高等数学(同济版)第五章复习资料

第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 、
x 轴以及两条直线a x =、b x =所围成,求其面积A . ①．大化小(分割)：在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ，
用直线i x x =将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用i A ∆表示第i 个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第i 个窄曲边梯形的底上任取],[1i i i x x -∈ξ，有i i i x f A ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)：∑==n
i i A A 1
∆∑=≈n
i i i x f 1
)(∆ξ.
④．取极限：令}{max 1i n
i x ∆λ≤≤=，则∑=→=n i i A A 1
lim ∆λ∑=→=n
i i i x f 1
)(lim ∆ξλ.
2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度)(t v v =在时间间隔],[21T T 上连续，且0)(≥t v ，求在运动时间内物体所经过的路程s .
①．大化小(分割)：在区间],[21T T 内任意插入1-n 个分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210 ， 将它分成n 个小段),,2,1(],[1n i t t i i =-，用i s ∆表示物体第i 个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第i 个小段上经过的路程任取],[1i i i t t -∈ξ，有i i i t v s ∆ξ∆)(≈. ③．近似和(求和)： i n
i i t v s ∆ξ∑=≈1)(.
④．取极限：令}{max 1i n
i t ∆λ≤≤=，则i n
i i t v s ∆ξλ∑=→=1
)(lim .
这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念
1．定积分 :设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，若在区间],[b a 内任意插入1-n 个分点
b x x x x a n =<<<<= 210，任取],[1-∈i i i x x ξ，记1--=i i i x x x ∆，只要0}{max 1→=≤≤i n
i x ∆λ，
和式极限i n
i i x f ∆ξλ∑=→1
)(lim 总存在，则称此极限为)(x f 在],[b a 上的定积分,记作⎰b
a
x d x f )(，即
=⎰
b
a
x d x f )(i n
i i x f ∆ξλ∑=→1
)(lim ，
此时也称)(x f 在区间],[b a 上黎曼可积. 注：
1°.引例中，曲边梯形的面积A ⎰=b
a
x d x f )(；路程⎰=2
1
)(T T t d t v s .
2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即
⎰
b a
x d x f )(⎰=b a
t d t f )(⎰=b
a u d u f )(.
3°.在定积分定义中，要求积分上限b 大于积分下限a ，为了方便起见，规定： 当b a >时，⎰b a
x d x f )(⎰-=a
b
x d x f )(；当b a =时，⎰b
a
x d x f )(0=.
4°.定积分定义中0→λ意味着区间的分割越来越细.0→λ时必有小区间的个数∞→n ，但
∞→n 并不能保证0→λ(不等分的时候，当等分的时候∞→⇔→n 0λ.)
5°.若已知)(x f 在],[b a 上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如n 等分)和特殊的取点
i ξ(例如取i i x =ξ或1-=i i x ξ)来计算定积分.
2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件：
定理1.若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界.
反之未必，例如：狄利克雷函数⎩⎨⎧∉∈=Q x Q x x f ,0,1)(在]1,0[上有界，但不可积,因为定义中的积
分和的极限不总存在. (2). 充分条件：
定理2. 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积.
反之未必，例如⎩⎨⎧≤<≤≤=21,11
0,0)(x x x f 在]2,0[上可积，但)(x f 在]2,0[上有一个间断点1=x .
定理3. 若)(x f 在],[b a 上有界，并且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积.
定理4. 若)(x f 在],[b a 上单调且有界，则)(x f 在],[b a 上可积. 例1. 利用定义计算定积分x d x ⎰1
02.
解：将区间]1,0[进行n 等分, 分点为n i x i =
),,1,0(n i =，取n i i =ξ，n
x i 1
=∆，),,2,1(n i =.
则i i
i i x x f ∆ξ∆ξ2)(=32
n
i =，于是
i i n
i x f ∆ξ)(1
∑
=∑==n i i n 1
231)12)(1(6113++⋅=n n n n ⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 121161，
所以 i n
i i x x d x ∆ξλ∑⎰=→=1
2
01
02
lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim 31=.
例2. 用定积分表示下列极限:
1.∑=∞→+n i n n i n 1
11lim n n i n i n 1
1lim 1⋅+=∑=∞→x d x ⎰+=101.
2. 121lim +∞→+++p p p p n n n n n i n i p
n 1lim 1∑=∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x d x p
⎰=10. 三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性
性质1. x
d x f k x d x f k b
a
b
a
)()(⎰⎰=( k 为常数).
性质2.
⎰⎰⎰
±=±b a b
a b a
x d x g x d x f x d x g x f )()()]()([.
2.积分区间的可加性
性质3. 设b c a <<，则有⎰⎰⎰+=b
c
c
a
b
a
x d x f x d x f x d x f )()()(.
3.保序性
性质4. 若在],[b a ，0)(≥x f ，则0)(≥⎰x d x f b
a .
性质5. 若在],[b a ，)()(x g x f ≤，则x d x g x d x f b
a
b a
)()(⎰⎰≤.
4.绝对不等式性 性质6.
x d x f b a
)(⎰
x d x f b
a
⎰≤)(.
5.介值性
性质7.设M 和m 是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值，则)()()(a b M x d x f a b m b
a
-≤≤-⎰.
性质8.
a b x d b
a
-=⎰1.
6.中值性
性质9.(积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得
))(()(a b f x d x f b a
-=⎰
ξ.
