第三章生存年金1

1 − (1 + i) Ax:n +1| i
x:n | − ax:n−1| ⇒ Ax:n | = va
2－25
3、延期n年的终身生存年金（P68）
n|
ax =
n|
k = n +1
∑v
∞ ∞
∞
k
⋅k p x ( k ′ = k − n )
k ′+ n
ax = ∑ v
k ′=1
⋅k ′+ n px
n|
a x = a x − a x:n| x − 1) − (a x:n +1| − 1) = (a = Ax:n +1| − Ax d
2－27
4、延期m年的n年定期生存年金
m|
a x:n | = m|n a x = a x:m + n| − a x:m | = m E x ⋅ a x + m:n | = Ax:m +1| − Ax:m + n +1| d
2－29
常见险种的期初付生存年金(小结)
险种 终身生存年金 n年定期 生存年金 延期n年 终身生存年金 延期m年的 n年定期 生存年金
n|
期初付年金精算现值
x = ∑ v k ⋅k p x = a 1 − Ax d k =0 n −1 1 − Ax:n| k = ∑ v ⋅k p x = d k =0
趸缴年金/年缴年金（按交保费的方法） 个人年金/联合年金（按被保险人数） 定额年金/变额年金（按给付年金的额度） 即付年金/延付年金（按给付开始的日期） 定期年金/终身年金（按给付期间）
2－4
二、生存年金与确定性年金的关系

确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
1 − Ax 1 − d − Ax x − 1 = ax = a −1 = d d 1 − (1 + i ) Ax ∴ ax = i 其中 Ax 为死亡年末给付终身寿险的趸缴纯保费
2－22
期末付终身生存年金
1 − (1 + i ) Ax ax = i ⇒ ia x = 1 − (1 + i ) Ax
k +1 k +1 1 − 1 − v v k +1| = 1 + v + v 2 + " + v k = = Y =a 1− v d 1 − E (v k +1 ) 1 − Ax x = E (Y ) = = a x ⇒1= d ⋅a d d
+ Ax

上式表明，x岁的生存者，在年利率为i时，缴纳1元保费即 可享受每年初给付d元的终身生存年金，一旦死亡，还有1元 的死亡保险金（死亡年末给付）。
或 : 1 = i ⋅ a x + (1 + i ) Ax
ia x 1 ⇒ Ax = − 1+ i 1+ i x − a x ia x a = − 1+ i 1+ i x − a x = va
2－23
期末付终身生存年金
x − a x Ax = va
2－24
2、期末付n年定期生存年金
对于期末付n年定期生存年金，其精算现值用
n + m −1 k =m

m| a x:n| =
k v ∑ k px
x:m + n| − a x:m| =a
x + m:n| = m Ex a
2－18
二、期初付年金的精算现值与趸缴纯保费之间的关系

x 与 Ax 之间的关系： 首先，考虑 a x 为期初付终身生存年金的精算现值 a Ax 为死亡年末给付终身寿险的趸缴纯保费 设K为取整余寿，Y为期初付终身生存年金给付的现值随机变 量，

对于延期m年的n年定期生存年金，
m|
x:n| = a
Ax:m| − Ax:m + n| d
2－21
三、期末付年金的精算现值

1、期末付终身生存年金。 每个保单年度末给付1元的终身生存年金， a x 表示该年金 的精算现值。
x − 1 a x = ∑ v k ⋅k p x = a
k =1
∞
第三章
生存年金
1
本章重点

生存年金简介 离散型年金 连续给付型年金 每年给付数次的年金（略） 利用换算函数计算年金精算现值
2－2
第一节 生存年金简介
3
一、生存年金的概念与分类


定义： 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期 （年、半年、季、月）支付一次保险金的 保险类型。 分类（P57）：
K + 1 , K = 0,1, " , n − 1 ⎧a ⎪ Y =⎨ n a ,K ≥ n ⎪ ⎩ x = E [Y ] = a ∑a
k =0 n −1 k +1
n ⋅ n p x ⋅ k qx + a
2－16
3、延期终身生存年金


设(x)购买了一份每个保单年度初给付1元的延期n 年终身生存年金，其年金精算现值用 a 表示。 n| x 现时支付法（当期支付技巧）：
=
k v ∑ ⋅k p x = k =0 ∞
∞
k =0
பைடு நூலகம்
∑
∞
k =0
k
x Ex = a
2－15
2、期初付定期生存年金



当年金受领人生存时，每个保单年度初给付1元的 x:n|表示。 n年定期生存年金的精算现值用 a 现时支付法： n −1 n −1 n −1 1 +1 +1 x:n = ∑ k Ex = ∑ v kk a ⋅ k px = ∑ v kk ⋅ lx + k lx k =0 k =0 k =0 总额支付法：设 Y为年金给付的现值随机变量
n
a x:n| 表示。
x:n | − 1 + n E x = a x:n +1| − 1 a x:n | = ∑ v k ⋅k p x = a
k =1
x:n +1| − 1 = a x:n | = a
∴
1 − Ax:n +1| d
−1 =
1 − d − Ax:n +1| d
ax:n | =
k′
= ∑ v ⋅ v ⋅n px ⋅k ′ px+n
n k ′=1
=n Ex ⋅ ∑ v ⋅k ′ px+n =n Ex ⋅ ax+n
k′ k ′=1
2－26
∞
延期n年的终身生存年金（续）
n|
ax =
k = n +1
∑v
∞
k
⋅k p x =
k k = n +1
∑
∞
E x = a x − a x:n|
2－13
一、期初付年金及其精算现值


