列事件的概率
（1）1A ={三个数字中不含0和5}；
（2）2A ={三个数字中不含0或5}；
（3）3A ={三个数字中含0但不含5}.
解 记A ={三个数字中不含0}，B ={三个数字中不含5}.则
393107()10C P A C ==， 393107()10C P B C ==， 383107()15
C P AB C ==. 因为123,,,A AB A A B A AB ===所以
（1）17()()15P A P AB ==
. （2）214()()()()()15
P A P A B P A P B P AB ==+-=
. （3）3777()()()()101530P A P AB P B P AB ==-=-=. ★6.某工厂一个班组共有男工7人，女工4人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有一个女工的概率.
解 设事件A 为“3个代表中至少有一个女工”，则A 为“3个代表全为男工”，因为
373117()33
C P A C ==， 所以
26()1()33
P A P A =-=. ★7. 一个赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？
解 设事件A 为“一颗骰子掷4次，至少出现一次6点”，则A 为“一颗骰子掷4次，不出现6点”.于是
4
5()1()10.51776P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
. 又设事件B 为“两颗骰子掷24次，至少出现一次双6点”，则B 为“两颗骰子掷24次，不出现双6点”.于是 2435()1()10.491436P B P B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
. 由此可看出：赌徒的感觉是不对的，两者的概率相差0.0263，而
概率相差0.0263的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能识别.
★10. 甲掷硬币1n +次，乙掷硬币n 次，求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
解 记1X =甲掷出的正面数，0X =甲掷出的反面数=11n X +-，
1Y =乙掷出的正面数，0Y =乙掷出的反面数=1n Y -.
又记
{}11A X Y =>， {}00B X Y =>，
由于正反面的地位是对称的，因此()()P A P B =.又因为
{}{}{}00111111B X Y n X n Y X Y =>=+->-=-<{}11X Y A =≤=
所以 ()()()P B P A P A ==，得()0.5P A =.
★14.某班n 歌战士各有一支归个人保管使用的枪，外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，求至少有一人拿到自己枪的概率.
解 这是一个配对问题.设i A ={第i 个战士拿到自己的枪}，
1,2,...,i n =.则所求的概率为)...(21n A A A P .
n
A P A P A P n 1
)(...)()(21=
===； )
1(1)(...)()(13121-=
===-n n A A P A A P A A P n n ； （共2
n C 个）
)
2)(1(1
)(...)()(12421321--=
===--n n n A A A P A A A P A A A P n n n ；
（共2
n C 个）
……
!
1)...(21n A A A P n =
. 所以由概率的加法公式得
!
1)1(...)2)(1(1)1(1)...(13221n n n n C n n C n n A A A P n n n n --+---+--=
!
1
)1(...!41!31!2111n n --++-+-
=. （交错数列） 如5=n 时，6333.0=P ；当10≥n 时，此概率近似为
6321.011=--e .
1.4 条件概率
★1. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占3%.
（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （1）已知一学生数学不及格，他数学也不及格的概率是多少？
解 记事件A 为“数学不及格”，B 为“数学不及格“，由题意知
()0.15,P A =()0.05,P B = ()0.03,P AB =由此得
()()0.2()P AB P B A P A =
=. ()
()0.6()
P AB P A B P B ==.
★4. 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率
为0.4.问现年10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？
解 记X 为此种动物的寿命，由题意知
(10)0.8,(15)0.4P X P X >=>=.又{}{}1510X X >⊂>，所以
(15,10)(15)
(1510)0.5(10)(10)
P X X P X P X X P X P X >>>>>=
==>>.
★11. 口袋中有1个白球1个黑球，从中任取1个，若取出白球，则
试验停止，若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率：
（1）取到第n 次，试验没有结束； （2）取到第n 次，试验恰好结束.
解 记事件i A 为“第i 次取到黑球”，1,2,...i =。

（1）所求概率为12(...)n P A A A ，用乘法公式得
12(...)n P A A A =1231
(23411)
n n n ⋅⋅=
++. （2）所求概率为12(...)n P A A A ，用乘法公式得
12(...)n P A A A =12311
...2341(1)
n n n n n n -⋅⋅⋅=++.
★14. 两台机床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，
第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件数多一倍.
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.
