2022-2023学年山东省滨州市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省滨州市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是（ ） A ．∀x ∉R ，x 2≠x
B ．∀x ∈R ，x 2＝x
C ．∃x ∉R ，x 2≠x
D ．∃x ∈R ，x 2＝x
2．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0}
B ．{0，1}
C ．{﹣1，0，1，2}
D ．{﹣2，﹣1，0，1}
3．函数y =sinx
e x +e −x (x ∈[−2，2])的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若a =30.7，b =(13
)0.8，c =log 312
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞a ＞b
5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P （B |A ）＝（ ） A ．1
3
B ．4
7
C ．2
3
D ．3
4
6．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种
B ．90种
C ．125种
D ．150种
7．设a ∈R ，则“a ＜1
2”是“函数f(x)=1
2x 2−4ax +lnx 为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3．已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A ．0.45
B ．0.5
C ．0.55
D ．0.6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac ＞bc
B ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b
C ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2
D ．若b ＞a ＞0，则
a+c b+c
＞a
b
10．下列命题中正确的是（ ）
A ．若X ～
B （n ，p ），且E （X ）＝28，D （X ）＝24，则p =1
7
B ．若ξ～N （0，1），且P （ξ＞1）＝p ，则P(−1＜ξ≤0)=1
2−p C ．若离散型随机变量X ，Y 满足Y ＝2X +1，则E （Y ）＝4E （X ）
D ．对于任意一个离散型随机变量X ，都有D （X ）＝
E （X 2）﹣（E （X ））2
11．袋内装有大小形状完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地随机取球，每次任取1个，直至取到白球后停止取球，则（ ） A ．抽取2次后停止取球的概率为3
5
B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为9
10
C ．取球3次的概率为
1
10
D ．取球次数ξ的期望为3
2
12．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数．对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0，则下列结论正确的是（ ）
A ．f （2023）＝0
B ．f （x ）是奇函数
C ．f ′（2）＝0
D ．f(−7
4)＜f(19
8)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝xe x ，则f ′（0）＝ ．
14．已知(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则∑ 5i=1a i = ．
15．已知0＜a ＜2，则
4
2−a +1
a 的最小值是 ．
16．已知函数f(x)={−1
x
，x ＜0，4x x 2+1
，x ≥0.函数g （x ）＝f （x ）﹣t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，
则实数t 的取值范围是 ；−1x 1+1x 2+1
x 3
的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f(x)=1
3
x 3+x 2+ax(a ∈R)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于直线y ＝0． （1）求a 的值；
（2）求函数f （x ）的极值．
18．（12分）设n ∈N ∗，(2√x √
x n 的展开式中前三项的二项式系数之和为22．
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含x 2的项．
19．（12分）已知函数f(x)=log 2(4x +a ⋅2x +16)，其中a ∈R ． （1）当a ＝﹣10时，判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＞x 恒成立，求实数a 的取值范围．
20．（12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x 和年研发投入y （单位：亿元）的散点图，其中年份代码1﹣10分别对应年份2013﹣2022．
根据散点图，分别用模型①y ＝bx +a ，②y =c +d √x 作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中t i =√x i ，t =1
10∑ 10i=1t i ．
（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），其经验回归直线y =a +b x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =
∑
(x i
−x)n
i=1(y i −y)∑ n i=1
(x i −x)2
，a =y −b x ．
21．（12分）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如表：
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在[0，40）分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在[40，