证明：设)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值为M 和m ，则由介值性得
M x d x f a b m b a
≤-≤
⎰)(1
，
再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点],[b a ∈ξ，使x d x f a b f b a
)(1
)(⎰-=
ξ. 注：
1°.积分中值定理对b •a <或b a >的情形都成立. 2°.称x d x f a
b f b a )(1
)(⎰-=
ξ为)(x f 在],[b a 上的平均值. 因为 a
b x d x f b a
-⎰
)(n a b f a b n
i i n -⋅-=∑=∞→)(lim 11ξ)(1lim 1
∑=∞→=n i i n f n ξ，
故它是有限个数的平均值概念的推广.
3°.积分中值定理的几何意义: 以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以)(ξf 为的矩形的面积.
第二节 微积分基本公式
一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系
在变速直线运动中, 已知位臵函数)(t s 与速度函数)(t v 之间满足：)()(t v t s ='，即)(t s 是
)(t v 的原函数.
又物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程为)()()(122
1
T s T s t d t v s T T -==⎰，即速度函数)(t v 在
区间],[21T T 上的定积分t d t v T T ⎰2
1
)(等于)(t v 的原函数在],[21T T 上的增量.
这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数
1.积分上限函数：若函数)(x f 区间],[b a 上可积，则称函数]),[()()(b a x t d t f x x
a ∈=⎰Φ为积
分上限函数，或变上限积分.
注：积分上限函数t d t f x x
a
⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.
推导：],[0b a x ∈∀，有t d t f t d t f x x
x x a
⎰⎰
+=00)()()(Φ，当0x x →时，
0)(0
→⎰
t d t f x x ，于是
)()()(lim 000
x t d t f x x a
x x ΦΦ==⎰
→，即t d t f x x a
⎰=)()(Φ在],[b a 上连续.
2.积分上限函数的导数：
定理1.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数t d t f x x
a
⎰=)()(Φ在],[b a 上可导，
并且 )()()('x f t d t f x d d x d d x x
a =⎪⎭
⎫ ⎝
⎛==
⎰ΦΦ )(b x a ≤≤. 证明: ),(,b a x x x ∈+∀∆，则有
x x x x ∆Φ∆Φ)()(-+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎰⎰+x a x x a t d t f t d t f x )()(1∆∆⎰+=x x x t d t f x ∆∆)(1
)(ξf =)(x x x ∆ξ+<<(积分中值定理)，
又)(x f 在],[b a 上连续，故有x
x x x x x ∆Φ∆ΦΦ∆)
()(lim
)('0-+=→)(lim 0ξ∆f x →=)(x f =. 若a x =，取0>x ∆，可证)('a +Φ)(a f =；若b x =，取0<x ∆，可证)('b -Φ)(b f =. 注：其它变限积分求导: 1°.
⎰b
x t d t f x
d d )( ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x b t d t f x d d )( )(x f -=； 2°.
⎰)
()(x a
t d t f x d d ϕ )()]([x x f ϕϕ'=；
3°
.⎰)
()
()(x x t d t f x d d ϕψ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰)()()()(x a a x t d t f t d t f x d d ϕψ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=. 3.原函数存在定理：
定理2.若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数t
d t f x x
a ⎰=)()(Φ)],[(
b a x ∈就是
)(x f 在],[b a 上的一个原函数.
注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路.
例1. x x e •x t d e •x t d e •x x x t x x t x 2)(cos lim )'(lim lim 222
cos 02'
1
cos 00
21
cos 0-→-→-→-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰x
•e x •x x 2sin lim 2cos 0-→⋅=
e
•e •x x ••x x x 21
lim sin lim 212cos 00=⋅=-→→.
例2.设)(x f 在),0[∞+内连续且0)(>x f ，证明t
d t f t d t f t x F x x
⎰⎰=0
0)()()(在),0[∞+内单调增加.
证明：由于
=
')(x F ()
2
00
)()()()()(t d t f t
d t f t x f t d t f x f x x
x
x ⎰⎰⎰-()
2
00
)()()()()(t d t f t
d t f t x f t d t xf x f x
x
x ⎰⎰⎰-=
()
2
00)()()()(t d t f t
d t f t x x f x
x ⎰⎰-=
()
2
0)()())((t d t f x
f x x f x
⎰⋅-=
ξξ )0(x <<ξ(积分中值定理)
0>，
所以)(x F 在),0[∞+内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积.
例如：对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00
,1s i n )(22x x x x x f ，由于⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==--≠-=→0,0001s i n l i m 0,1c o s 21s i n 2)('22
022x x x x x •x x x x x f x ，令)(')(x f x g =，即函数)(x g 在区间],[a a -上具有原函数，但由于)(x g 在],[a a -无界，所以)
(x g 在],[a a -不可积， 事实上，取021
→=
π
n x )(∞→n ，有 )2cos(22)2sin(2221πππππn n n n n g -=
⎪⎭⎫
⎝⎛-∞→-=πn 220 )(+∞→n ， 即)(x g 在],[a a -无界.
(2).函数可积，但不一定存在原函数.
例如：函数⎩⎨⎧≤<≤≤=21,11
0,0)(x x x f 在]2,0[除了一个间断点1=x 外都连续，所以)(x f 在]2,0[上
可积，但)(x f 在]2,0[上不存在原函数.
(3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：⎩⎨⎧∉∈=Q x Q
x x f ,0,1)(.
三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式
定理3. (微积分基本定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，若函数)(x F 是)(x f 在],[b a 上的任一原函数，则
)()()(a F b F x d x f b a
-=⎰
.
证明：由于积分上限函数t d t f x a
⎰)(是)(x f 的一个原函数，故)(x F C t d t f x a
+=⎰)(， 令a x =，得)(a F C =，因此)()()(a F x F x d x f x
a
-=⎰；
再令b x =，得)()()(a F b F x d x f b
a
-=⎰b
a x F )(= .