解 记事件A 为“取到第一台车床加工的零件”，则()2P A =，又记事件B 为“取到合格品”. （1）由全概率公式
()()()()()0.96P B P A P B A P A P B A =+=.
（2）由贝叶斯公式
()()
()0.5()
P A P B A P A B P B =
=.
★19. 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测.现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
解 记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则
按题意有 ()1,()0.25P A B P A B ==.
（1）此时有()()0.5,P B P B ==由贝叶斯公式得
()()()0.8()()()()
P B P A B P B A P B P A B P B P A B =
=+，
（2）此时有()0.2,()0.8,P B P B ==由贝叶斯公式得
()()()0.5()()()()
P B P A B P B A P B P A B P B P A B =
=+.
★21. 将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率.
解 设事件n A 为“恰好结成n 个圈”，记()n n p P A =，设事件B 为“第一根绳子的两个头相接成圈”，则由全概率公式得
()()()()()n n n P A P B P A B P B P A B =+，
容易看出，
1
()21
P B n =
-， ()0n P A B =， 11()()n n n P A B P A p --== ， （即第一根绳子相接成圈后，要接成n 个圈的概率应是余下的1n -根绳子结成1n -个圈的概率）.
所以得递推公式 11
21
n n p p n -=-， 2,3,...n = 所以 1
(21)!!
n p n =
-.
第二章 随机变量及其分布
内容概要
1.随机变量 定义在样本空间Ω上的实值函数)(ωX X =称为随机变量.
01仅取有限个或可列个值得随机变量称为离散型随机变量. 02取值充满某个区间(,)a b 的随机变量称为连续型随机变量.其中
a 可为-∞，
b 可为+∞.
2.分布函数 设X 是随机变量，对任意实数称)()(x X P x F ≤= 为随机变量X 的分布函数.分布函数具有如下三条性质：
01单调性 )(x F 是单调非减函数，即对任意的12x x <，有
)()(21x F x F ≤.
02有界性 对任意的x ，有1)(0≤≤x F ，且
0)()(lim ==-∞-∞
→x F F x ， 1)()(lim ==+∞+∞
→x F F x .
03右连续性 )(x F 是x 的右连续函数，即对任意的0x ，有
)()(0lim 0
x F x F x x =+→， 即)()0(00
x F x
F =+.
3.离散型随机变量的规律分布列 如果离散随机变量X 的所有可能取值：
12,,...,...n x x x ，则称X 取i x 得概率：
,)()(i i i p x p x X P === 1,2,...,...i n = （2.1.2）
为X 的概率分布列.
或用列表的方式表示
分布列i p 具有如下两条性质：
1非负性：()0,
1,2,...;i P x i ≥= 0
2正则性：1)(1
=∑∞
=i i x p .
4.连续型随机变量的规律密度函数 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若存在可积的,,0)(R x x p ∈≥使得对任意实数x 有⎰
∞
-=
x
dt t p x F )()(则称
X 为连续随机变量.称)(x p 为X 的概率密度函数. 密度函数具有两条基本
性质
01非负性：0)(≥x p ；0
2正则性：⎰+∞
∞
-dx x p )(.
连续型随机变量的分布函数是(,)-∞+∞上的连续函数，他可能在有限个或可列个点上不可导，除此之外，有)()(x p x F ='. 连续型随机变量有0)(==a X P ，从而有
()P a X b <≤==≤≤)(b X a P ()P a X b <<=()
P a X b ≤<()b
a p x dx =⎰.
5.分布在离散情况下可以是分布列或分布函数，称为离散分布；在连续
情况下可以是密度函数或分布函数，称为连续分布，这是常有的分布，除此之外，还有既非离散又非连续的分布.
6.设随机变量X 的分布函数为()F x ，则可用()F x 表示下列概率：
01()()P X a F a ≤=；
02()(0)P X a F a <=-；
03()1()P X a F a >=-；
04)0()()(--==a F a F a X P ；
05()1(0)P X a F a ≥=--；
06()()()()P X a P a X a P X a P X a <=-<<=<-≤-
(0)()F a F a =---.
习题解答
2.1随机变量及其分布
★2. 一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数.
（1）试求X 的分布列； （2）写出X 的分布函数.
