物理竞赛例题

例1 （浙江省第11届初中生科学竞赛）如图所示，均匀杆AB长为L，可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离L处固定一个定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起，已知杆水平时，细绳的拉力为T 1，当杆与水平面的夹角为30°时，细绳的拉力为T 2，则T 1∶T 2是
A． 2∶1。

B． 2∶1。

C． 3∶1。

D． 1∶1。

解析本题考查杠杆平衡条件与三角函数相结合来解决物理题。

当杆在水平时，细绳的拉力为T 1，拉力的力臂为L 1=L cos 45°，杠受到重力为G，重力的力臂为L 2=L/2，则以A点为支点，根据杠杆平衡条件：T 1 L cos 45°=G L/2，T 1=2G/2；当杆与水平面的夹角为30°时，细绳的拉力为T 2，拉力的力臂为L 1=L cos 30°，杠受到重力为G，重力的力臂为L 2=L cos 30°/2，则以A点为支点，根据杠杆平衡条件：T 2 L cos 30°=G L cos 30°/2，T 2= G /2。

因此T 1∶T 2=2∶1。

故正确选项为 A 。

例2 (浙江省第九届自然科学竞赛)在一次校运动会上，小明骑一质量为m的独轮车，以速度v匀速通过一重为G、长为L的水平独木桥，独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，如图2所示。

设独轮车骑上A端支柱处为初始时刻（t=0），图3所示中哪一个图正确地表示了B端支柱所受压力F B与时间t的函数关系？（不考虑独木桥的形变）解析本题考查杠杆平衡条件与数学图像相结合来解决物理问题。

重为G、长为L的水平独木桥的两端由两根竖直支柱A、B支撑着，分别对水平独木桥的支持力为F A、F B，水平独木桥受到重力为G，独轮车对独木桥的压力为F=（m+m 人）g。

以A点为支点，根据杠杆平衡条件：F B L=GL/2+（m+m 人）gv t所以F B= G/2+（m+m 人）gv t/L，又根据压力与支持力是一对相互作用力大小相等，因此F B=F B= G/2+（m+m 人）gv t/L，从而可知B端支柱所受压力F B与时间t是一条一次函数的图像（不经过原点）。

故正确选项为 B 。

例3 (浙江省第五届自然科学竞赛)如图4所示OB为粗细均匀的均质杠杆，O为支点，在离O点距离为a的A处挂一个质量为M的物体，杠杆每单位长度的质量为m，当杠杆为多长时，可以在B点用最小的作用力F维持杠杆平衡？
A． 2Ma/m。

B． Ma/m 。

C． 2Ma/m。

D． 无限长。

解析本题考查杠杆平衡条件的灵活应用与利用一元二次方程中根与系数的关系来解决物理问题。

设OA=a，OB=x，每米长杠杆重为mg/ m 。

以O为支点，根据杠杆平衡条件可以列出方程：aMg+x/2 mgx=Fx，整理后为
mgx 2－2Fx+2aMg=0。

①
这个方程有解的条件是 Δ ≥0，其中
Δ =（-2F） 2-8mgaMg。

②
由此解出F≥2amMg。

从①式可以解出杠杆长x，x=2F±4F 2-8aMmg 22mg。

由于拉力最小时 Δ =0，所以拉力最小时的杠杆长为：
x=F/mg=2Ma/m。

故正确选项为 A 。

例4 (浙江省第八届自然科学竞赛)如图5所示，质量为M、长度为L 的均匀桥板AB，A 端连在桥墩上可以自由转动，B端搁在浮在水面的浮箱C上。

一辆质量为m的汽车P从A 处匀速驶向B处。

设浮箱为长方体，上下浮动时上表面保持水平，并始终在水面以上，上表面面积为S；水密度为ρ；汽车未上桥面时桥板与浮箱上表面夹角为α。

汽车在桥面上行使的过程中，浮箱沉入水中的深度增加，求深度的增加量 Δ H跟汽车P离开桥墩A的距离x的关系(汽车P可以看作一点)。

解析本题是平衡条件与三角函数相结合的物理问题。

设桥面上没有汽车时，浮箱浸入水
中的深度为 Δ H 0，浮箱对桥板的支持力为N 0，N 0=ρS Δ H 0g，以A为支点，根据杠杆平衡条件：MgL2 cos α=N 0L cos α，则浮箱浸入水中的深度为 Δ H 0： Δ H 0=ML2ρsL；汽车开上桥面后，汽车对桥板AB的压力为mg，浮箱浸入水中的深度为 Δ H’，浮箱对桥板的支持力为N，N=ρS Δ H’g，以A为支点，根据杠杆平衡条件：(MgL2+mgx) cos α=NL cos α，则浮箱浸入水中的深度为 Δ H’： Δ H’=ML+2mx2ρSL，故浮箱浸入水中的深度变化了 Δ H： Δ H= Δ H’- Δ H0= mxρSL。

因此深度的增加量 Δ H跟汽车P 离开桥墩A的距离x的关系为 Δ H=mxρSL。