第二章 质点运动学总结
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z A· Δ S r1 o x
下页 返回 结束 Δr
t 0
dr ds
r2
· B
y
元位移的大小
元路程
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第二章 质点运动学
§2.2
速度与加速度
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度 r (t t ) r (t ) r 定义 v t t __ r 相 同 v 是矢量 , 方向与 __ r 大小为 v t 平均速率 P Q r r ( t t )
地面系
o
日心系
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Y
结束
X
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地心系
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第二章 质点运动学
选取不同的参考系,描写物 体运动的规律是不同的。
选择合适的参考系, 建立恰当的坐标系,
月亮 地球 以地球为参照系
以太阳为参考系
以方便确定物体的运动性质; 以定量描述物体的运动;
提出准确的物理模型, 以突出问题中最基本的运动规律。 讨论:刻舟求剑的启示?
x a( sin ) a(t sint ) y a(1 cos ) a(1 cost )
思考:圆内的一点和圆外的一点?
x a b sin y a b cos
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第二章 质点运动学
§2.1.2 位移
1. 位移——位置矢量的增量 位移——是由初位置引向末位置的矢量,
r (t )
O
s v 0 s为路程 t
v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
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第二章 质点运动学
2. 瞬时速度(简称速度)
定义
v是 矢 量 ,
dr r lim v l i mv t 0 t t 0 dt
在t时间间隔内位矢的增量。 y P
r (t )
r
Q
r ( t t )
r r (t t ) r (t )
O r ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k xi yj zk 位移大小 r Δ x2 Δ y2 Δ z2
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学
§2.1 运动学方程
§2.1.1 位置矢量与运动方程
§2.1.2 位移
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第二章 质点运动学
机械运动的基本运动形式: (1) 平动--- 物体上任一直线恒保持平行的运动; (2) 定轴转动---各点绕一固定轴作圆周运动的运动
物理建模
数学建模
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证明:旋轮线是最速降线:在竖起平面内给出两点A和B,找出 AB两点的曲线在重力作用下由A滑至B所需的时间最短。 (参考文献:大学物理教与学P11)
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第二章 质点运动学
§2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
1.平均加速度
v 定义 a t 方向同 v
2 2 v | v | v x v2 v y z
vx cos v v
cos v vy v
vz cos v v
瞬时速率(简称速率)
s ds v lim t 0 t dt
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第二章 质点运动学
一般情况 v v ( s r ) 单向直线运动情况 v v ( s r )
(单位m,s)
求:(1)t = 0,1s时质点的速度矢量;(2)t =0到t =1s质点的 平均速度。 [解 ]
dr (1) v 15 j 10 tk dt
v v
(单位m/s , s) z
v (t ) v ( 0)
O
大小
15 2 (10 t ) 2
2
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第二章 质点运动学
则得: 0=-ux vy xv cos yu cos = x(u v cos ) y(v u cos )
x v u cos 由此可得: y u v cos 即当两船距离最短时, 两船与码头的距离之比 为: (v u cos):(u v cos)
v0 v cos
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第二章 质点运动学
s
l 2 h2
l h
dl l ds dt v 2 2 dt l h
v0 l v0 s cos
如果考虑方向?
dl v0 dt
s
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第二章 质点运动学 [例题2]. 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为v0
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第二章 质点运动学 [例题 2] 讨论 2 如图所示,一人站在河岸上(岸高h),手握绳之 一端,绳的另端系一小船。那人站着不动,以手收绳。设收绳 速度v0恒定,绳与水面的夹角为θ,船向岸靠拢的速度v=v0cosθ 吗 ?如果不是,那为多少?
解: v v cos 0
v0
v
225 100t
y
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第二章 质点运动学
方向
cos vx 0 0 v v
15 cos v v vy
v z 10t cos v v
t =0时, v 15 m/s
t =1s时, v 5 13 m/s
cos 0, cos 1, cos 0
r r x2 y2 z2
y cos r
x cos r
z cos r
cos2 cos2 cos2 1
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第二章 质点运动学 4. 运动方程----描写运动的全过程
运动学方程——质点的位置随时间变化的函数方程 矢量式 r r (t )
瞬时速率等于瞬时速度的大小
dr ds
v ds dt dr dt v
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第二章 质点运动学
讨论1
“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说 法是否正确?如何正确表述瞬时速度的定义?我们是 否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度?