解 （1）一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果，X 表示两次中所得的最小点数，则X 的可能取值为1,2,3,4,5,6，由确定概率的古典方法得
11(1)36P X ==
， 9(2)36P X ==， 7(3)36P X ==， 5(4)36P X ==， 3(5)36P X ==， 1(6)36
P X ==. 列表：
(2)由分布函数的定义知
0,
1,1136,12,2023,()()2736,34,3236,45,3536,56,1,
6.x x x F x P X x x x x x <⎧⎪≤<⎪
⎪≤<⎪
=≤=≤<⎨⎪≤<⎪
≤<⎪⎪
≥⎩
★4.解:需利用条件概率.由题意知，X 的取值：0，1，2，3，设i A =“取到第i 个盒子”，3,2,1=i ，由全概率公式：
)
0()()0()()0()()0(332211A X P A P A X P A P A X P A P X P =+=+=== =6
1
]0[31353533353
4=++C C C C C ，
)1()()1()()1()()1(332211A X P A P A X P A P A X P A P X P =+=+===
=21
][3135
2213352312352
411=++C C C C C C C C C ， )2()()2()()2()()2(332211A X P A P A X P A P A X P A P X P =+=+===
=103
]0[3135
1
22335132235=++C C C C C C C ， )3()()3()()3()()3(332211A X P A P A X P A P A X P A P X P =+=+===
=301
]00[3135
3
3=++C C . 所以有 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛30110321613210P X
★7. 随机变量X 的分布函数为
0,1,()ln ,
1,1,x F x x x e x e
<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
试求(2),(03),(2 2.5)P X P X P x <<≤<<.
解 因X 是连续型随机变量，所求概率分别为
(2)(2)ln 2P X F <==， (03)(3)(0)1,P X F F <≤=-=
(2 2.5)(2.5)(2)ln 2.5ln 2P X F F <<=-=-.
★10. 随机变量X 的密度函数为
1,11,
()0,
.
x x p x ⎧--≤≤=⎨
⎩其它
试求X 的分布函数.
解 由于密度函数在∞∞（-，+）上分为四段，所以分布函数也要分四段设立，具体如下：
1,()0x F x <-=；
211
11,
()(1)22
x x x F x t dt x --≤<=+=++⎰；
20
101
01,()(1)(1)22
x
x x F x t dt t dt x -≤<=++-=-++⎰⎰；
1,()1x F x ≥=.
★13. 随机变量X 的分布函数为
20,
,(),
0,1,1
x F x Ax x x <0⎧⎪=≤<1⎨⎪≥⎩
试求：
（1）系数A ；
（2）X 落在区间（0.3,0.7）内的概率； （3）X 的密度函数.
解 （1）由()F x 的连续性，00
2
1
1
1(1)lim ()lim x x F F x Ax A --→→====， 所以，1A =.
（2）(0.30.7)0.4P X <<=， （3）X 的密度函数为2,01,
()()0,.
x x p x F x ≤≤⎧'==⎨
⎩其它
★14. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，（单位h ）密度函数为
2,00.5,
()0,.
cx x x p x ⎧+≤≤=⎨
⎩
其它
（1）确定常数c ； （2）X 的分布函数；
（3）求在20min 内完成一道作业的概率； （4）求在10min 以上完成一道作业的概率. 解 （1）因为
0.5
20
1
1()248
c cx x dx =++=
+⎰，得21c =. （2）由 ()()x
F x p t dt -∞
=⎰
得
32
0,0,1()7,
00.5,21,0.5.
x F x x x x x <⎧⎪
⎪=+≤<⎨⎪
≥⎪⎩
（3）所求概率为(13)(11754P X F ≤==. （4）所求概率为(16)1(16)103108P X F >=-=.
★15. 设随机变量X 与Y 同分布，X 的密度函数为
23,01()8
0,
.
x x p x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
已知事件{}A X a =>与{}B Y a =>独立，且()34P A B =，求常
数a .
解 由同分布可得()()P A P B =，从而
23
()()()()2()(())4
P A B P A P B P AB P A P A ==+-=-， 解得()0.5P A =，又有
2
2331
0.5()()188
a
P A P X a x dx a ==>==-⎰
， 解得 1.5874a =
=.
