【人教版】数学(理)一轮复习：第3章《三角函数、解三角形》(第1节)ppt课件

(1)在－720°～0°范围内找出所有与角 α 终边相同的角 β；
(2)设集合
M＝xx＝2k

×180°＋45°，k∈Z，

N＝xx＝4k
×180°＋45°，k∈Z，判断两集合的关系．

[听课记录] (1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 则令－720°≤45°＋k×360°<0°， 得－765°≤k×360°<－45°，解得－736650≤k<－34650， 从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
第一节
任意角和弧度制及 任意角的三角函数
[主干知识梳理]
一、任意角
1．角的分类： (1)按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 ． (2)按终边位置不同分为 象限角 和 轴线角 ．
2．终边相同的角：
终边与角 α 相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z) ．
3．弧度制：
(1)1 弧度的角：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1
解析 利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思 想求解． 设 A(2，0)，B(2，1)，由题意知劣弧 PA 长为 2，∠ABP＝21＝2. 设 P(x，y)，
则 x＝2－1×cos2－π2 ＝2－sin 2， y＝1＋1×sin2－π2 ＝1－cos 2， ∴O→P的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)． 答案 (2－sin 2，1－cos 2)
[跟踪训练] 1．(1)给出下列四个命题：
①－3π4 是第二象限角； ②4π3 是第三象限角； ③－400°是第四角限角； ④－315°是第一象限角． 其中正确的命题有
()
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象
限．
解析 (1)－34π是第三象限角，故①错误.43π＝π＋π3， 从而43π是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°， 从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝ 向线段OM、MP、AT叫做α的 余弦线、
正切线 ．
A．T 我Байду номын сангаас把有 正弦线、
三
角
函
数
线
有向线段 MP 为正 有向线段 OM 为
弦线
余弦线
有向线段 AT 为 正切线
[基础自测自评]
1．－870°的终边在第几象限
()
A．一
B．二
C．三
D．四
C [因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限
(2)设圆心角是 θ，半径是 r， 则 2r＋rθ＝40. S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r－10)2＋100 ≤100， 当且仅当 r＝10 时，Smax＝100. 所以当 r＝10，θ＝2 时，扇形面积最大．
[互动探究] 若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则 其圆心角的弧度数是________． 解析 设圆半径为 R，则圆内接正方形的对角线长为 2R， ∴正方形边长为 2R，∴圆心角的弧度数是 R2R＝ 2. 答案 2
弧度的角．
(2)规定：正角的弧度数为 正数 ，负角的弧度数为 负数 ，零
角的弧度数为
零
，|α|＝
l r
，l 是以角 α 作为圆心角时所对圆
弧的长，r 为半径．
(3)用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值rl与所取的 r 的大小 无关 ，仅与 角的大小 有关． (4)弧度与角度的换算：360°＝ 2π 弧度；180°＝ π 弧度． (5)弧长公式： l＝|α|r ，扇形面积公式：S ＝ 扇形 12lr＝12|α |r2 ．
()
A．若α，β是第一象限角，则tan α＜tan β
B．若α，β是第二象限角，则cos α＜cos β
C．若α，β是第三象限角，则tan α＜tan β
D．若α，β是第四象限角，则cos α＜cos β
【思路导析】 通过画三角函数线逐项作出判断． 【解析】 对选项A，作出三角函数线如图，由图
可知tan α＜tan β成立；对于选项B，作出三角函数线如图， 由图
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
C [由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负
半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第
三象限．]
4．若点 P 在2π3 角的终边上，且 P 的坐标为(－1，y)，则 y 等于 ________． 解析 因 tan2π 3 ＝－ 3＝－y，∴y＝ 3. 答案 3
2．三角函数定义的理解 三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α ＝y， cos α ＝x，tan α ＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r， 则 sin α ＝yr，cos α ＝xr，tan α ＝yx.
角的集合表示及象限角的判定
[典题导入]
已知角 α＝45°，
(2)由已知π2 ＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，
则－π－2kπ<－α<－π2 －2kπ(k∈Z)， 即－π＋2kπ<－α<－π2 ＋2kπ(k∈Z)，
π 故 2kπ<π－α< 2 ＋2kπ(k∈Z)， 所以π－α 是第一象限角． 答案 (1)C (2)一
三角函数的定义
[典题导入]
(1)已知角 α 的终边上有一点 P(t，t2＋1)(t>0)，则 tan α
当 t＜0 时，cos
θ＝－
5 5.
因此 cos 2θ＝2cos2θ－1＝25－1
＝－35.]
2．(2011·江苏高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正 半轴，若 P(4，y)是角 θ 终边上一点，且 sin θ ＝－255，则 y＝__________．
解析 因为 sin θ＝ 42y＋y2＝－255，
2π B. 3
5π C. 3
11π D. 6
[听课记录] 由题意知点 P 在第四象限， 根据三角函数的定义得 cos α＝sin 23π＝ 23， 故 α＝2kπ－π6(k∈Z)，所以 α 的最小正值为116π. 答案 D
[规律方法] 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距 离r，然后利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点 的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义 求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出 角α的三角函数值．