60]分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？
（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率．
参考公式：χ2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：（χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）
22．（12分）已知函数f(x)=alnx+1
2
x2−(a+1)x，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，判断函数f（x）的零点个数．
2022-2023学年山东省滨州市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是（ ） A ．∀x ∉R ，x 2≠x
B ．∀x ∈R ，x 2＝x
C ．∃x ∉R ，x 2≠x
D ．∃x ∈R ，x 2＝x
解：根据全称命题的否定是特称命题， ∴命题的否定是：∃x ∈R ，x 2＝x ． 故选：D ．
2．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0}
B ．{0，1}
C ．{﹣1，0，1，2}
D ．{﹣2，﹣1，0，1}
解：N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}＝{x |﹣1≤x ≤2}， 所以M ∩N ＝{﹣1，0，1，2}， 故选：C ．
3．函数y =sinx
e x +e −x (x ∈[−2，2])的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
解：f （﹣x ）=sin(−x)e −x +e x =−sinx
e x +e
−x =−f （x ），所以f （x ）为奇函数，排除选项A ， 又f （π
2）=
sin π2
e π
2+e −π
2
=1
e π
2+e −π
2
1
2√e π
2⋅e −
π
2
=1
2，所以f （π2
）∈（0，1
2
），排除选项C 和D ． 故选：B ．
4．若a =30.7，b =(13)0.8，c =log 312
，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞a ＞b
解：a ＝30.7＞30＝1，
b =(1
3)0.8＜(1
3)0=1，又b =(1
3)0.8＞0， c =log 31
2＜log 31=0， 所以a ＞b ＞c ． 故选：C ．
5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P （B |A ）＝（ ） A ．1
3
B ．4
7
C ．2
3
D ．3
4
解：由题意可得：事件A 基本事件数，C 42+C 32
=9； 事件B 的基本事件数，C 32=3；
所以P （B |A ）=39=1
3
． 故选：A ．
6．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种
B ．90种
C ．125种
D ．150种
解：根据题意，分2步进行分析： 将5名交警分成1、2、2的三组，有
C 52C 32C 1
1A 2
2=15种分组方法；
将分好的三组全排列，对应3个路口，有A 33=6种情况， 则共有15×6＝90种分配方案． 故选：B ．
7．设a ∈R ，则“a ＜1
2
”是“函数f(x)=12
x 2−4ax +lnx 为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：根据题意，f(x)=12x 2−4ax +lnx ，其定义域为（0，+∞）， 其导数f ′(x)=x −4a +1
x ，
若函数f(x)=1
2
x 2−4ax +lnx 为增函数， 则f ′(x)=x −4a +
1x ≥0在（0，+∞）上恒成立，即4a ≤x +1
x
在（0，+∞）上恒成立， 因为x +1
x ≥2√x ⋅1
x =2，当且仅当x =1
x ，即x ＝1时，等号成立， 所以4a ≤2，解得a ≤12
， 因为{a|a ＜1
2}⫋{a|a ≤12}，
所以“a ＜12
”是“函数f(x)=12
x 2−4ax +lnx 为增函数”的充分不必要条件． 故选：A ．
8．李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3．已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A ．0.45
B ．0.5
C ．0.55
D ．0.6
解：设事件A ：邻居记得浇水，事件B ：邻居忘记浇水，事件C ：花存活， 则有P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.4，P （C |A ）＝0.8，P （C |B ）＝0.3，
由全概率公式可得P （C ）＝P （A ）P （C |A ）+P （B ）P （C |B ）＝0.48+0.12＝0.6． 故选：D ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac ＞bc
B ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b
C ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2
D ．若b ＞a ＞0，则
a+c b+c
＞a
b
解：对于选项A ，当c ≤0时，若a ＞b ，则ac ≤bc ，错误； 对于选项B ，若ac 2＞bc 2，故c 2＞0，则a ＞b ，正确；
对于选项C ，若a ＜b ＜0，则a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＞0， 所以a 2＞ab ＞b 2，正确； 对于选项D ，
a+c b+c
−
a b
=
(a+c)b−a(b+c)
(b+c)b
=
(b−a)c (b+c)b
，
当b ＞a ＞0时，b ﹣a ＞0，但是c 的符号与b +c 的符号不确定， 所以
a+c b+c
与a
b
大小关系不确定，错误．
故选：BC ．
10．下列命题中正确的是（ ）
A ．若X ～
B （n ，p ），且E （X ）＝28，D （X ）＝24，则p =1