注：随机变量X 与Y 同分布，并不意味着X Y =，但当X Y =时，
则X 与Y 同分布.
★16. 证明：∵ )(x p 是偶函数，∴)()(x p x p =-，且由：
⎰
⎰
+∞
+∞
∇∞
-==0
)(2)(1dx x p dx x p 得：2
1)(0
=
⎰
+∞
dx x p . （1）⎰⎰
=⎰
∞
++∞
+-=-∞
--=--=-a
a
x
t a
t d t p t d t p dx
x p a F )()()()()()(
).(1)()()(a F dt t p dt t p dt t p a a
-=-==
⎰⎰⎰
∞
-+∞∞
-+∞
∴⎰⎰⎰
⎰-=
-==
-+∞
+∞a
a
a
dt t p dt t p dt t p dt t p a F 0
)(21)()()()(. （2）)()()()(a F a F a X a P a X P --=-= 1)(2)](1[)(-=--=a F a F a F .
（3）)](1[2]1)(2[1)(1)(a F a F a X P a X P -=--=-=
2.2 随机变量的数学期望
★3. 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布
求该地区发生重大交通事故的月平均数.
解
()E X =
10.36220.21630.08740.02650.00660.002⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.201=
★6. 有10只同种电器元件，其中2只是不合格品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只，试求在取得合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望.
解 记i A 为“第i 次取到合格品”，1,2,3,i =随机变量X 为“取得合格品之前，已取出的不合格品数”.则
18(0)()10P X P A ===
， 12288
(1)()10945
P X P A A ===⋅=， 1232181
(2)()109845
P X P A A A ===⋅⋅=
. 所以， 812
()1245459
E X =⨯+⨯=.
★9. 某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间（0,1）上取值的
随机变量，密度函数为
34(1),01,
()0,
.
x x p x ⎧-<<=⎨
⎩其它
试求平均市场占有率.
解 平均市场占有率就是期望.
1
301
E(X)=4(1)5
x x dx -=⎰.
★13. 设随机变量X 的密度函数
1cos ,0,()22
0,
.
x x p x π⎧≤≤⎪
=⎨⎪⎩其它
对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 得数学期望.
解 事件“观察值大于3π”可表示为{}3X π>，从而
3
31(cos sin 0.5222
x x p P X dx π
π
πππ=>===⎰
，
而Y 的分布列为
44()0.5(10.5),k
k k P Y k C -==- 0,1,2,3,4.k =
所以
4
2
2440()0.5 5.k
k E Y k C ===∑
★15. 设X 为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明 1
()()k E X P X k +∞
==
≥∑.
证明 由于1
()()k E X kP X k +∞
===∑存在，所以该级数绝对收敛，
从而有
11111
()()()()()k k k i i k i i E X kP X k P X k P X k P X i +∞+∞
===+∞
+∞
+∞
===⎡⎤====⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
===≥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑
2.3 随机变量的方差与标准差
★2. 有10只同种电器元件，其中2只是不合格品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只，试求在取得合格品之前，已取出的不合格品只数的方差.
解 设随机变量X 为“取得合格品之前，已取出的不合格品数”.则X 的分布列为
由此得
2(),9E X = 24()15E X =， 2
42()0.2173159D X ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
.
★3. 已知2
()2,()5,E X E X =-=-求(13)D X -.
解
(13)D X -=22
9()9()(())9(54)9D X E X E X ⎡⎤=-=⨯-=⎣⎦.
★5. 设随机变量X 的密度函数
1,
10,()1,
01,0,x x p x x x +-≤≤⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
其它.
试求(32)D X +.
解 因为0
110
11
()(1)(1)066
E X x x dx x x dx -=
++-=-+=⎰⎰， 0122
210111()(1)(1)12126
E X x x dx x x dx -=++-=+=⎰⎰，
所以221()()()6D X E X E X ⎡⎤=-=⎣⎦，
所以(32)D X +9() 1.5D X ==.
★6. 试证：对任意的常数()c E X ≠，有
2
2()(())()D X E X E X E X c =-<-.
证
[]
[]222
2
2
()()()()()()()
D X D X c
E X c E X c E X c E X c E X c =-=---=---<-
★7. 设随机变量X 仅在区间[],a b 上取值，试证
2
(),
()2b a a E X b D X -⎛⎫
≤≤≤ ⎪⎝⎭
.