的最小值为
()
A．1
B．2
1
C.2
D. 2
[听课记录] 根据已知条件得 tan α＝t2＋t 1＝t＋1t ≥2，当且仅当 t＝1 时，tan α 取得最小值 2. 答案 B
(2)已知角 α 的终边上一点 P 的坐标为sin2π3 ，cos2π3 ，则角 α 的
最小正值为
()
5π A. 6
二、任意角的三角函数
1．任意角的三角函数定义：
设 α 是一个任意角，角α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那
么角 α 的正弦、余弦、正切分别是：sin α ＝ y ，cos α ＝ x ，
tan
α
＝
y x
，它们都是以角为
自变量
，以单位圆上点的坐
标或坐标的比值为 函数值 的函数．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、
可知cos α＜cos β成立；对于选项C，作出三角函数线如图，
由图可知tan α＞tan β，故选项C不成立． 【答案】 C
【高手支招】 涉及三角不等式，已知象限角比较大小问题 时，直接解答抽象易错，而借助于三角函数线可直观地解决， 利用时要注意准确理解并作出角在各象限内的三角函数 线．同时，注意三角函数线的方向代表三角函数值的正负， 其长度代表三角函数值的大小．
角．]
2．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正值是 ()
2π 11π 5π 3π A. 3 B. 6 C. 6 D. 4
B [∵sin α＝－21＝－12，且 α 的终边在第四象限， ∴α＝161π.]
3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是 ( )
A．第一象限角
于
()
A．－141
11 B. 4
C．－4
D．4
C [由题意可知，cos α＝ mm2＋9＝－45，
又 m<0，解得 m＝－4.]
扇形的弧长及面积公式
[典题导入] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使 扇形面积最大？
[听课记录] (1)设圆心角是 θ，半径是 r， 则212rθ＋·r2r＝θ＝4 10⇒rθ＝＝18，(舍)，rθ＝＝412，， 故扇形圆心角为12.
[体验高考]
1．(2011·课标全国高考)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴
的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ ＝ ( )
A．－45
B．－35
3
4
C.5
D.5
B [设 P(t，2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点，
则 cos
θ＝
t 5|t|.
当 t＞0 时，cos θ＝ 55；
四余弦．
三、三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终
边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角 函数的定义知，点P的坐标为 (cos α，sin α) ，即
P(cos α，sin α) ，其中cos α＝ OM，sin α＝ M，P单位
圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终
所以 y＜0，且 y2＝64， 所以 y＝－8. 答案 －8
3．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的 圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点 P 的位置在(0，0)， 圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2，1)时，O→P的 坐标为__________．
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四 个象限的平分线上的角的集合； 而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴 或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N.
[规律方法] 1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法 是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对 集合中的参数k赋值来求得所需角． 2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边 的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范 围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．
5．弧长为 3π ，圆心角为 135°的扇形半径为________，面积为 ________． 解析 弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π，
由弧长公式 l＝α·r 得 r＝αl ＝334π π＝4，面积 S＝12lr
＝6π. 答案 4 6π
[关键要点点拨] 1．对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角” 不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是 {α|0°<α<90°} ， 第 一 象 限 角 的 集 合 为 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终 边相同的角的同一三角函数值相等．
则扇形的周长为：l＋2R＝2RS扇＋2R≥4 S扇， 当且仅当2RS扇＝2R， 即 R＝ S扇时等号成立，此时 l＝2 S扇，α＝Rl ＝2， 因此当扇形的圆心角为 2 弧度时，扇形的周长取到最小值．
【创新探究】 三角函数线的应用
(2014·抚州一中月考)已知sin α＜sin β，那么下
列命题不成立的是
[跟踪训练]
2．(1)已知角 α 的终边与单位圆的交点 Px， 23，则 tan α ＝
()
A. 3
B．± 3
3 C. 3
D．±
3 3
B [由|OP|2＝x2＋34＝1，得 x＝±12，tan α＝± 3.]
(2)已知角 α 的终边经过点 P(m，－3)，且 cos α ＝－45，则 m 等
[规律方法] 1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、 简捷．
2．记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S＝12αR2.其中 R 是
扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．
[跟踪训练] 3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形
的周长取到最小值？ 解析 设扇形的圆心角为 α，半径为 R，弧长为 l， 根据已知条件12lR＝S 扇，