7
B ．若ξ～N （0，1），且P （ξ＞1）＝p ，则P(−1＜ξ≤0)=12−p
C ．若离散型随机变量X ，Y 满足Y ＝2X +1，则E （Y ）＝4E （X ）
D ．对于任意一个离散型随机变量X ，都有D （X ）＝
E （X 2）﹣（E （X ））2 解：对于A ：∵随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），
∴E （X ）＝np ＝28，D （X ）＝np （1﹣p ）＝24，解得p =1
7
，故A 正确； 对于B ：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，1）， ∴P(−1＜ξ≤0)=P(0＜ξ≤1)=1
2
−p ，故B 正确； 对于C ：∵Y ＝2X +1，
∴E （Y ）＝2E （X ）+1，故C 错误；
对于D ：令P （X ＝x k ）＝p k ，k ＝1，2，⋯，n ，
则D(X)=p 1(x 1−E(X))2+p 2(x 2−E(X))2+⋯+p n (x n −E(X))2
=p 1x 12+p 2x 22+⋯+p n x n 2−2E(X)(p 1x 1+p 2x 2+⋯+p n x n )+(p 1+p 2+⋯+p n )E(X)2
＝E （X 2）﹣2E （X ）•E （X ）+（E （X ））2＝E （X 2）﹣（E （X ））2，故D 正确． 故选：ABD ．
11．袋内装有大小形状完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地随机取球，每次任取1个，直至取到白球后停止取球，则（ ） A ．抽取2次后停止取球的概率为3
5
B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为9
10
C ．取球3次的概率为
1
10
D ．取球次数ξ的期望为3
2
解：设ξ 为取球的次数，则ξ的可能取值为1，2，3， 故P （ξ＝1）=3
5， P （ξ＝2）=2
5×3
4=310，
P （ξ＝3）=
25×14=110
， 对于A ：抽取2次后停止取球的概率为P （ξ＝2）=
3
10
，故A 错误； 对于B ：停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P （ξ＝1）+P （ξ＝2）=3
5+3
10=9
10，故B 正确；
对于C ：取球三次的概率为P （ξ＝3）=1
10，故C 正确； 对于D ：E （ξ）＝1×3
5
+2×310+3×110=32
，故D 正确． 故选：BCD ．
12．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数．对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0，则下列结论正确的是（ ）
A ．f （2023）＝0
B ．f （x ）是奇函数
C ．f ′（2）＝0
D ．f(−7
4)＜f(19
8)
解：因为f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，
所以f （x ）的图象关于点（1，0）对称，且关于直线x ＝2对称， 所以f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），f （2+x ）＝f （2﹣x ），f （1）＝0， 所以f （2+x ）＝f （2﹣x ）＝f （1+1﹣x ）＝﹣f [1﹣（1﹣x ）]＝﹣f （x ）， 所以f （x +4）＝﹣f （2+x ）＝f （x ）， 所以f （x ）是周期函数，4是它的一个周期，
对于A ：f （﹣1）＝f （﹣1+4）＝f （3）＝f （2+1）＝f （2﹣1）＝f （1）＝0， 所以f （2023）＝f （4×506﹣1）＝f （﹣1）＝0，故A 正确； 对于B ：因为f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ）， 所以f （2﹣x ）＝﹣f （x ），
所以f （﹣x ）＝﹣f （2+x ）＝﹣f （2﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，故B 错误； 对于C ：对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0，
即1＜x 1＜x 2＜2时，f （x 1）＜f （x 2），
所以f （x ）在（1，2）是单调递增，即f ′（x ）＞0， 又因为f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，
所以f （x ）在（2，3）是单调递减，即f ′（x ）＜0，
所以x ＝2是f （x ）的极大值点，
因为导函数f ′（x ）的定义域均为R ，即f ′（2）存在， 所以f ′（2）＝0，C 正确； 对于D ：f(−74
)=f(74
)，f(
198)=f(−198)=f(−198+4)=f(138)，2＞74＞138＞1，f(74)＞f(138
)， 所以f(−7
4)＞f(198)，故D 错． 故选：AC ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝xe x ，则f ′（0）＝ 1 ． 解：因f （x ）＝xe x ，
所以f ′（x ）＝e x +xe x ＝（x +1）e x ， 所以f ′（0）＝（0+1）e 0＝1． 故答案为：1．
14．已知(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则∑ 5i=1a i = ﹣2 ． 解：令x ＝0可得：（1﹣2×0）5＝a 0，所以a 0＝1， 令x ＝1可得：（1﹣2×1）5＝a 0+a 1+a 2+⋯+a 5， 即1+a 1+a 2+⋯+a 5＝﹣1， 所以a 1+a 2+⋯+a 5＝﹣2． 故答案为：﹣2． 15．已知0＜a ＜2，则
42−a
+1a
的最小值是
9
2
．
解：因为0＜a ＜2， 则
42−a
+
1a
=1
2（42−a +1
a
）（2﹣a +a ）=12（5+4a 2−a +2−a a ）≥12（5+2√4a 2−a ⋅2−a a ）=9
2，
当且仅当
4a 2−a =
2−a a
，即a =2
3时取等号
故答案为：9
2
．
16．已知函数f(x)={−1
x ，x ＜0，
4x x 2
+1，x ≥0.函数g （x ）＝f （x ）﹣t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，