证 （仅对连续型随机变量进行证明），因为
()()()b
b
a
a
E X xp x dx b p x dx b =≤=⎰⎰，
同理可证：()E X a ≥.由上题的结论知
22
22()(())()222a b a b b a D X E X E X E X E b ++-⎛
⎫⎛⎫=-≤-≤-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
★11. 已知正常成年男性血液中的白细胞数平均是9
7.310⨯，标准差是9
0.710⨯.试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在
95.210⨯至99.410⨯之间的概率的下界.
解 记X 为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知
9()7.310E X =⨯， 9()0.710X σ=⨯.
由切比雪夫不等式得
99999(5.2109.410)(() 2.110)
0.71018112.11099P X P X E X ⨯<<⨯=-<⨯⎛⎫⨯-=-= ⎪⨯⎝⎭
2.4 常用离散分布
★3. 某射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3,.试求该射手三次射击所得环数不少于29环的概率.
解 记X 为三次射击中命中10环的次数，则X ～(3,0.7)B .因为“所得环数不少于29环”相当于“三次射击至少两次命中10环”，故所求概率为
23(2)(2)(3)30.70.30.70.784.
P X P X P X ≥==+==⨯⨯+=★4. 经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%.如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时候顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
解 记X 为预定的52位顾客中不来就餐的人数，则X ～
(52,0.2)B .因为“顾客来到餐厅而没有座位” 相当于“52位顾客中
最多一位顾客不来就餐”，所求概率为
5251(1)(0)(1)0.8520.80.20.0001279.
P X P X P X ≤==+==+⨯⨯=★8. 设X 服从泊松分布，且已知(1)(2),P X P X ===求
(4)P X =.
解 由(1)(2),P X P X ===得2/2e
e λ
λλλ--=，解得2λ=，
由此得 4
42
2(4)0.09024!
4!
P X e
e λ
λ--==
==. ★10. 从一个装有m 个白球，n 个黑球的袋子中返回地摸球，直到摸到白球时停止，试求取出黑球的期望。

解：令X 为取到白球时已取出的黑球数，则1+=X Y 服从几何
分布)(
m n m Ge +，其中m
n m
p +=
所以m
n
m m n p Y E +=+==
11)(。

从而 m
n
Y E X E =
-=1)()(. 此题若先求X 的概率分布，再求)(X E ，则问题较复杂. 由此得： 利用不同随机变量之间的内在联系，经过适当的模型转换，可简化问题的解决.
2.5 常用连续分布
★2. 在（0.1）上任取一点记为X ，试求2
31
(0)48
P X X -
+≥. 解 由2
31
048
x x -
+=解得120.25,0.5x x ==. {}{}231000.250.5148X X X X ⎧⎫
-+≥=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
，
因为X ～(0,1)U ，所以
0.25120
0.53100.7548P X X dx dx ⎛⎫
-+≥=+= ⎪⎝⎭⎰⎰.
★4. 设流经一个2Ω电阻上的电流I 是一个随机变量，它平均分布在
9A 至11A 之间，试求此电阻上消耗的平均功率，其中功率22W I =.
解 因为I ～(9,11)U ，所以平均功率为
11
22
9
1602()(2)223
E W E I x dx ===⎰. ★8 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241
的指数分布试求(50100)P T <<
解 (50100)P T <<50241
100241(100)(50)0.1523F F e e --=-=-=
★10. 解 令
0,1.Y ⎧=⎨
⎩
设备在使用一年之内不损坏，
，设备在使用一年之内损坏 即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y ～(1,)B p ，其中
1
0.254
0()=(1)
110.22124x p P P X e dx e --=≤==-=⎰设备在使用一年之内损坏
★17. 某地区成年男子的体重X （kg ）服从正态分布2
(,)N μσ，若已知(70)0.5P X ≤=，(60)0.25P X ≤=.
（1）μ与σ各是多少？
（2）若再这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有2人体重超过65kg 的概率是多少？
解 （1）由
700.5(70)P X μσ-⎛⎫
=≤=Φ ⎪⎝⎭
，
知
70μ
σ
-=0，所以70μ=.又有
607010100.25(60)1P X σσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=≤=Φ=Φ=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
即100.75σ⎛⎫
=Φ
⎪⎝⎭
，查表10/0.675σ=，所以14.81σ=.