注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数)(x f 在],[b a 上的定积分等于它的任意一个原函数)(x F 在],[b a 上的增量.
微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数)(x f 在],[b a 上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：
定理3’ 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数)(x F ，在
)(x f 的间断点外，有)()('x f x F =，则
)()()(a F b F x d x f b a
-=⎰
.
证明：假设)(x f 在b x =不连续，不满足)()('b f b F =，),(b a x ∈∀，有)(t f 在区间],[x a 上连续，且满足)()('t f t F =，从而有)()()(a F x F t d t f x
a -=⎰，由)(x F 以及积分上限函数
t d t f x a
⎰
)(的连续，有
)]()([lim )(lim )(a F x F t d t f t d t f b
x x
a
b
x b a
-==-
-→→⎰⎰
)()(a F b F -=. 例3.⎰1
02
x d x 1
23x = 31031=-=.
例4.⎰-+3
1211x •d x 3
1arctan t =12
743)1arctan(3arctan πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=. 例5.⎰
--1
21x d x
1
2||ln --=x 2ln 2ln 1ln -=-=. 例6.计算正弦曲线x y sin =在π],0[与x 轴所围成的平面图形的面积.
解：⎰=π
sin x d x A π
0cos x -=2)11(=---=.
例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存一点
),(b a ∈ξ，使得)())(()(b a a b f x d x f b
a
<<-=⎰ξξ.
证明：因为)(x f 连续，故)(x f 具有原函数，设)(x F 为它的一个原函数，即)()('x f x F =，由牛顿—莱布尼茨公式有)()()(a F b F x d x f b
a -=⎰.
由)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点),(b a ∈ξ，使得
)())(())((')()(b a a b f a b F a F b F <<-=-=-ξξξ，
故)())(()(b a a b f x d x f b
a
<<-=⎰ξξ.
第三节 定积分的换元积分法和分部积分法
一、定积分的换元法：
定理1.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，函数)(t x ϕ=满足：
(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ，并且当t 从α变到β时，对应的x 单调地从a 变到b ； (2). 函数)(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数， 则有 t d t t f x d x f b
a )(')]([)(ϕϕβ
α
⎰⎰=.
证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设)(x F 是
)(x f 的一个原函数，则)]([t F ϕ是)(')]([t t f ϕϕ的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有
⎰
b
a
x d x f )()()(a F b F -=)]([)]([αϕβϕF F -=t d t t f )(')]([ϕϕβ
α
⎰=.
注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回.
2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法)]([)]([)(')]([x d x f x d x x f b
a
b
a
ϕϕϕϕ⎰⎰=，积分限不
换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算)0(0
22>-⎰
a x d x a a .
解：令t a x sin =，则t d t a x d cos =，当0=x 时，0=t ；a x =时，2/π=t ，于是
x d x a a
⎰
-0
2
2t d t a •
⎰=2022cos πt d t a )2cos 1(2202
⎰+=π2
/0
22sin 212π⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=t t a 4
π2a =.
例2.
x d x x •
⎰
2
5sin cos π
x d x x •
')cos (cos 20
5⎰-=π⎰-=20
5)cos (cos π•
x d x 2
/0
6
6cos πx -
=61610=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=.
例3.x d x x ⎰
-π
53sin sin x d x x ⎰
-=π
02
3)sin 1(sin x d x x ⎰
=π
2
3cos sin x d x x ⎰=π
2/3|cos |sin
x d x x x d x x ⎰⎰-+=π
ππ
2
2
/3202
/3)cos (sin
cos sin
⎰⎰-=π
ππ
2
2/320
2/3sin sin sin sin x d x x d x
π
ππ2
/2/52
/02/5sin 52
sin 52
x
x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=525254=. 例4.计算x d x x ⎰
++40
1
22
. 解：令12+=x t ，则2
1
2-=t x ，t d t x d =，且当0=x 时，1=t ；当4=x 时，3=t ，于是
x d x x ⎰++40
1
22
t d t t t ⎰+-=312221t d t )3(21312⎰+=31333121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 3
22=
. 另解：
x d x x ⎰
++40
122x d x x ⎰++=40124221x d x x ⎰++=40121221x d x ⎰++401
23
21
x d x ⎰+=
401221⎰+++4012)12(43x x d )12(124140++=⎰x d x ⎰+++401
2)12(43x x d 4
023)12(3241+⋅=x +4
21)12(243
+⋅x 3313+=322= 例5. 设•x f )(为],[a a -上的连续函数，
(1). 若)()(x f x f =-，则⎰⎰-=a
a
a
x d x f x d x f 0
)(2)(.(偶倍)
(2). 若)()(x f x f -=-，则0)(=⎰-a
a
x d x f .(奇零)
证明: 由于=
⎰-x d x f a
a
)(x d x f a
⎰
-0
)(x d x f a ⎰+0
)(，对积分x d x f a
⎰-0
)(作变换，令t x -=，则有
x d x f a
⎰
-0
)(t d t f a
⎰--=0
)(t d t f a
⎰-=0
)(x d x f a
⎰-=0
)(，
于是=⎰
-x d x f a
a
)(x d x f x f a
])()([0
⎰+-=⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=-=⎰)()(,0)()(,d )(20
x f x f x f x f x x f a 例6.若•x f )(在]1,0[上连续，证明 (1). ⎰
⎰
=2
/0
2
/0
)(cos )(sin ππx d x f x d x f ；
(2). ⎰⎰=
π
π
π
)(sin 2)(sin x d x f x d x xf ，并由此计算⎰
+π
02cos 1sin x d x
x
x .