答:“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确 。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点 在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度 r / t 当△t→0时的极限,即
π 如:x 2 cos t 6
v0
π y 2 sin t 6
z0
x2 y2 4
[练习1] l h
z0
解: x= l 2 h2
(l0 v0t )2 h 2
求x(t)
x
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第二章 质点运动学 [练习2] 旋轮线:一个以匀角速在地面上流动的轮子边缘上一 点的运动方程。
x
位移方向 由A指向B.
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第二章 质点运动学
2. 路程
路程 ——质点经过的路径的总长度. 位移与路程不同,前者是矢量,后者是标量.
如图: r 同
S1 S2 S3
[问题] 二者何时相同?
s1 r p r
O
P
s2
Q
s3
rQ
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第二章 质点运动学
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第二章 质点运动学 3. 位置矢量 位置矢量——由原点(参考点) 引向质点位置的有向线段. z
r xi y j zk
x
O
r
P y
i , j , k分别为 x, y, z轴方向的单位矢量 .
x,y,z 是质点的位置坐标. 位置矢量的大小为: 位矢方向:
。试求:
(1)人影中头顶的移动速度;(2)影子长度增长的 速率。 h l 解: x +b = b h l h b = l (x + b ) x b 上式两边微分得到:
db dx db d (x + b ) h =l +l =l dt dt dt dt dx v 而 dt = 0
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Q
方向:质点运动路径的切向. Q
dr 大小:v v dt
v
P
r4
r3
dr
r2 r1
Q
Q
瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.
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第二章 质点运动学 在直角坐标系中的分解式 d x dy dz v v x i v y j vz k i j k dt dt dt
u
v
l
l 2=x2+y 2-2 xy cos 对t求导,得:
2l dl dx dy dy dx 2 x 2 y 2(cos ) x 2(cos ) y dt dt dt dt dt
将-
dx dy dl u, v 代入上式并应用 0的求极值的条件, dt dt dt
刚体
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质点
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第二章 质点运动学
质点
由繁到简 将物体模型化为一个点——质点
由简到繁 质点——质点系
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第二章 质点运动学 2. 参考系和坐标系
为了描述一个物体的运动,必须选择另一个物 体作为参考,被选作参考的物体称为参考系。
?
参考系一定是静止的吗? (动中取静)
为了定量地描写物体相对于参考系的运动,须 在参考系上固定一个坐标系。 Z
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第二章 质点运动学
科学研究方法
理想模型方法:抓住主要矛盾,突出主要问题,忽略次要 因素的一种研究方法 质点力学是基础 如 N个沙粒组成的物质系统 --- 质点系 方法:一个沙粒一个沙粒地解决 如 连续体 方法: 切割无限多个质量元 一个质量元一个质量元地解决
一般情况 形状 形变
cos 0, cos
3 2 0.832, cos 0.555 13 13
r1 r0 ( 10i 15 j 5k ) ( 10i ) ( 2) v t1 t 0 1 0 15 j 5k (m /s)
建直角坐标系 O– xyz ,令原点与参考点重合,则:
r x(t )i y(t ) j z(t )k
标量式 如
x = x ( t)
y = y( t )
z = z ( t)
1 2 x v0t at 等 2
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第二章 质点运动学 5. 轨迹方程 轨迹方程——质点在运动过程中描出的曲线方程. 在运动方程中消去 t 就是轨迹方程, y = y (x)
第二章 质点运动学
影子长度增长速率为: ...
h b = l (x + b ) 所以人影头顶移动速度为: h d (x + b ) h d b v0 = = l dt h l dt
db l v0 = dt h l
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第二章 质点运动学
[例3]一艘船以速率u驶向码头,另一艘船以速率v自码 头离去,试证当两船距离最短时,两船与码头的距离之 比为:(v+ucosα) : (u+vcosα) 设航路均为直线,α为两航路的夹角。 x α y [解]:设任一时刻两船与码头的 距离分别为x,y,两船的距离为l,有
r dr v lim t 0 t dt
很难直接测量,在技术上常常用很短时间内的平均速度近似 地表示瞬时速度,随着技术的进步,测量可以达到很高的精 确度。
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第二章 质点运动学15tj 5t k
结束
第二章 质点运动学
1. 物理模型——质点 (繁中求简) 质点
没有大小和形状,只具有全部质量 的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况: 物体不变形,不作转动(此时物体上各点的速度及加 速度都相同,物体上任一点可以代表所有点的运动) 物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物
体的变形及转动显得并不重要)。
r 与 r 的区别
a) b ) r r2 r1 r r2 r1 r r
为矢量 r 为标量, r
A r1 o r2
Δr
B C Δr
s 与 r 的区别
路程 s 为质点运动的轨道长度 s r Δs与 Δr 比较,哪个大?