则实数t 的取值范围是 （0，2） ；−1x 1+1x 2+1
x 3
的取值范围是 （4，+∞） ． 解：当x ≥0时，f （x ）=
4x x 2+1
=
4x+1x
，
由对勾函数的性质可知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x＝1时，f（x）max＝2，
作出f（x）的图象，如图所示：
若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有3个交点，
由图可知，实数t的取值范围为（0，2），
当y＝2时，x1=−12，x2＝x3＝1，
此时−1
x1
+
1
x2
+
1
x3
=4，
因为4
x+1
x =t（0＜t＜2），所以x2−
4
t
x+1=0，
所以x2+x3=4t，x2x3＝1，
所以1
x2+
1
x3
=
x2+x3
x2x3
=
4
t
，
又因为−1
x1
=t，
所以−1
x1
+
1
x2
+
1
x3
=t+
4
t
，
由对勾函数的性质可知，y＝t+4
t
在（0，2）上单调递减，
所以−1
x1
+
1
x2
+
1
x3
＞4，
即−1
x1
+
1
x2
+
1
x3
的取值范围为（4，+∞）．
故答案为：（0，2）；（4，+∞）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数f(x)=1
3
x3+x2+ax(a∈R)，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝0．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．
解：（1）由题意得f′（x）＝x2+2x+a，
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝0，即f′（1）＝0，∴12+2×1+a＝0，解得a＝﹣3；
（2）由（1）得f(x)=1
3
x3+x2−3x，f′（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣3）和（1，+∞），单调递减区间是（﹣3，1），
∴当x＝﹣3时，f（x）取得极大值f(−3)=1
3
×(−3)3+(−3)2−3×(−3)=9，
当x＝1时，f（x）取得极小值f(1)=1
3
+1−3=−
5
3
．
18．（12分）设n∈N∗，(2√x
√x
n的展开式中前三项的二项式系数之和为22．（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含x2的项．
解：（1）因为展开式中前三项的二项式系数之和为22，
所以C n0+C n1+C n2=22，即n2+n﹣42＝0，解得n＝6，或n＝﹣7（舍）．所以展开式中共7项，二项式系数最大的项为第4项，
即T4=C63(2√x)31
√x
)3=−160．
（2）由题意知展开式的通项为T r+1=C6r(2√x)6−r 1
√x
)r=(−1)r C6r26−r x3−r，r＝0，1，2，⋯，6．
令3﹣r＝2，解得r＝1．
所以展开式中含x2的项为T2=(−1)1×C61×25x2=−192x2．
19．（12分）已知函数f(x)=log2(4x+a⋅2x+16)，其中a∈R．（1）当a＝﹣10时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当x∈[2，+∞）时，f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝﹣10时，f(x)=log2(4x−10×2x+16)，
由4x﹣10×2x+16＞0得
（2x﹣2）（2x﹣8）＞0，
故2x＜2或2x＞8，
得x＜1或x＞3，
故函数f(x)=log2(4x−10×2x+16)的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），
因函数f （x ）的定义域不关于原点对称， 所以函数f （x ）为非奇非偶函数．
（2）由f （x ）＞x ，得log 2(4x +a ⋅2x +16)＞x =log 22x ， 得4x +a •2x +16＞2x ， 即4x +（a ﹣1）•2x +16＞0， 设t ＝2x ，g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16 因x ∈[2，+∞），故t ＝2x ≥4，
所以当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＞x 恒成立，
即为g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16在t ∈[4，+∞）上最小值大于0， 函数g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16的对称轴为t =1−a
2
， 当
1−a 2
＜4，即a ＞﹣7时，函数g （t ）在[4，+∞）上单调递增，
此时g （4）＝42+4（a ﹣1）+16＞0，得a ＞﹣7， 当
1−a 2
≥4，即a ≤﹣7时，函数g （t ）在对称轴取得最小值，
此时g(1−a
2)=(1−a
2)2+(a −1)(1−a
2)+16＞0， 得﹣7＜a ＜9（舍去），
故a 的取值范围为（﹣7，+∞）．
20．（12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x 和年研发投入y （单位：亿元）的散点图，其中年份代码1﹣10分别对应年份2013﹣2022．
根据散点图，分别用模型①y ＝bx +a ，②y =c +d √x 作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中t i =√x i ，t =
110∑ 10
i=1t i
． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），其经验回归直线y =a +b x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =
∑
(x i
−x)n
i=1(y i −y)∑ n i=1
(x i −x)2
，a =y −b x ．
解：（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜． （2）设t =√x ，所以y ＝c +dt ， 所以d =
