高数线面积分

则下面的四个命题等价 ：
10 沿D内任何一闭路L上的积分为零，即 Pdx Qdy 0 ;
L
20 曲线积分 Pdx Qdy与路径无关，只与起点 A与终点B有关;
L( AB )
30 P Q 在D内恒成立； y x
40 在D内存在二元函数 u( x, y),使du Pdx Qdy .
.
等价的意义是： 若其中一个成立，另外三个也成立。
I a 2 x 2 y 2 dxdy a 2 x 2 y 2 (dxdy)
.
.
Dxy
Dxy
.
2
a 2 x 2 y 2 dxdy 2
2π
d
a
a 2 r 2 rdr
4π a3
.
Dxy
0
0
3
二4 ：球面 x 2 y 2 z 2 a 2的外侧表面，Dxy为xOy平面上的圆域：
一型：对面积
二型：对坐标
三重积分
高斯公式
1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较
曲线积分 标准形式 物理意义
计算方法
相似处
不同处
第一型 (对弧长)
第二型 (对坐标)
f ( x, y)ds
L
f ( x, y, z)ds
L
L指曲线
⌒
AB
当 f ( x, y) 0,
f ( x, y)ds表示
L
线密度为 f ( x,
y)的曲线型构
件的质量 M .
设曲线
L： x y
φ(t) (t)
t
1.都是化曲线积分为 定积分计算。
Pdx Qdy W Pdx Qdy 2.都要把曲线表示式 L
L
Pdx Qdy Rdz
表示力F P,Q
代入被积函数。
L
沿L从点A到点B
L方向：从AB 所作的功.
ds φ 2 (t ) 2 (t )dt
Rdz
dydz dzdx dxdy
或记为
x
y
Pdx Qdy Rdz .
z Γ
. .
PQ R
*8 空间曲线积分的四个等价命题.
设 (1) 空间区域G是一维单连通区域; (2) 在G内函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) C 1 .
则下面的四个命题等价 ：
填空(4个). 二. 下列计算对吗？ (5题) 三. 判别积分的类型并计算. (4题) 四. 课堂练习.
1. 单项选择题(3题) 2. 计算题(3题)
一.多元函数积分学概况 （按积分区域分类）
积分区域
积分区域
定积分
推广
推广
曲线积分
二重积分 D
推广
推广
曲面积分
一型：对弧长 二型：对坐标
Stokes 公式
(1) 沿G内任一闭曲线L的积分为零，即 Pdx Qdy Rdz 0 ;
L
(2) 在G内曲线积分 Pdx Qdy Rdz与路径无关， 只与起点A
L( AB )
与终点B有关;
(3) P Q ，R P ，Q R 在G内恒成立； y x x z z y
(4) 在G内存在函数 u( x, y, z),使du Pdx Qdy Rdz .
其中 L 是 D 的整个正向边界曲线.
l L
特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为：
D
L
Pdx
Qdy
l
Pdx
Qdy
D
( Q x
P y
)dxdy
(逆)
(顺)
注：若在D内又有
Q P , 则 x y
Pdx Qdy Pdx Qdy
L
l
(逆)
(逆)
4. 平面曲线积分的四个等价命题
设 (1) 平面区域D是单连通区域; (2) 在D内函数P( x, y),Q( x, y) C 1
积分下限 < 上限
此处下限是 , 上限是...
dx φ (t)dt dy (t)dt
积分下限为起点A的 t 值 上限为终点 B的 t 值
两型之间 的关系
Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds
L
L
其中 ( x, y), ( x, y)为有向曲线弧 L上 点( x, y)处切向量的方向角.. .
.
(4) 已知平面曲线 x x(t), y y(t)( t ) 上任一点的密度
为( x, y),则曲线质量___M_______[_x_(_t)_,_y_(_t)_]__x__2 (_t_)__y__2_(_t)_d_t.
二 下列计算对吗？
1. 用格林公式计算 x 3dy y 3dx, L : x 2 y 2 a 2正向, D为L所围区域.
3
( x 2 y 2 )dxdy 3
r 2 rdrd
3 π
a4.
D
D
2
二2 ：球面 x 2 y 2 z 2 a 2的外侧表面，Dxy为xOy平面上的圆域：
x 2 y 2 a 2 . 计算 I x 2 y 2 zdS.
解： z 1
I x 2 y 2 zdS x 2 y 2 zdxdy
向量( R Q )i ( P R ) j ( Q P )k 称为向量场 y z z x x y
A( x, y, z)在点( x, y, z)处的旋度。记为
i jk
rotA x y z
P Q R
例： 设A { xy 2 , yz 2 , zx 2 },求rotA.
.
解： P xy 2 , Q yz 2 , R zx 2 , Ry Qz 2 yz, .
x2 y2 a2.
解： z 1
o
y
Dxy
a
计算 I zdxdy.
I zdxdy z(dxdy) 0
Dxy
Dxy
以上解法对吗？
因为 I 是对坐标的曲面积分， 属于第II型。
x
化成二重积分时， 应将z z( x, y)代入。
2
1 : z a2 x2 y2 ,
2 : z a2 x2 y2 ,
由轮序对称性， rotA 2{ yz.zx, xy}.
11.曲线积分和曲面积分的应用: 填空.
(1) 已知变力F P( x, y)i Q( x, y) j，则F 沿平面有向曲线 C从
点A到点
B所作的功为
W Pdx Qdy
______A⌒B_________
.
.