证明： (1).令t x -=
2
π
，则t d x d -=，且当0=x 时，2π=
t ；当2
π
=x 时，0=t ，于是 ⎰
⎰
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0
2/2
/0
2sin )(sin πππt d t -f x d x f ⎰⎰==2/02/0)(cos )(cos ππx d x f t d t f . (2). 令t x -=π，则t d x d -=，且当0=x 时，π=t ；当π=x 时，0=t ，于是
⎰⎰
---=00
)][sin()()(sin π
π
ππt d t f t x d x xf ⎰-=π
π0
)(sin )(t d t f t
⎰⎰⋅-=πππ0
)(sin )(sin t d t f t t d t f ⎰⎰⋅-=π
ππ0
)(sin )(sin x d x f x x d x f ,
整理得⎰⎰=
π
π
π
)(sin 2)(sin x d x f x d x xf .
由此⎰+π
02cos 1sin x d x x x ⎰+=ππ02cos 1sin 2x d x x ⎰+-=ππ02cos 1)
(cos 2x
x d
π
π
0)arctan(cos 2x -=π
π
0)arctan(cos 2x -=⎪⎭⎫
⎝⎛---=442πππ22
π=.
例7. 设)(x f 是连续的周期函数，周期为T ，证明： (1). x d x f x d x f T
T a a ⎰⎰=+0
)()(;
(2). )()()(0
N n x d x f n x d x f T nT a a
∈=⎰⎰
+,并由此计算x d x n ⎰
+π0
2sin 1.
证明： (1).记x d x f a T a a
⎰
+=)()(Φ，则0)()()(=-+='a f T a f a Φ，即)(a Φ与a 无关，因此
)0()(ΦΦ=a ，于是x d x f x d x f T
T a a
⎰⎰=+0
)()(.
(2).由于x d x f nT a a
⎰
+)( x d x f T kT a kT
a n k ⎰
∑+++-==)(1
，又由(1)知x d x f x d x f T
T kT a kT
a ⎰⎰
=+++0
)()(，因此
x d x f nT a a
⎰
+)(x d x f n T
⎰=0
)(.
由于x 2sin 1+是以π为周期的周期函数，于是
x d x n ⎰
+π0
2sin 1x d x n ⎰
+=π
2sin 1x d x x n ⎰
+=π
2)sin (cos x d x x n ⎰+=π
sin cos
x d x n ⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=ππ04sin 2 (令4π+=x t )
t d t n ⎰
+=πππ4/4
/sin 2t d t n ⎰=π0
sin 2t d t n ⎰=π0
sin 2π
cos 2x n -=n 22=.
例8. 计算x d x x x ⎰+-3
02
22
)33(.
解：由于x d x x x ⎰+-3
0222)33(x d x x ⎰+-=30222)]2/3()2/3[(，令t x tan 2323=-，⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈2,2ππt ， 则t td x d 2sec 23=，t t x x 42
222sec 169sec 43)33(=⎪⎭⎫
⎝⎛=+-.当0=x 时，
3π-=t ；3=x 时，3π=t ， 于是x d x x x ⎰+-3
02
22
)33(
t d t t t t 243
/3/2sec 23sec 91649tan 233tan 43⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=--⎰ππ t d t t t 23/3/2
cos 49tan 233tan 43938⎰-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=
ππ (偶倍奇零) t d t t 23/02cos 49tan 439316⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
πt d t t ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=3/022cos 49sin 439316π ()t d t t ⎰+=
3/022cos 3sin 334π()
t d t ⎰+=3/0
2cos 21334π
()t d t ⎰+=3/02cos 2334ππ
2sin 212334⎪⎭
⎫
⎝⎛+=t t 13
3
8+=
π. 例9.设函数⎪
⎩⎪
⎨⎧<<-+≥=-0,cos 11,0,)(2
x x
x xe x f x π ，计算x d x f ⎰-41
)2(.
解：设t x =-2，则t d x d =，且当1=x 时，1-=t ；4=x 时，2=t ，于是
x d x f ⎰
-41
)2( (由于)
2/(tan 1)
2/(tan 1cos 22t t t +-=
)
t d t f ⎰-=21)(t d t ⎰-+=0
1cos 11t d e t t ⎰-+202
t d t ⎰-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=0122tan 121)(212202t d e t t --⎰- 22sec 0
12t d t ⎰-=)(212202t d e t t --⎰-0
1
2tan -⎪⎭
⎫
⎝⎛=t 2
2
2
1t e --⎪⎭⎫ ⎝⎛=21tan 212
1
4+--e .
二、定积分的分部积分法
定理2. 设函数)(x u 、)(x v 在区间],[b a 上连续，则有定积分的分部积分公式：
b
a b
a
x v x u x d x v x u )()()()(='⎰
⎰'-b
a
x d x v x u )()(.
证明：由于)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='，两端在],[b a 上积分得，
b
a x v x u )()( x d x v x u x d x v x u b
a
b a
)()()()('+'=⎰⎰，
整理得b
a b
a
x v x u x d x v x u )()()()(='⎰⎰'-b
a
x d x v x u )()(.
例10. 计算⎰2
/10
arcsin x d x .
解：⎰
2
/10
)'(arcsin x d x x 2/10
arcsin x
x =⎰
-2
/10
)(arcsin x d x 2/10
arcsin x
x =⎰
--2
/10
2
1x d x
x
2/10
arcsin x
x =⎰
--+2
/10
22
)1(11x d x
2/10
arcsin x
x =2/10
21x -+12
3
12
-+
=
π
. 例11. 计算⎰1
x d e
x
.
解：令x t =，则2t x =，t d t x d 2=，于是
⎰1
x d e
x
⎰=10
2t d e t t
⎰=10
)'(2t d e t t
10
2t
te =⎰-10
2t d e t 10
2t
te =10
2t
e -2=.