∑ 10i=1(y i −y)(t i −t)∑ 10
i=1(t i −t)
2
=6.3，c =y −d t =60.825，
所以y 关于x 的经验回归方程为y =60.825+6.3√x ， 令x ＝16，则y ＝60.825+6.3×4＝86.025，
即预测该公司2028年的高科技研发投入86.025亿元．
21．（12分）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如表：
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在[0，40）分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在[40，60]分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？
（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率．
参考公式：χ2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：（χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）
解：（1）
零假设为H0：性别与户外体育锻炼是否达标无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=100×(30×10−15×45)2
75×25×45×55
=
100
33
≈3.030＜3.841=χ0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联．
（2）易知，所抽取的5名居民中男性为5×30
75
=2名，女性为5×
45
75
=3名．
X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C33
C53
=
1
10
，P(X=1)=
C21C32
C53
=
3
5
，P(X=2)=
C22C31
C53
=
3
10
，
所以X的分布列为
所以E(X)=0×
110+1×35+2×310=65
． （3）设所抽取的3名居民中“户外体育锻炼达标”的人数为ξ， 列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为25
100
=1
4
，
将频率视为概率则ξ～B(3，1
4
)，
所以P(ξ=2)=C 32
×(14)2×34=9
64，
所以从该市所有居民中随机抽取3人，其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为9
64
．
22．（12分）已知函数f(x)=alnx +1
2x 2−(a +1)x ，其中a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；
（2）当a ＞0时，判断函数f （x ）的零点个数． 解：（1）因为f(x)=alnx +1
2
x 2−(a +1)x ， 所以函数f （x ）的定义域为（0，+∞），
f ′(x)=a x +x −(a +1)=x 2−(a+1)x+a x =(x−1)(x−a)x
， 令f '（x ）＝0，得x ＝1或x ＝a ，
①当a ≤0时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（0，1），令f ′（x ）＞0，得x ∈（1，+∞）， 所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ②当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（a ，1）， 令f ′（x ）＞0，得x ∈（0，a ）∪（1，+∞），
所以函数f （x ）在（0，a ）和（1，+∞）上单调递增，在（a ，1）上单调递减；
③当a ＝1时，f ′(x)=(x−1)2
x
≥0，
所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④当a ＞1时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（1，a ）， 令f ′（x ）＞0，得x ∈（0，1）∪（a ，+∞），
所以函数f （x ）在（0，1）和（a ，+∞）上单调递增，在（1，a ）上单调递减． 综上所述，a ≤0时，f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 0＜a ＜1时，f （x ）在（0，a ）和（1，+∞）上单调递增，在（a ，1）上单调递减；
a＝1 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．
（2）由（1）得f′(x)=(x−1)(x−a)
x
，因为a＞0，
①若0＜a＜1，
当0＜x＜a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当a＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
所以f（x）有极大值f(a)=alna+1
2
a2−(a+1)a=a(lna−
1
2
a−1)＜0，
极小值f(1)=−a−1
2
＜0，
又f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有1个零点．
②若a＝1，则f′(x)=(x−1)2
x
≥0，所以函数f（x）单调递增，
此时f(1)=−3
2
＜0，f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，
所以函数f（x）有1个零点．
③若a＞1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜a时，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减；
当x＞a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
所以f（x）有极大值f(1)=−a−1
2
＜0，显然极小值f（a）＜0，
又f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，
所以函数f（x）有1个零点．
综上所述，当a＞0时，函数f（x）的零点个数为1．。