高中数学第5章三角函数5.6第1课时函数y=Asinωx+φ的图象及变换学案新人教A版必修第一册

5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
学 习 任 务 核 心 素 养
1．理解匀速圆周运动的数学模型．(重点)

2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点) 3．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点) 1．通过匀速圆周运动的数学模型的学
习，培养数学建模的素养．
2．借助函数图象的变换，培养数学抽
象的素养.

在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x
的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y
随时间x变化的图象．

(1) (2)
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx
＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响

(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响

(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
[提示] ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωx＋φω，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移φω个单
位．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)y＝sin 3x的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y＝sin3x＋π4.( )
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin
2x.( )

(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝12sin
x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×

2.把函数y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－π3 B．y＝sin x＋π3
C．y＝sinx－π3 D．y＝sinx＋π3
D [根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移π3个单位长度后得到y＝sinx＋π3的
图象．]

类型1 匀速圆周运动的数学模型
【例1】 如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开
始，按逆时针方向，以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关
系．

[解] 由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝π3＋ωt，
根据三角函数的定义，得P点纵坐标
y＝|OP|sin∠POx＝20sinπ3＋ωt，
即所求y关于时间t的函数关系为y＝20sinωt＋π3，
∵函数的周期T为2π2＝π，
∴由T＝2πω，可得ω＝2，
∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．

匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是
初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置
不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系．

[跟进训练]
1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，

y)，若初始位置为P032，12，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的
纵坐标y与时间t的函数关系为( )

A．y＝sinπ30t＋π6 B．y＝sin－π60t－π6
C．y＝sin－π30t＋π6 D．y＝sin－π30t－π6
C [∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－2π60＝－π30(弧度
/秒)，由P032，12，得cos φ＝32，sin φ＝12.解得φ＝π6.故选C.]
类型2 平移变换
【例2】 (1)将函数y＝sin x的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的图象的解析式是( )
A．y＝sinx－π4＋2
B．y＝sinx＋π4－2
C．y＝sinx－π4－2
D．y＝sinx＋π4＋2
(2)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移π12个单位
B．向右平移π12个单位
C．向左平移π3个单位
D．向右平移π3个单位
(1)D (2)B [(1)向左平移π4个单位长度得y＝sinx＋π4，再向上平移2个单位长度得y
＝sinx＋π4＋2，故选D.
(2)由y＝sin4x－π3＝sin4x－π12得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位即可，
故选B.]

在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：
(1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数．
(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚．

(3)左右平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是φω .

[跟进训练]
2．为了得到y＝sinx＋π3的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个
单位长度．
π
6
[y＝sinx＋π3＝cosπ2－x＋π3＝cosπ6－x＝cosx－π6，只需把y＝cos x的图象向

右平移π6个单位长度即得到y＝sinx＋π3.]
类型3 伸缩变换
【例3】 已知函数y＝12sin2x＋π6＋54，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过
怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)

先由y＝sin x平移得到y＝sinx＋π6，再伸缩得到y＝sin2x＋π6与先伸缩得到y＝sin 2x，
再平移得到y＝sin2x＋π6，两次平移的量是否相同？

[解] 法一(先平移后伸缩)：
①把函数y＝sin x的图象向左平移π6个单位长度，可以得到函数y＝sinx＋π6的图象；
②把函数y＝sinx＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到
函数y＝sin2x＋π6的图象；
③把函数y＝sin2x＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可以得到
函数y＝12sin2x＋π6的图象；
④再把得到的函数y＝12sin2x＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y＝
1
2

sin2x＋π6＋54的图象．
法二(先伸缩后平移)：
①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数y
＝sin 2x的图象；
②把函数y＝sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，可以得到函数y＝sin2x＋π6的图象；
③把函数y＝sin2x＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得
到函数y＝12sin2x＋π6的图象；
④再把得到的函数y＝12sin2x＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y＝
1
2

sin2x＋π6＋54的图象．
三角函数图象伸缩变换的方法
[跟进训练]
3．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再

把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y＝2sin12x＋π3，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x

A [y＝2sin12x＋π3―――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y＝3sin12x＋π3

―――――――→横坐标缩短到原来的12倍y＝3sinx＋π3

――――――――→向左平移π6个单位y＝3sinx＋π6＋π3
＝3sinx＋π2
＝3cos x．]

1．要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tanx＋π6的图象( )
A．向左平移π6个单位 B．向左平移π12个单位
C．向右平移π12个单位 D．向右平移π6个单位
[答案] D
2．若函数 y＝sin 2x的图象向左平移π4个单位得到y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x

A [依题意得f(x)＝sin 2x＋π4＝sin2x＋π2＝cos 2x.故选A.]
3．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮
每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关
系y＝Asin(ωx＋φ)＋1，则( )

A．ω＝π6，A＝4 B．ω＝2π15，A＝3

C．ω＝π6，A＝5 D．ω＝2π15，A＝4
A [由题意可得T＝605＝2πω，可得ω＝π6，由图象可知y的最大值为5，sin(ωx＋φ)＝1
时取得最大值，∴5＝A＋1，解得A＝4.]
4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解
析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．
12 [函数y＝cos x――――――――――――――→纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y＝cos12x.所以ω＝1
2
.]

5．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin12x＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和
先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．

π3 2π
3
[y＝3sin x――――――→向左平移π3个单位

y＝3sinx＋π3
―――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y＝3sin12x＋π3，

y＝3sin x―――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y＝3sin12x――――――――→向左平移2π3个
y＝3sin12x＋2π3＝3sin12x＋π3.]