思考题：x t d t x x d d x 1000
100
sin )(sin =-⎰. 提示: 令t x u -=，则t d t x x
⎰-0
100
)(sin u d u x
⎰-=0
100
sin
u d u x
⎰=0
100sin .
第四节 反常积分
一、无穷积分 1.引例：曲线2
1
x y =
和直线1=x 及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰+∞=12x x d A ，其
含义可理解为⎰
∞+→=b
b x x d A 1
2lim 11lim b
b x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞+→ ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=∞+→b b 11lim 1= 将⎰
∞+→=b
b x x
d A 1
2lim
记作⎰∞+12x
x d ，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，取a b >，若x d x f b
a
b )(lim ⎰
∞+→存在 ，则称此
极限为)(x f 在无穷区间),[∞+a 上无穷积分,记作
x d x f x d x f b
a
b a
)(lim
)(⎰
⎰
∞+→∞
+=，
此时也称为无穷积分x d x f a
)(⎰∞+收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分x d x f a
)(⎰
∞+发散，
可类似定义：
)(x f 在无穷区间),(b -∞上的无穷积分：x d x f x d x f b
a
a b
)(lim
)(⎰
⎰
∞-→∞
-=.
)(x f 在无穷区间),(∞+-∞上的无穷积分：=⎰
∞+∞
-x d x f )(x d x f c
a
a )(lim
⎰
∞-→x d x f b
c
b )(lim
⎰
∞+→+.
注：上述定义中若出现∞-∞，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分.
3.无穷积分的计算：设)(x F 是)(x f 在),[∞+a 上的一个原函数，引入记号:
)(lim )(x F F x ∞
+→=+∞;)(lim )(x F F x ∞
-→=-∞,
则有类似牛——莱公式的计算表达式:
x d x f a )(⎰∞
+∞+=a x F )()()(a F F -+∞=； x d x f b
)(⎰
∞-b x F ∞-=)()()(-∞-=F b F ； x d x f )(⎰
∞
+∞
-∞+∞
-=)
(x F )()(-∞-+∞=F F .
例1. 计算反常积分⎰+∞
∞-+2
1x x
d .
解：⎰
+∞
∞-+2
1x x
d ∞+∞
-=x
arctan π2π2π=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=
. 另解：⎰+∞
∞-+21x x
d ⎰+∞+=02
12x x d ∞+=0
arctan 2x π02π2=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=. 注：012
=+⎰
+∞
∞-x x
d x 是否正确？
因为∞
-+∞
∞
+∞-+=+⎰)1ln(2
1
122x x x d x ，故原积分发散，所以对反常积分, 只有在收敛的条件下才能
使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误 .
例2. 计算反常积分)0(0
>⎰+∞
-p t d e t t p .
解：⎰+∞
-0
t d e t t p ⎰+∞
--
=0)(1t
p e d t p ∞
+--=0
pt e p
t ⎰+∞-+
01t d e p
t
p ∞
+--=0
pt
e p t
)(10
2
⎰
+∞
---t p d e p
t p ∞
+-⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0
pt e p t ∞
+-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-0
21pt e p
()
)10(110lim 12--⋅--
=-+∞→p te p pt t 21
lim 1p e t p pt t +-=+∞→ 211lim 1p pe p pt t +-
=+∞→2
1
p =
. 例3. 证明p 积分⎰
+∞
a p
x x
d )0(>a 当1>p 时收敛; 1≤p 时发散. 证明：当1=p 时，有⎰+∞a p
x x d ()∞
+=a x ||ln +∞=， 当1≠p 时，有⎰
+∞
a
p x x d ∞
+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a
p
p x 11⎪⎩
⎪⎨⎧>-<∞+=-.1,1,
1,1p p a p p
因此当1>p 时, 反常积分收敛, 其值为11--p a p
；当1≤p 时, 反常积分发散.
二、瑕积分 1.引例：曲线x
y 1
=
与x 轴及y 轴和直线1=x 所围成的开口曲边梯形的面积可记作⎰=1
0x
x
d A ，其含义可理解为⎰+→=10lim εεx x d A 1
02lim ε
εx +→= )1(2lim 0
εε-
=+→ 2=.
将⎰
+→=1
lim ε
εx x
d A 记作⎰10x
x d ，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分.
易知左端点0是被积函数x /1的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分.
2.瑕点：若函数)(x f 在点a 的任意邻域内都无界，则称a 为)(x f 的无界间断点，又称为瑕点.
3.瑕积分：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，点a 为)(x f 的瑕点，取0>ε，若x
d x f b
a )(lim 0
⎰+→+ε
ε存在 ，则称此极限为)(x f 在区间],(b a 上的瑕积分,
记作
x d x f b
a
)(⎰
x d x f b
a )(lim 0
⎰
+→+=ε
ε，
此时也称瑕积分x d x f b a
)(⎰收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分x d x f b
a
)(⎰发散，
可类似定义：
若)(x f 在区间),[b a 内连续，b 为)(x f 的瑕点，则有：x d x f x d x f b a
b
a )(lim )(0
⎰
⎰-→+=ε
ε.
若)(x f 在区间],[b a 上除了点c 外连续，c 为)(x f 的瑕点，则有：
=⎰
x d x f b
a
)(x d x f c a
)(⎰x d x f b
c
)(⎰+x d x f c a
)(lim 1
10
⎰
-→+=εεx d x f b
c )(lim 2
20
⎰
+→++εε.