（2）记Y 为选出的5名成年男子中体重超过65kg 的人数，Y ～
(5,)B p ，其中
()7065(65)0.33760.632414.81p P X -⎛⎫
=>=Φ=Φ= ⎪⎝⎭
.
所以“5名成年男子中至少有2人体重超过65kg ” 为
54(2)10.367650.36760.63240.94P Y ≥=--⨯⨯=.
★19. 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从72μ=的正态分布，已知96分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率.
解 记X 为考生的外语成绩，则X ～2
(72,)N σ，σ未知，但由题设条件知
96720.023(96)1P X σ-⎛⎫=>=-Φ ⎪⎝⎭，即 240.977σ⎛⎫
Φ= ⎪⎝⎭
，
查表知24/2σ=，所以12σ=.故所求为
()(6084)2110.6826P X <<=Φ-=.
★ 23. 从甲地飞往乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X ～
()2240,20N （时间为min ）.
（1）该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少？ （2）该机在下午2:30以前到达乙地的概率是多少？ （3）该机在下午1:50至2:30到达乙地的概率是多少？ 解 （1）()()(260)1(260240)/20110.1587P X ≥=-Φ-=-Φ=.
（2）()()(250)(250240)/200.50.6915P X ≤=Φ-=Φ=. （3）()(220260)2110.6826P X ≤≤=Φ-=.
2.6 随机变量函数的分布
★3. 设随机变量X ～(1,2)U -，记
1,0,1,
X Y X -<⎧=⎨
≥⎩
试求Y 的分布列.
解 因为
(1)(0)1/3,(1)(0)2/3P Y P X P Y P X =-=<===≥=，
所以Y 的分布列
★6. 设圆的直径X ～(0,1)U ，求圆面积的密度函数.
解 圆面积2
/4Y X π=，而X 的密度函数为
1,
01,()0,
.
X x p x ≤≤⎧=⎨
⎩其它
因为2
()/4y g x x π==在区间（0,1）上严格递增，其反函数为
()x h y ==且()1/h y '=所以圆面积2/4Y X π=的
密度函数为
1/0/4
()
0,
X
Y
p y
p y
π
⎧<<
⎪
=⎨
⎪⎩其它
0/4,
=
0,.
yπ
<<
⎩其它
★11. 设随机变量X的密度函数
()2
3
,11
2
0,.
X
x x
p x
⎧
-≤≤
⎪
=⎨
⎪⎩其它
试求下列随机变量的分布：（1）3;(2)3.
Y X Y X
==-
解（1）因为Y的可能取值区间为（-3,3），且()3
y g x x
==在区间（-1,1）上严格递增，其反函数为()/3
x h y y
==，所以3
Y X
=
的密度函数
()/31/3,3
()
0,
X
Y
p y y
p y
⎧-<<3
=⎨
⎩其它
2/18,3,
=
0,.
y y
⎧-<<3
⎨
⎩其它
（2）因为Y的可能取值区间为（2,4），且()3
y g x x
==-在区间（-1,1）上严格递减，其反函数为()3
x h y y
==-，所以3
Y X
=-
的密度函数
()
31,2
()
0,
X
Y
p y y
p y
⎧--<<4
=⎨
⎩其它
23(3),2,=20,.
y y ⎧-<<4⎪⎨⎪⎩
其它
★17. 设X ～2
(,)LN μσ，试证：ln Y X =～2
(,)N μσ.
证 因为X 的密度函数为
22
(ln ),0,()20,0
X x x p x x μσ⎧⎧⎫
-->⎨⎬=⎩⎭
≤⎩
又因为ln Y X =的可能取值范围为(,)-∞+∞,且()ln y g x x ==是区间(0,)+∞的严格递增函数，其反函数(),()y
y
x h y e h y e '===， 所以Y 的密度函数为
22(ln )()()2y y
y
y Y X e p y p e e e μσ⎧⎫-==-⎨⎬⎩⎭
22
(),2y y μσ⎧⎫-=--∞<<+∞⎨⎬⎩
⎭.。