17.1勾股定理(第一课时)教案

商丘市乡村中小学、幼儿园教师优质课评选
17.1勾股定理（第一课时）教案
商丘市城乡一体化示范区七中赵伯超
2016年6月21日
17.1勾股定理（第一课时）教案
商丘市城乡一体化示范区七中赵伯超勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。

勾股定理是在学习了三角形有关性质的基础上提出来的，勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，对前面的知识起到完善，延伸的作用。

学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

本节课试图通过数学活动，对学生所学知识进行内化与迁移，以发展思维。

同时对勾股定理的学习，对比我国数学家和西方数学家对勾股定理的研究，对学生进行爱国主义的教育，以落实素质教育的目标。

一、教学目标：
知识与技能：
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

了解利用拼图验证勾股定理的方法。

数学思考：
在勾股定理的探索过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。

解决问题：
1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、在探索活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探索的结果。

情感与态度：
1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，感受数学文化，激发学生的爱国热情，激励学生奋发学习。

2、在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。

二、重点、难点
1．重点：探索和证明勾股定理。

经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。

2．难点：勾股定理的证明。

经历用不同的拼图方法证明勾股定理。

3．突破方法：发挥学生主体作用，通过学生动手实验，让学生在实验中探索，在探索中领悟，在领悟中理解。

三、教具准备
每个学生准备一张硬纸板、方格纸；多媒体课件演示。

四、教学方法：
本节课采用探究探讨法、发现法教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法。

五、教学过程：
活动一、创设情境，激趣引新
问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，•长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，
在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？
问题2：请同学们认真观察课本本章章前彩图： 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽。

大会会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”。

数学家大会为什么用它做会徽呢？它有什么特殊的含义吗？
问题:3：目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、
音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议：向
宇宙发射一个图形（如图）与外星人联系，华罗庚
为什么提这个建议？
问题4：“某楼房二楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?”
这些问题中蕴藏着一个伟大的发现。

[设计意图]：问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望。

学生会感到困难，从而教师指出学习了《勾股定理》后就有办法解决了。

这种以实际问题为切入点引入新课，反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点。

活动二、实际操作，合作探究，推理论证
（一）、伟大的发现来源于生活小事：
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。

相传在
2500年以前，一次，他去朋友家做客，在宴席
上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友
家的方砖地而发起呆来：朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。

同学们，我们也来观察下面图中的
地面，
问题1：看看你能发现什么？是否也
和大数学家有同样的发现呢？
问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？
问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗？
[设计意图]:通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。

“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。

（二）、观察下图，并回答问题：（每个小方格代表一个单位面积）
（1）观察图2．
正方形A的面积是______个单位面积；
正方形B的面积是______个单位面积；
正方形C的面积是______个单位面积．
（2）在图3中，正方形A、B、C的面积各
是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交
流。

（3）将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？
A 的面积 （单位面积）
B 的面积 （单位面积）
C 的面积
（单位面积）
图2
图3
（4）等腰直角三角形三边有什么关系？
[设计意图]：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．
（三）、深入探究、归纳猜想
等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有"两直角边的平方和等于斜边的平方"呢？
1、让学生动手画一个直角边长为3cm 和4cm 的
直角△ABC,用刻度尺量出AB 的长。

以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，
探究这三个正方形的面积之间有什么关系。

问题（1）：这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？
正方形
P Q R 面积
问题（2）：这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？
问题（3）：这个直角三角形三边有什么关系？
2、对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
3、猜想：命题1 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

Q
P R
[设计意图]：渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。

（四）、拼图验证、加深理解
当时大哲学家也发现并进一步深入探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘。

猜想的结论是否正确须经过严格论证。

证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。

请同学们拿出准备好的4个全等的直角三角形模型，三边分别标好a,b,c ，拼出一个边长为c 的正方形（如图2）。

问题1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？
问题2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？
问题3：大正方形由哪几个图形构成？
问题4：它们的面积之间满足什么样的关系？
问题5：分别怎么来表示它们的面积？
[设计意图]：通过这些实际操作，学生进行一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备。

利用分组讨论，加强合作意识。

这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1•的基本思路如下，如图（7）． c b a D C A B
图2
起，它的面积为a2+b2，另一方面这个图
形由四个全等的直角三角形和一个正方
形组成．把图（7）中左、右两个三角形
移到图（9）所示的位置，就会形成一个
c为边长的正方形．
因为图（7）与图（9）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．
因此a2+b2=c2．
[设计意图]：通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力。

（五）、定理的命名
大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了。

所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺。

这一结论，在西方多称“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”。

勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的。

在公元前一世纪《周髀算经》里记载着夏禹（公元前21世纪）和商高（公元前1120年）发现了这个定理。

春秋时代（公元前6、7世纪）陈子也对这个定理作出了很大贡献，所以也叫陈子定理。

约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”。

当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边
叫做弦。

“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,
那么弦为5。

所以我国称它为勾股定理商高定理。

上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法。

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．它是我国古代数学的骄傲．正因为为了纪念这一伟大的发现，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。

[设计意图]：激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。

活动三、应用新知、解决问题
问题：勾股定理的条件是什么？结论是什么？
练习1 在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c
（1）已知a=6，b=8；则c= 。

（2）已知c=25，b=15；则a= 。

（3）已知c=19，b=13；则c= 。

（结果保留根号）。

练习2 问题3：某楼房二楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
[设计意图]：让学生有机地把握所学的知识技能，用来解决实际问题，加强对定理的理解，从而突出重点。

活动四、回顾小结、整体感知
1、通过本节课的学习你都有哪些收获？
2、你对本节课内容都有哪些认识？
[设计意图]：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动
了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．活动五、布置作业、巩固加深
1.阅读课本P22---24
2.P28 2,3
3.收集勾股定理的证明方法,写一篇关于勾股定理的小论文。