(2) 若变力F P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k. ，则F 沿空间 .
L
解：
y
Q P 3( x 2 y 2 ) x y
L
x 3dy y 3dx 3 ( x 2 y 2 )dxdy
L
0D a x
D
3 a 2dxdy 3π a4
D
以上解法对吗？
因为3( x 2 y 2 )定义在区域D上，不是定义在曲线 L上.
.
0 x2 y2 a2.
. .
正确解法是：
Dxy
以上解法对吗？
o
Dxy
y
a 因为I是对球面面积的积分,属于第 I 型。
x
1 : z
2
正确解法是： 1 2
a2 x2 y2 ,
Dxy : x 2 y 2 a 2 , dS
a
dxdy.
a2 x2 y2
2 : z a2 x2 y2 ,
Dxy : x 2 y 2 a 2 ,
2. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面积分的比较
曲面积分 标准形式 物理意义
计算方法
第一型 (对面积)
当 f ( x, y, z) 0,
f ( x, y, z)dS
指空间曲面
f ( x, y, z)dS表示
面密度为 f ( x, y, z)的空间曲面薄 壳的质量 M .
设曲面 ：z z( x, y) 且 在xOy面投影区
域为Dxy , 则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2 dxdy
Dxy
第二型 (对坐标)
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
为有向曲面
表示在速度场 V 设有向曲面 ：z z( x, y) , 则
P,Q, R中,单位
时间内流向有向 R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
5. 高斯公式的含义和用法.
6. 曲面积分与曲面无关的条件.
7. 斯托克斯(Stokes)公式的含义和用法.
*8. 空间曲线积分的四个等价命题.
9. 了解散度，会计算散度.
10. 了解旋度，会计算旋度.
11. 曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、 重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量场沿有向闭曲线的环 量以及通过曲面的通量计算问题。
一. 重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。
1. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和
两型曲线积分互相转换的关系式。
2. 第Ⅰ型 、第Ⅱ型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和
两型曲面积分之间互相转换的关系式。
3. 格林公式的条件、结论和应用 。
4. 平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。
(1) Pdydz Qdzdx Rdxdy 与所取的曲面无关，只与的 边界曲线有关；
(2) Pdydz Qdzdx Rdxdy 0,其中是G中任一闭曲面;
(3) P Q R 0 在G内恒成立 . x y z
.
7. Stokes 公式 解决 曲线积分与曲面积分的联系 问题.
若：1. Γ 为分段光滑的空间有向 闭曲线，
是以Γ 为边界的分片光滑的有 向曲面，
Γ 的正向与 的侧符合右手法则.
2. 在包含曲面 在内的空间区域内，
函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) C 1 . 则有
( R y
Q z
)dydz
( P z
R )dzdx x
( Q x
P y
)dxdy
Γ
Pdx
Qdy
上侧
Dxy
曲面 指定一
R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy
侧的流体的流量。 下侧
Dxy
两型之间 的关系
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
(Pcos Qcos R cos )dS
.
其中cos，cos
,cos 为曲面
指定一侧的法线向量的
方向余. 弦 .
.
3. 格林公式
D L
解决 平面的曲线积分与二重积分的联系 问题。
若：1. xOy平面上闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成 2. 在D上 函数P( x, y),Q( x, y) C 1
则有
Q P
L
Pdx
Qdy
D
(
x
y
)dxdy
.
曲线
C从点A到点B所作的功为
W Pdx Qdy Rdz
______A⌒B_____________ .
(3) 若流速V P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k，则流体在
单位时间
内流过曲面
的流量为
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
_________________________
a
dS
dx. dy.
a2 x2 y2 .
I x 2 y 2 a 2 x 2 y 2
a
dxdy
D xy
a2 x2 y2
. .
x 2 y 2 ( a 2 x 2 y 2 )
a
dxdy 0.
Dxy
a2 x2 y2
二3 ：球面 x 2 y 2 z 2 a 2的外侧表面，Dxy为xOy平面上的圆域：
5. 高斯公式 解决 曲面积分与三重积分的联系 问题.
若： 1. 空间闭区域 Ω由分片光滑的闭曲面 围成； 2. 在Ω上 函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) C 1 .
则有
(
P x
Q y
R )dV
z

Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(P cos Q cos R cos )dS
.
9. 散度
在空间直角坐标系里， 设有向量场
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
则数量函数 P Q R 称为向量场A( x, y, z)在点( x, y, z) x y z
的散度。记为
divA P Q R x y z .
件的质量的曲线型构线密度为表示所作的功到点表示力精品第一型对面积第二型对坐标两型之间的关系标准形式物理意义计算方法曲面积分壳的质量的空间曲面薄面密度为表示指空间曲面coscoscos方向余弦指定一侧的法线向量的为曲面设曲面面投影区coscoscos侧的流体的流量
高数线面积分
（优选）高数线面积分
第十部分 曲线、曲面积分
其中 是 的整个边界曲面的外侧.
. .
cos ,cos ,cos是在点 ( x, y, z) 处外法向的方向余.弦 .
6.曲面积分与曲面无关的条件.
设 (1) G是空间二维单连通区域; (2) 在G内函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) C 1 .
则在G内下面的三个命题等价 ：
例： 设u f ( x, y, z) C 2 ,求gradu和div(gradu).
解： gradu { f x , f y , f z },
.
.
div(gradu) f xx f yy f zz .
10. 旋度
在空间直角坐标系里， 设有向量场 A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k