1、期初付终身生存年金。 我们考虑每个保单年度初给付1元，直到年金受领人死亡的 年金。设x岁的购买了这种期初付终身生存年金，a x表示该 年金的精算现值。 现时支付法（当期支付技巧）：
∞ 1 k kk k +1 x = ∑ k Ex = ∑ v ⋅ k px = ∑ v +1 ⋅ lx + k a lx k =0 k =0 k =0 ∞ ∞
n|
x = ∑ v a
k =n
∞
k k
px
x − a x:n| =a
x + n = n Ex a
2－17
4、延期定期生存年金

设(x)购买了一份延期m年，且在每个保单年度初 给付1元的n年定期生存年金，其年金精算现值用 x 表示。 m| a x:n| 或 m|n a 现时支付法（当期支付技巧）：

生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款

生存年金与确定性年金的区别 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为 条件）
2－5
三、生存年金的用途

被保险人保费交付常使用生存年金的方式。 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存 年金的方式，特别在： 养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险

总额支付法（综合支付技巧）：
∞ ∞
x = E[a K +1 ] = ∑ a k +1 ⋅ Pr( K = k ) = ∑ a k +1 ⋅ k qx a
k =0 k =0
2－14
总额支付法与现时支付法是等价的
x = E [ a K +1 ] = ∑ a k +1 ⋅ Pr( K = k ) = ∑ a k +1 ⋅ k q x a
k =0 k =0 ∞ ∞
因为k | q x = k p x ⋅ q x + k = k Px − k +1 p x , 则有
x = ∑ a k +1| ⋅ ( k p x − k +1 p x ) a
1| (1 − p x ) + a 2| ( p x − 2 p x ) + a 3| ( 2 p x − 3 p x ) + " =a 1| + p x (a 2| − a 1| ) + 2 p x (a 3| − a 2| ) + " =a 2 n = 1 + px ⋅ v + 2 px ⋅ v + " + n px ⋅ v + "
x:n| a
1 − E ( Z ) 1 − Ax:n| = E (Y ) = = d d
x:n| + Ax:n| ⇒1= d ⋅a
2－20
2、延期年金

对于延期n年终身生存年金，
n|
x = a x − a x:n| a
1 − Ax 1 − Ax:n| Ax:n| − Ax = − = d d d
−40
2－9
相关公式及意义 (P65)
(1) lx ⋅ n Ex (1+ i)n = lx+n 1 1 n lx = n = (1+ i) (2) S = →精算积累因子 v ⋅ n px lx+n n Ex Ex = (3) n Ex = t Ex ⋅ n−t Ex+t ⇔ n Ex
t
1 n−t Ex+t
2－8
例

计算25岁的男性购买40年定期一万元生存 险的趸缴纯保费。已知 40 p25 = 0.804438
（1）假定i＝6％ （2）假定i＝2.5％
(1)1000040 E25 = 10000×1.06 × 0.804438= 782.09 (2)1000040 E25 = 10000×1.025−40 × 0.804438= 2995.97
2－6
四、生存年金精算现值的概念

生存年金的精算现值：生存年金的趸缴纯保费。 现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得 生存赔付的保险。也就是我们在第二章讲到的n年期纯生 存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费 A 1 。
x:n

在生存年金研究中习惯用 n Ex 表示该保险的精算现值：
2－10
生者利

由存活者分享死亡者利益的情况称为生存者利益或者 生者利。
l x ⋅n E x (1 + i ) = l x + n
n

l20 ⋅40 E20 (1 + i ) = l60
40


如果生命表中 l20 = 983992 ，每人缴付0.08672元， 在利率的作用下，在40年后形成金额为877671元， 恰好满足在60岁存活的人 l60 = 866671每人1元的给 付。 在20～59岁死亡的 l20 − l60 = 106321人在满期时没有 给付，其缴费由生存者分享。
2－28
例3.7

已知
x
lx
dx
i = 0.05
90 100 28
91 72 33
92 39 39
93 0 －

假定91岁存活给付5，92岁存活给付10， 求：a 90
2
5 72 10 39 90 = 5vp90 +10v 2 p90 = a + = 6.97 2 1.05 100 1.05 100
2－11
第三节 离散生存年金
12
简介



离散生存年金定义： 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期 支付一次年金的保险。 离散生存年金与连续生存年金的关系 计算精算现值时理论基础完全相同。 离散－求和→连续－积分 连续场合不存在初付（期初）延付（期末）问题，离散 场合初付（期初） 、延付（期末）要分别考虑。 离散生存年金的分类 期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
2－19
x:n|与 Ax:n| 之间的关系 1、n年定期生存年金 a x:n| 为n年定期期初付生存年金的精算现值 a A x:n| 为死亡年末给付n年期两全保险的趸缴纯保费

对于n年定期生存年金，
即 值随机变量。故而
Y=
1− Z ，这里的Z为保额1元的n年期两全保险的给付现 d
⎧1 − v K +1 , k = 0,1," , n − 1 ⎪ ⎪ d ⇒Y = ⎨ n 1 v − ⎪ ,k ≥ n ⎪ ⎩ d
n
Ex = A = v ⋅n px
n
1 x:n

称为精算折现因子，而 1/ n E x 称为精算积累因子。 n 注：与确定性年金的折现因子（v ）的区别。
2－7
例 3.1

某人遗嘱中记录，其儿子年满21岁时可获得 其5万元遗产。若其子现年12岁，利用附录中 的生命表(P304)求其子所得遗产的现值 （i=6%）。