线面角的求法总结

线面角的三种求法
1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。

通常是
解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元
素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体 ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2） SC与平面ABC所成的角。

解：（1）•/ SC± SB,SC丄 SA,
••• SC丄平面SAB 故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，
•••/ SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。

（2）连结 SM,CM，贝U SM 丄 AB,
又••• SC± AB, • AB 丄平面 SCM,
•••面ABC丄面SCM
过S作SH丄CM于H, 则SH丄平面 ABC
•CH即为SC在面ABC内的射影。

/ SCH为SC与平面ABC所成的角。

sin / SCH=SH /SC
•SC与平面ABC所成的角的正弦值为V 7/7
（“垂线”是相对的， SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。

）
2.利用公式sin 0 =h/ i
其中0是斜线与平面所成的角， h是垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图 2）长方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB1C1D
解：设点 B 到AB i C i D 的距离为h,
T V B - ABC =V A -BBC.'. 1 / 3 S ^ ABC h= 1/3 SM BC AB ，易得 h=12/ 5 设AB 与 面A B 1C 1D 所成的角为0 ,则sin 0 =h/AB=4 /5
图2 3. 利用公式 cos 0 =cos 0 i cos 0 2
已知，如图，AO 是平面〉的斜线，A 是斜足，0B 垂直于平面 直线
AB 是斜线在平面a 内的射影。

设AC 是平面 BC _ AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为
T _日2, AO 与AC^成角为日』易知：
| AB ^|AO | co^1, | AC | =| AB | cosr 2 =| AO | cos^ cos 》 又 T | AC |=| AO |cosn , 可以得到： COST - COS^ COSV 2 ,
jr
注意：& * （0,—）
2
易得：
COST ::： COS4 又二，弓-（0, ?）即可得： M - V
则可以得到：
平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中 最小的角；（最小角定理）
例3 （如图4）已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60° ,求直线OA 与面OBC 所 成的角的余弦值。

解：T / AOB= /AOC . OA 在面OBC 内的射影在/ BOC 的平分线OD 上，贝U / AOD 即为OA 与面OBC 所成的角，可知
/ DOC=30 ,cos/ AOC=cos / AOD cos/ DOC .cos60°=cos / AOD cos30°
••• cos / AOD= V3/3 ••• OA 与 面OBC 所成的角的余弦值为V 3/3。