注：若出现∞-∞，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注：
1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, 而不是反
常积分. 例如: x d x x ⎰---1
1211
x d x ⎰-+=11
)1(. 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如
⎰
-10
2
1x
x d ⎰
=2
/0
πt d (令t x sin =)
x d x x ⎰++1
04211
⎰++=10222
/1/11x d x x x ⎰+--=1022)/1()/1(x x x x d ⎰∞-+=02
2t t d (令x
x t 1-=) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设)(x F 是)(x f 的一个原函数， 则有类似牛——莱公式的计算表达式:
若b 为瑕点, 则x d x f b
a
)(⎰)()(lim a F x F b
x -=-→)()(a F b F -=-;
若a 为瑕点, 则x d x f b
a
)(⎰)(lim )(x F b F a
x +→-=)()(+-=a F b F ;
若a 和b 都为瑕点, 则x x f b
a
d )(⎰)(lim )(lim x F b F a
x b
x +-
→→-=)()(+--=a F b F . 思考题：若瑕点),(b a c ∈，则=⎰x x f b
a
d )()()(+-c F b F )()(a F c F -+-)()(a F b F -=是否正确？
提示：)(+c F 和)(-c F 不一定相等. 例4.
)0(0
2
2>-⎰
a x a x d a
-
=a a
x
arcsin
1arcsin =2
π=
. 例5. 讨论反常积分⎰
-1
12
x x
d 的收敛性.
解：由于⎰-1
12x x d ⎰-=012x x d ⎰+102x x d -
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=01
1x 1
01+
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+x ∞=，所以反常积分⎰-1
1
2
x x
d 发散. 例6. 证明反常积分⎰
-b
a q
a x x
d )(当1<q 时收敛; 1≥q 时发散.
证明：当1=p 时，a 为被积函数的瑕点，有⎰
-b
a q
a x x
d )(()b a x +
-=|1|ln +∞=，
当1≠p 时，有⎰
-b
a q
a x x
d )(b
a q
q a x +
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=-1)(1⎪⎩
⎪
⎨⎧>∞+<<--=-.1,,10,1)(1q q q a b q
因此当1<q 时, 反常积分收敛, 其值为q a b q
---1)(1；当1≥q 时, 反常积分发散.
例7. 计算反常积分⎰
∞
++0
3
)
1(x x x d .
解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分.
令t x =，则2t x =，t d t dx 2=，当+→0x 时，0→t ；当+∞→x 时，+∞→t ，于是
⎰
∞
++0
3
)
1(x x x d ⎰
∞
++=0
2
/32)1(2t t t d t ⎰∞++=02/32)1(2t t d . 再令u t tan =，()2/,0π∈u ，u d u dt 2sec =，t u arctan =，当0=t 时，0=u ；当+∞→t 时，
2/π→u ，于是⎰
∞
++0
3
)
1(x x x d ⎰
=2
/0
32sec sec 2πu
u
d u ⎰=2/0cos 2πu d u 2=. 三.两类反常积分之间的关系：
瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，由定义有⎰
⎰+→+=b a b
a x d x f x d x f ε
ε)(lim )(0
，令t
a x 1
+=，有
⎰
⎰
-→⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=+εε/1)
/(120
11lim )(a b b a
t d t t a f x d x f t d t t a f a b ⎰∞+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=)/(1211.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
一、无穷积分的审敛法
由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：
定理1. 无穷积分
x d x f a
⎰+∞)(收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃A ，当A A A >'','时，有
ε<⎰
x d x f A A '''
)(成立.
下面讨论无穷积分x d x f a
⎰
+∞)(的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分.
2.有界审敛法：
定理2. 设非负函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，若函数t d t f x F x
a
⎰=)()(在),[∞+a 上有界，
则反常积分
x d x f a
⎰
+∞)(收敛.
证明：由于0)()('≥=x f x F ，则)(x F 在),[∞+a 上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知
⎰
+∞
→+∞
→=x a
x x t d t f x F )(lim
)(lim 存在 ,即反常积分
x d x f a
⎰
+∞)(收敛.
由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：
定理3.设函数)(x f 、)(x g 在区间),[∞+a 上连续，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g a ⎰+∞)(收敛，则x d x f a ⎰
+∞)(收敛； (2). 若
x d x f a
⎰+∞)(发散，则
x d x g a
⎰
+∞)(发散.
证明：设a t >，由于)()(0x g x f ≤≤，有x d x f t
a
)(⎰x d x g t
a
)(⎰≤. (1). 若
x d x g a
⎰
+∞)(收敛，则有x d x f t a
)(⎰x d x g t a )(⎰≤x d x g a
)(⎰
∞
+≤，即x d x f t F t
a
)()(⎰=在
),[∞+a 单调递增且有上界, 由定理1知x d x f a ⎰
+∞)(收敛.
(2).用反证法：假设
x d x g a
⎰
+∞)(收敛，
则由x d x f t
a
)(⎰ x d x g t
a
)(⎰≤x d x g a
)(⎰∞
+≤知，x
d x f a
⎰
+∞)(收敛，出现矛盾，故
x d x g a
⎰
+∞)(发散.
注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散.
由于反常积分)0(1>⎰∞+a x d x a p 当1>p 时，收敛；当1≤p 时，发散，故通常取)0()(>=A x A
x g p
作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法：
定理4.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞
→)(lim ，
(1). 当1>p 时，若0>∃M ，a x ≥∀, 有p x
M
x f ≤)(，则x d x f a ⎰+∞)(收敛；
(2). 当1≤p 时，若0>∃N ，a x ≥∀, 有p x
N
x f >)(则x d x f a ⎰+∞)(发散.
例1. 判别反常积分
x d x ⎰
+∞+1
3
4
11的敛散性.
