高中数学第5章三角函数5.6第1课时函数y=Asinωx+φ的图象及变换学案新人教A版必修第一册

5.6 函数y＝A sin(ωx＋φ) 第1课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换

学

习任务核心素养

1．理解匀速圆周运动的数学模型．

(重点)

2．理解参数A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点)

3．掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)1．通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养．

2．借助函数图象的变换，培养数学抽象的素养

.

在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x 的关系等都是形如y

＝A sin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y 随时间x变化的图象．

(1)(2)

将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝A sin(ωx ＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？

知识点A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响

(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响

(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

(3)A(A＞0)对y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响

由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象是如何平移的呢？

[提示] ∵y ＝sin(ωx ＋φ)＝sin ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω，∴由y ＝sin ωx 的图象向左(右)平移⎪⎪⎪⎪φ

ω个单位．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y ＝sin 3x 的图象向左平移π

4个单位所得图象的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.( ) (2)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin 2x .( )

(3)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝1

2sin

x ．( )

[答案] (1)× (2)× (3)×

2.把函数y ＝sin x 的图象向左平移π

3

个单位长度后所得图象的解析式为( )

A ．y ＝sin x －π

3

B ．y ＝sin x ＋π

3

C ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x －π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π3 D [根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π

3个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象．]

类型1 匀速圆周运动的数学模型

【例1】 如图，点P 是半径为20 cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向，以角速度ω rad/s 做圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t (s)的函数关系．

[解] 由题意，∠POx ＝∠P 0Ox ＋ωt ＝π

3

＋ωt ，

根据三角函数的定义，得P 点纵坐标 y ＝|OP |sin ∠POx ＝20sin ⎝⎛⎭

⎫π

3＋ωt ， 即所求y 关于时间t 的函数关系为y ＝20sin ⎝⎛⎭⎫ωt ＋π

3， ∵函数的周期T 为2π

2＝π，

∴由T ＝2π

ω

，可得ω＝2，

∴点P 的纵坐标y 关于时间t (s)的函数关系式为y ＝20sin ⎝

⎛⎭⎫2t ＋π

3，t ∈[0，＋∞)．

匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A ，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系．

[跟进训练]

1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P (x ，y )，若初始位置为P 0⎝⎛

⎭

⎫

32，12，秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P 的

纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π

6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π

6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫－π30t －π6 C [∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－2π60＝－π

30(弧度

/秒)，由P 0⎝⎛

⎭

⎫

32，12，得cos φ＝32，sin φ＝12.解得φ＝π6.故选C.] 类型2 平移变换

【例2】 (1)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π

4个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到的图象的解析式是( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π

4＋2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

4－2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π

4－2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

4＋2 (2)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π

3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π

12个单位

B ．向右平移π

12个单位

C ．向左平移π

3个单位

D ．向右平移π

3

个单位

(1)D (2)B [(1)向左平移π

4个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，再向上平移2个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

4＋2，故选D. (2)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π

12个单位即可，故选B.]

在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点： (1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数．

(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚． (3)左右平移的单位数是针对单一自变量x 而言的，不是ωx ＋φ中的φ，而是⎪⎪⎪⎪

φω .

[跟进训练]

2．为了得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

3的图象，只需将函数y ＝cos x 的图象向右平移__________个单位长度．

π

6 [y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，只需把y ＝cos x 的图象向右平移π

6

个单位长度即得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.]