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t 0
dr ds
r2
· B
y
元位移的大小
元路程
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第二章 质点运动学
§2.2
速度与加速度
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度 r (t t ) r (t ) r 定义 v t t __ r 相 同 v 是矢量 , 方向与 __ r 大小为 v t 平均速率 P Q r r ( t t )
地面系
o
日心系
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X
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地心系
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第二章 质点运动学
选取不同的参考系,描写物 体运动的规律是不同的。
选择合适的参考系, 建立恰当的坐标系,
月亮 地球 以地球为参照系
以太阳为参考系
以方便确定物体的运动性质; 以定量描述物体的运动;
提出准确的物理模型, 以突出问题中最基本的运动规律。 讨论:刻舟求剑的启示?
x a( sin ) a(t sint ) y a(1 cos ) a(1 cost )
思考:圆内的一点和圆外的一点?
x a b sin y a b cos
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第二章 质点运动学
§2.1.2 位移
1. 位移——位置矢量的增量 位移——是由初位置引向末位置的矢量,
r (t )
O
s v 0 s为路程 t
v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
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第二章 质点运动学
2. 瞬时速度(简称速度)
定义
v是 矢 量 ,
dr r lim v l i mv t 0 t t 0 dt
在t时间间隔内位矢的增量。 y P
r (t )
r
Q
r ( t t )
r r (t t ) r (t )
O r ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k xi yj zk 位移大小 r Δ x2 Δ y2 Δ z2
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学
§2.1 运动学方程
§2.1.1 位置矢量与运动方程
§2.1.2 位移
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第二章 质点运动学
机械运动的基本运动形式: (1) 平动--- 物体上任一直线恒保持平行的运动; (2) 定轴转动---各点绕一固定轴作圆周运动的运动
物理建模
数学建模
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证明:旋轮线是最速降线:在竖起平面内给出两点A和B,找出 AB两点的曲线在重力作用下由A滑至B所需的时间最短。 (参考文献:大学物理教与学P11)
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第二章 质点运动学
§2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
1.平均加速度
v 定义 a t 方向同 v
2 2 v | v | v x v2 v y z
vx cos v v
cos v vy v
vz cos v v
瞬时速率(简称速率)
s ds v lim t 0 t dt
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第二章 质点运动学
一般情况 v v ( s r ) 单向直线运动情况 v v ( s r )
(单位m,s)
求:(1)t = 0,1s时质点的速度矢量;(2)t =0到t =1s质点的 平均速度。 [解 ]
dr (1) v 15 j 10 tk dt
v v
(单位m/s , s) z
v (t ) v ( 0)
O
大小
15 2 (10 t ) 2
2
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第二章 质点运动学
则得: 0=-ux vy xv cos yu cos = x(u v cos ) y(v u cos )
x v u cos 由此可得: y u v cos 即当两船距离最短时, 两船与码头的距离之比 为: (v u cos):(u v cos)
v0 v cos
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第二章 质点运动学
s
l 2 h2
l h
dl l ds dt v 2 2 dt l h
v0 l v0 s cos
如果考虑方向?
dl v0 dt
s
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第二章 质点运动学 [例题2]. 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为v0
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第二章 质点运动学 [例题 2] 讨论 2 如图所示,一人站在河岸上(岸高h),手握绳之 一端,绳的另端系一小船。那人站着不动,以手收绳。设收绳 速度v0恒定,绳与水面的夹角为θ,船向岸靠拢的速度v=v0cosθ 吗 ?如果不是,那为多少?
解: v v cos 0
v0
v
225 100t
y
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第二章 质点运动学
方向
cos vx 0 0 v v
15 cos v v vy
v z 10t cos v v
t =0时, v 15 m/s
t =1s时, v 5 13 m/s
cos 0, cos 1, cos 0
r r x2 y2 z2
y cos r
x cos r
z cos r
cos2 cos2 cos2 1
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第二章 质点运动学 4. 运动方程----描写运动的全过程
运动学方程——质点的位置随时间变化的函数方程 矢量式 r r (t )
瞬时速率等于瞬时速度的大小
dr ds
v ds dt dr dt v
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第二章 质点运动学
讨论1
“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说 法是否正确?如何正确表述瞬时速度的定义?我们是 否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度?