:,B 为垂足，则
:-内的任意一条直线，且 宀,AB 与AC 所成角为
D
练习•如图，在正方体AC1中，求面对角线A,B与对角面BB1D1D所成的角。

〖解〗（法一）连结A1C1与B1D1交于0，连结0B ,
DD1I A]C1，B1D1I AC 1,.•. AO I 平面BB1D1D ,
••• . A,BO是A,B与对角面BB1D1D所成的角，
1
在Rt ABO 中，A1O A,B . ABO =30：•
（法二）由法一得NABO是AB与对角面BB1D1D所成的角，
2 B.B 6
又T cos^ABB t = cos45 , cos./B t BO -
2 1 BO 3
• COS. ABO 二cos ABB1二2 3A BO=30：•
cosNQBO V6 2 1
3
【基础知识精讲】
1.直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：
(1)直线在平面内一一直线上的所有点在平面内，根据公理1,如果直线上有两个点在
平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内
直线a在平面a内，记作a _ a .
(2)直线和平面相交一一直线和平面有且只有一个公共点
记作an a = A
(3)直线和平面平行一一如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行•记作a //
a .
直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作 a - a .
2.直线和平面平行的判定
判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行.(简记“线线平行，则线面平行”)
即 a / b,a ：丄a , b _ a —a/ a
证明直线和平面平行的方法有：
①依定义采用反证法
②利用线面平行的判定定理
③面面平行的性质定理也可证明
3.直线和平面平行的性质定理
性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这
条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).
即 a // a ,a _ 3 , a n 3 = b —a // b.
这为证线线平行积累了方法：
①排除异面与相交②公理4 ③线面平行的性质定理
【重点难点解析】
本节重点是直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用•
例1 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB 上的一点，且有AM： FN= AC： BF,求证：MIN/平面 CBE.
分析：欲证MIN/平面CBE当然还是需要证明 MN平行于平面 CBE内的一条直线才行• 题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化•
证：连AN并延长交BE的延长线于P.
BE// AF,「. △ BNP^ A FNA.
FN AN FN AN
••• 二= 」，则打•门=
FN AN
即，= .
AM AC AM FN
又=一」，J = -,
AM AN
• 二.
MIN/ CP, CP_ 平面 CBE.
MIN/平面 CBE.
例2 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行
已知：a A 3 = a,l // a ,l // 3 •求证：I // a.
分析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判
定和性质.
证明：过I作平面交a于b. T I // a ,由性质定理知I // b.
过I作平面交3于c. V I // 3 ,由性质定理知I // c.
b // C,显然
c _ 3 .二 b // 3 .
又 b _ a , a A3 =a,「・ b II a. 又 I I b. •••
I I a.
评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用 例3
如图，在正四棱锥 S —ABCD 中，P 在SC 上，Q 在SB 上，R 在SD 上，且SP ： PC
=1 : 2, SQ ： SB= 2 : 3, SR ： RD= 2 : 1.求证：SA//平面 PQR.
分析：根据直线和平面平行的判定定理， 必须在平面PQR 内找一条直线与 AS 平行即可. 证：连AC BD,设交于 0,连S0,连RQ 交SO 于 M 取SC 中点N,连ON,那么ON/ SA.
SQ SR 2
••• E = - = _■ • RQ/ BD
EM 2 SP 2
= 1 而—
SM SP_
• PM// ON
•/ SA// ON ；. SA// PM,PM_ 平面 PQR •
SA// 平面 PQR.
评析：利用平几中的平行线截比例线段定理
.
三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化 例4
证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上
如图，设直线 a//平面a ,点A € a ,A €直线b,b // a,欲证b _ a .事实上, •/ b // a ，可确定平面
3 , 3与a 有公共点A,. a , B 交于过A 的直线C ,T a // a , • a// c, 从而在3上有三条直线，其中 b 、C 均过点A 且都与a 平行.于是b 、C 重合，即b_ a .
证明
Z
【难题巧解点拨】
例1 S是空间四边形 ABCD勺对角线BD上任意一点，E、F分别在AD CD上，且AE ：
AD= CF： CD BE与AS相交于 R, BF与SC相交于 Q.求证：EF// RQ.
证在厶 ADC中,因 AE： AD= CF： CD 故 EF/ AC,而 AC_ 平面 ACS 故 EF/ 平面 ACS.
而只3平面ACS平面RQEF故EF/ RQ（线面平行性质定理）.
例2 已知正方体ABC—A B' C D'中，面对角线AB'、BC'上分别有两点E、F 且B' E= C' F求证：EF//平面 AC.
分析如图，欲证 EF/平面AC,可证与平面 AC内的一条直线平行，也可以证明 EF 所在平面与平面AC平行.
证法1 过E、F分别做 AB BC的垂线EM FN交AB BC于M N,连接 MN
•/ BB'丄平面AC ••• BB'丄 AB, BB'丄 BC
••• EML AB, FN丄 BC
•EM// FN,v AB = BC , B ' E= C' F
•AE= BF又/ B' AB=Z C BC= 45°
•Rt △ AME^ Rt △ BNF
•EM=FN
•四边形MNFE是平行四边形
•EF/ MN又 MN_平面 AC
•EF//平面 AC
证法2 过E作EG/ AB交BB'于G连GF
B f E B J G
•-= J?
•/ B ' E= C' F, B ' A= C' B
CF BV
•二=三 E • FG// B ' C' / BC
又••• EGH FG= G,ABA BC= B •平面EFG//平面 AC
又EF_平面EFG • EF//平面 AC
例3 如图，四边形EFGH为四面体A— BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证: (1)AB //平面 EFGH (2)CD //平面 EFGH
证明：(1) T EFGH为平行四边形，••• EF// HG •/ H史平面 ABD • EF//平面 ABD.
•/ EF_ 平面 ABC 平面 ABDA 平面 ABC= AB.
• EF// AB,「. AB//平面 EFGH.
(2)同理可证：CD// EH,「. CD//平面 EFGH.
评析：由线线平行线面平行：线线平行.
【课本难题解答】
1.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交
证明：假设b _ a或b/ a .
若 b _ a ,T b / a,「. a / a .
这与aA a = A矛盾，• b_ a不成立.
若b // a ,设过a、b的平面与a交于c.
■/ b / a , • b // c,又 a / b • a // c
•a / a这与aA a = A矛盾.• b // a不成立.
•b与a相交.
2.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条, 线平行.
已知：a / b,a_ a , b_ 3 , a A 3 = c. 那么它们的交线和这条直
已知：a // b,a A a = A,求证:
【命题趋势分析】
本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，
直线与平面平行的证明与应用， 它是高考
中常考的内容，难度适中，因此学习好本节内容至关重要 【典型热点考题】
例1 在下列命题中，真命题是 （ ）
A. 若直线m n 都平行平面a ，则m// n;
B. 设a — l — 3是直二面角，若直线 mL I ，则 mL n, mX 3 ;
C. 若直线m n 在平面a 内的射影是一个点和一条直线，且
ml n,则n 在a 内或n 与a 平行；
D. 设m n 是异面直线，若 m 和平面a 平行，则n 与a 相交.
解 对于直线的平行有传递性， 而两直线与平面的平行没有传递性故 A 不正确；平面
与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而 故不正确；
对 D 来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选 C.
例2 设a 、b 是两条异面直线，在下列命题中正确的是
（ ）
A. 有且仅有一条直线与 a 、b 都垂直
B. 有一平面与a 、b 都垂直
C. 过直线a 有且仅有一平面与 b 平行
D. 过空间中任一点必可作一条直线与
a 、
b 都相交 解 因为与异面直线a 、b 的公垂线平行的直线有无数条，所以 A 不对；若有平面与
a 、
b 都垂直，则a / b 不可能，所以B 不对.若空间的一点与直线
a （或
b ）确定的平面与另 条直线b （或a ）平行，则过点与
a 相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相
交，所以D 不对，故选C. 例3 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条 平行，则第三条必与之平行• uE= Mb
B 中m 不一定在a 内,
已知：a A 3 = a, a Q「= b, / A a = C.
求证：要么a、b、c三线共点，要么 a // b // c.
证明：①如图一，设an b = A, '：a np = a.
a ~a 而A€ a.
二 A€ a .
又p n「= b
••• b 厂：,而 A€ b.
••• A€「.
则A€a, A€「，那么A在a、「的交线c上. 从而a、b、c三线共点.
②如图二，若a// b，显然c _ ：,b_「
• a //
而 a [ a , an f = c.
• a //c
从而 a / b //。