解：由于3
/43
4
3
4
11
1
1
0x x
x =
<
+<
，而
x d x
⎰
+∞1
3
/41收敛，故x d x ⎰
+∞+1
3
4
1
1收敛.
在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：
定理5.设非负函数)(x f 在区间),[∞+a )0(>a 上连续，对常数p ，记l x f x p x =+∞
→)(lim ，
(1). 当1>p 时，若+∞<≤l 0，则x d x f a ⎰+∞)(收敛； (2). 当1≤p 时，若+∞≤<l 0，则x d x f a
⎰
+∞)(发散.
证明：
(1). 当1>p 时，若0)(lim ≥=+∞
→l x f x p x ，则由极限定义知：对任意给定的0>ε，当x 充分大
时，必有M l x f x p
=+≤ε)(，即p x
M
x f ≤≤)(0，由比较审敛法知
x d x f a
⎰
+∞)(收敛.
(2). 当1≤p 时, 若0)(lim >=+∞
→l x f x p x , 则由极限定义，可取0>ε，使0>-εl ，当x 充分大时，必有N l x f x p =-≥ε)(，即p x
N
x f ≥
)(，由比较审敛法知x d x f a
⎰
+∞)(发散.
若+∞==+∞
→l x f x p x )(lim ，则对任意+∈N N ，当x 充分大时，N x f x p ≥)(，即p
x N
x f ≥)(，由比较审敛法知
x d x f a
⎰
+∞)(发散.
例2. 判别反常积分
x d x
x ⎰
+∞+1
2
11的敛散性.
解法(一)：由于22
1
110x
x
x <+<
，而x d x
⎰
+∞1
21
收敛，故x d x
x ⎰
+∞+1
2
11收敛.
解法(二)：由于2
211
lim x
x x x +⋅
+∞
→ 1
1
lim
2
1+=+∞
→x x 1=，极限审敛法知
x d x
x ⎰
+∞+1
2
11收敛.
例3. 判别反常积分
x d x
x ⎰
∞++1
2
2
/31的敛散性. 解：由于22/31lim x x x x +⋅+∞→ 2
21lim x x
x x +⋅+∞→+∞=，极限审敛法知
x d x x ⎰
∞++1
2
2
/31发散. 例4. 判别反常积分
x d x
x
⎰
+∞1
arctan 的敛散性.
解：由于x x x x arctan lim ⋅+∞→ x x arctan lim +∞→2π
=，极限审敛法知x d x
x ⎰+∞1arctan 发散. 当被积函数不是非负函数时，我们可以考虑被积函数取绝对值的积分，即引入绝对收敛
的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法：
(1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分x d x f a
)(⎰
+∞收敛，
若⎰∞+a x d x f )(收敛，则称x d x f a )(⎰+∞绝对收敛； 若
⎰
∞+a
x d x f )(发散，则称x d x f a
)(⎰
+∞条件收敛；
(2)．绝对审敛法：
定理6.若函数)(x f 在区间),[∞+a 上连续，且⎰
∞+a
x d x f )(收敛，则x d x f a
)(⎰
+∞收敛.
证明：令])()([2
1
)(x f x f x +=ϕ，则)()(0x f x ≤≤ϕ，由于⎰∞+a x d x f )(，故x d x a )(⎰+∞ϕ收
敛，而)()(2)(x f x x f -=ϕ，又x d x f x d x x d x f a
a
a
)()(2)(⎰
⎰⎰+∞
+∞+∞
-=ϕ，
故x d x f a
)(⎰+∞收敛.
例5. 判断反常积分x d bx x a ⎰
∞+-0
sin e b a ,(为常数，)0>a 的敛散性.
解:由于 x a x a x b --≤e sin e ，而x x
a d e
⎰∞+-收敛，根据比较审敛原理知⎰
∞+-a
x a x bx d sin e ，
再由绝对收敛定理知x d bx x a ⎰∞+-0
sin e 收敛.
二、瑕积分的审敛法
由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则： 定理7. 瑕积分
x d x f b a
⎰
)((a 为)(x f 的瑕点)收敛的充要条件是：对0>∀ε，0>∃δ，当
δηη<<'','0时，有
εηη<⎰
-+x d x f b a '''
)(成立.
2．比较审敛法：
定理8.设非负函数)(x f 、)(x g 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 、)(x g 的瑕点，且a x ≥∀，有)()(0x g x f ≤≤， (1). 若x d x g b a ⎰)(收敛，则x d x f b a ⎰
)(收敛； (2). 若
x d x f b a
⎰
)(发散，则
x d x g b a
⎰
)(发散.
利用反常积分⎰
-b
a q
a x x
d )(当10<<q 时收敛; 1≥q 时发散的结论，瑕积分有如下的柯西审
敛法和极限审敛法：
3．柯西审敛法：
定理9.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点， (1). 若0>∃M ，当1<q 时，],(b a x ∈∀, 有q
a x M
x f )
()(-≤
，则x d x f b a
⎰
)(收敛；
(2).若0>∃N ，当1≥q 时，],(b a x ∈∀, 有q
a x N
x f )()(->则
x d x f b a
⎰
)(发散.
4．极限审敛法：
定理10.设非负函数)(x f 在区间],(b a 上连续，a 为)(x f 的瑕点，对常数q ，记
l x f a x q a
x =-+→)()(lim ，
(1). 当10<<q 时，若+∞<≤l 0，则x d x f b a
⎰
)(收敛；
(2). 当1≥q 时，若+∞≤<l 0，则x d x f b a
⎰
)(发散.