答:“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确 。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点 在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度 r / t 当△t→0时的极限,即
π 如:x 2 cos t 6
v0
π y 2 sin t 6
z0
x2 y2 4
[练习1] l h
z0
解: x= l 2 h2
(l0 v0t )2 h 2
求x(t)
x
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第二章 质点运动学 [练习2] 旋轮线:一个以匀角速在地面上流动的轮子边缘上一 点的运动方程。
x
位移方向 由A指向B.
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第二章 质点运动学
2. 路程
路程 ——质点经过的路径的总长度. 位移与路程不同,前者是矢量,后者是标量.
如图: r 同
S1 S2 S3
[问题] 二者何时相同?
s1 r p r
O
P
s2
Q
s3
rQ
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第二章 质点运动学 3. 位置矢量 位置矢量——由原点(参考点) 引向质点位置的有向线段. z
r xi y j zk
x
O
r
P y
i , j , k分别为 x, y, z轴方向的单位矢量 .
x,y,z 是质点的位置坐标. 位置矢量的大小为: 位矢方向:
。试求:
(1)人影中头顶的移动速度;(2)影子长度增长的 速率。 h l 解: x +b = b h l h b = l (x + b ) x b 上式两边微分得到:
db dx db d (x + b ) h =l +l =l dt dt dt dt dx v 而 dt = 0
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Q
方向:质点运动路径的切向. Q
dr 大小:v v dt
v
P
r4
r3
dr
r2 r1
Q
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瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.
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第二章 质点运动学 在直角坐标系中的分解式 d x dy dz v v x i v y j vz k i j k dt dt dt
u
v
l
l 2=x2+y 2-2 xy cos 对t求导,得:
2l dl dx dy dy dx 2 x 2 y 2(cos ) x 2(cos ) y dt dt dt dt dt
将-
dx dy dl u, v 代入上式并应用 0的求极值的条件, dt dt dt
刚体
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质点
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质点
由繁到简 将物体模型化为一个点——质点
由简到繁 质点——质点系
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第二章 质点运动学 2. 参考系和坐标系
为了描述一个物体的运动,必须选择另一个物 体作为参考,被选作参考的物体称为参考系。
?
参考系一定是静止的吗? (动中取静)
为了定量地描写物体相对于参考系的运动,须 在参考系上固定一个坐标系。 Z
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第二章 质点运动学
科学研究方法
理想模型方法:抓住主要矛盾,突出主要问题,忽略次要 因素的一种研究方法 质点力学是基础 如 N个沙粒组成的物质系统 --- 质点系 方法:一个沙粒一个沙粒地解决 如 连续体 方法: 切割无限多个质量元 一个质量元一个质量元地解决
一般情况 形状 形变
cos 0, cos
3 2 0.832, cos 0.555 13 13
r1 r0 ( 10i 15 j 5k ) ( 10i ) ( 2) v t1 t 0 1 0 15 j 5k (m /s)
建直角坐标系 O– xyz ,令原点与参考点重合,则:
r x(t )i y(t ) j z(t )k
标量式 如
x = x ( t)
y = y( t )
z = z ( t)
1 2 x v0t at 等 2
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第二章 质点运动学
影子长度增长速率为: ...
h b = l (x + b ) 所以人影头顶移动速度为: h d (x + b ) h d b v0 = = l dt h l dt
db l v0 = dt h l
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[例3]一艘船以速率u驶向码头,另一艘船以速率v自码 头离去,试证当两船距离最短时,两船与码头的距离之 比为:(v+ucosα) : (u+vcosα) 设航路均为直线,α为两航路的夹角。 x α y [解]:设任一时刻两船与码头的 距离分别为x,y,两船的距离为l,有
r dr v lim t 0 t dt
很难直接测量,在技术上常常用很短时间内的平均速度近似 地表示瞬时速度,随着技术的进步,测量可以达到很高的精 确度。
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第二章 质点运动学
1. 物理模型——质点 (繁中求简) 质点
没有大小和形状,只具有全部质量 的一点。
可以将物体简化为质点的两种情况: 物体不变形,不作转动(此时物体上各点的速度及加 速度都相同,物体上任一点可以代表所有点的运动) 物体本身线度和它活动范围相比小得很多(此时物
体的变形及转动显得并不重要)。
r 与 r 的区别
a) b ) r r2 r1 r r2 r1 r r
为矢量 r 为标量, r
A r1 o r2
Δr
B C Δr
s 与 r 的区别
路程 s 为质点运动的轨道长度 s r Δs与 Δr 比较,哪个大?