例6. 判别反常积分⎰
3
1ln x
x
d 的敛散性. 解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于
1/11
lim ln 1)1(lim 11
==-+
+
→→x
x x x x ， 由极限判别法知瑕积分⎰3
1
ln x
x
d 发散. 例7.判定椭圆积分)1()
1)(1(210
222<--⎰
k x k x x d 的敛散性.
解：易知1=x 是被积函数的瑕点，由于
)
1(21)
1)(1(1lim )
1)(1(1lim 2
2
2
1
2
2
2
1
k x k x x x k x x x x -=
-+-=---+
+
→→，
故由极限判别法知⎰--10
2
22
)
1)(1(x k x x d 收敛.
5．绝对审敛法：
(1). 瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分x d x f b
a
)(⎰(a 为)(x f 的瑕点)收敛，
若x d x f b a
|)(|⎰收敛，则称x d x f b
a
)(⎰绝对收敛；
若x d x f b a
|)(|⎰发散，则称x d x f b
a
)(⎰条件收敛；
(2)．绝对审敛法：
定理11.若函数)(x f 在区间],(b a 上连续上连续，且x d x f b
a
|)(|⎰收敛，则x d x f b
a
)(⎰收敛.
例8.判定反常积分⎰
10
1
sin 1x d x x
的敛散性. 解:易知0=x 是被积函数的瑕点，由于
x
x x 1
1sin 1≤
，而⎰101x d x 收敛，根据比较审敛法知⎰
10
1
sin 1x d x x
，再由绝对收敛定理知⎰101sin 1x d x x 收敛. 例9.判定反常积分x d x
x
⎰
1
0ln 的敛散性 解: 易知0=x 是被积函数的瑕点，由于x x x x ln lim 4
3
0+→0ln lim 410==+→x x x ,从而0ln lim 43
0=+
→x
x x x ，即x d x
x
⎰
10
ln 收敛，从而x d x x ⎰10ln 收敛. 三、Γ 函数
1. Γ 函数：称参变量α的反常积分为)0(0
1>⎰
∞+--ααx d e x x 为Γ函数，记作 )0()(0
1>=⎰
∞
+--ααΓαx d e x x .
2. Γ函数的收敛性：)0()(0
1>=⎰
∞+--ααΓαx d e x x 收敛.
证明：由定义式可知，函数可分解为⎰∞+--=0
1)(x d e x
x
ααΓ⎰--=1
1x d e x
x
α⎰
∞
+--+1
1x d e x x α.
当1>α时，⎰--1
01x d e x x α为定积分；
当10<<α时，⎰--1
1x d e x x α为瑕积分，0=x 为瑕点，此时，由于x x e x e x 1111⋅
=
---α
α α
-<11
x ， 又由于11<-α时，瑕积分⎰-10
11x d x
α
收敛，于是⎰--1
1x d e x x α收敛.
对无穷积分⎰
∞
+--1
1x d e x
x
α，由于⋅+∞→2
lim x x )(1x
a e x --x a x e
x 1
lim ++∞→=0=，从而⎰∞+--11x d e x x α收敛.
综上可得⎰
∞+--=0
1)(x d e x x ααΓ收敛.
3. Γ 函数的性质：
(1). 递推公式：)()1(αΓααΓ=+. 证明：应用分部积分法，有
⎰
⎰
∞+-∞+--==+0
)1(x
x
e
d x x d
e x αααΓ[
]
⎰
+∞---+-=+∞0
10
x d e x e
x x x
ααα)(αΓα=.
当•α介于两个整数之间时，则
)1()1()()1(--==+αΓαααΓααΓ
)2()2)(1(---=αΓααα
=
)()()2)(1(n n ----=αΓαααα )10(<-<n α.
当•α为正整数n 时，则
)1()1()()1(--==+n n n n n n ΓΓΓ
)2()2)(1(---=n n n n Γ
=
)]1([)]1([)2)(1(------=n n n n n n n Γ )1(1)2)(1(Γ --=n n n )1(!Γn =，
而1)1(0
==⎰+∞-x d e x Γ，所以⎰
∞+-==+0
!)1(x d e x n n x n Γ.
(2). 当+→0s 时，+∞→)(s Γ. 证明：由于α
αΓαΓ)
1()(+=
且1)1(=Γ，又)(αΓ当0>α时连续(可证)，于是 +∞=+=+
+
→→α
αΓαΓαα)
1(lim )(lim 00. (3). 余元公式: )10()
sin(ππ)1()(<<=
-αααΓαΓ.
注：π210
2/1==⎪⎭⎫
⎝⎛⎰∞+--x d e x x Γ.
(4). Γ 函数的其它形式：)0(2)(0
122
>⋅=⎰∞+--ααΓαt
•d e t t .
推导：对Γ 函数⎰∞+--=0
1)(x d e x x ααΓ，令2t x =得，⎰
∞+--⋅=0
122
2)(t •d e t t ααΓ.
注： 1°
.)1(21210
2->⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=⎰
∞+-t t x d e x x t Γ.
推导：令u x =2，则u x =，u d u
x d 21=
，于是
⎰
∞+-0
2
e
x d x x t
⎰∞+--=021221x d e u u t ⎰∞+--+=0121
221x d e u u t )1(2121->⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=t t Γ.
2°
.概率积分：⎰
∞+-0
2
x d e
x ⎪⎭⎫
⎝⎛=2121Γ 2
π=
. 例10. 计算反常积分⎰
∞+-0
198
x d e x x .
解：令u x =8
，则u d x d x =7
8，u d u x d 87
8
1-
=，于是
⎰
∞+-0
198
x d e
x x ⎰∞+-=02381u d e u u ⎰∞+--=0
125
81u d e u u
⎪⎭⎫ ⎝⎛=2581Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=232381Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=1212381Γ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=21212381Γ323π
=.。