【题型专项突破系列】专题16 导数与隐零点问题(原卷版)-高考数学大题保分专练(全国通用)

专题16导数与隐零点问题

一、解答题

1．（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x )=a (1−x )e x +lnx ，a ∈R ． (1)若a =−1，求函数f (x )的单调区间． (2)若a ∈(0,e −1)，

①证明：函数f (x )存在唯一的极值点β． ②若f (α)=0，且α>β，证明：3β>2+α．

2．（2023·云南昭通·统考模拟预测）已知函数f (x )=ae x x

−1（x >0，a ≠0），g (x )=lnx −x .

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)当x >1时，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围.

3．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知函数f (x )=e x −ax 2−cosx −ln (x +1). (1)若a =1，求证；函数f (x )的图象与x 轴相切于原点；

(2)若函数f (x )在区间(−1,0)，(0,+∞)各恰有一个极值点，求实数a 的取值范围.

4．（2023·全国·高三专题练习）现定义：

f (x 2)−f (x 1)

x 23−x 1

3为函数f (x )在区间(x 1,x 2)上的立方变化率.

已知函数f (x )=e ax ，g (x )=(x +2

a )ln (x +2

a )+x

(1)若存在区间(x 1,x 2)，使得f (x )的值域为(2x 1,2x 2)，且函数f (x )在区间(x 1,x 2)上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；

(2)若对任意区间(x 1,x 2),f (x )的立方变化率均大于g (x )的立方变化率，求实数a 的取值范围.

5．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知函数f (x )=e x −ax 2−x . (1)当a =1

2时，求不等式f(√x −1−1)<1的解集；

(2)当a >1

2时，求证f (x )在(0,+∞)上存在极值点x 0，且f (x 0)<

3−x 02

.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=lnx+x2−kx+1(k∈R),g(x)=x2−3x+ xe x.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围.

7．（2023·全国·高二专题练习）已知函数f(x)=x−1

+alnx.

e x−1

(1)若a=1，求函数f(x)在[1,2]上的最小值；

(2)若存在x0∈(1,+∞)，使得f(x0)=0.

（i）求a的取值范围；

（ii）判断f(x)在(0,+∞)上的零点个数，并说明理由.

8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ax−lnx，a>0.

(1)讨论f(x)的零点个数；

(2)若对∀x∈(0,+∞)，不等式e ax≥ax⋅f(x)恒成立，求a的取值范围.

9.（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数f(x)=x2+axlnx(a∈R)．

(1)若f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若a=1，证明：f(x)≥x−e−x．

10.（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知函数f(x)=lnx−ax−2(a∈R),g(x)=xe x−x−a(x+1).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

11.（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知函数f(x)=e ax−x（a∈R，e为自然对数的底数），g(x)=lnx+bx+1.

(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；

(3)若不等式x[f(x)+x]≥g(x)对∀x∈(0,+∞)，∀a∈[1,+∞)恒成立，求实数b的取值范围.

12.（2023·山东济宁·统考一模）已知函数f(x)=(x−3)e x−e a

(x2−4x).

2

(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当0<a<2时，讨论函数f(x)的零点个数.

13.（2023·内蒙古包头·一模）已知函数f(x)=ae x−ln(x+1)−1．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；

(2)证明：当a>1时，f(x)没有零点．

14.（2022·全国·模拟预测）已知函数f(x)=e x+x2−ax+2(a>0)，其中e是自然对数的底数．

(1)若a=e+2，x0是函数f(x)的极值点，证明：f(x0)=x0；

(2)设函数g(x)=f(f(x))，若函数f(x)与函数g(x)的单调区间相同，求a的取值范围．15.（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数f(x)=e x−xe x+1．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=lnx−x+1−e x−f(x)在[1

,1]上的最大值在区间(m,m+1)内，求整数m

4

的值．

16.（2023·江西上饶·统考一模）已知f(x)=e x−ax，g(x)=e x(1−sinx)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a∈(0,3)，ℎ(x)=f(x)−g(x)，试讨论ℎ(x)在(0,π)内的零点个数．（参考数据：eπ2≈4.81）

17.（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知关于x的方程ax−lnx=0有两个不相等的正实根x1和x2，且x1<x2.

(1)求实数a的取值范围；

(2)设k为常数，当a变化时，若x1k x2有最小值e e，求常数k的值.

18.（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)=1

x2−4x+alnx．

2

(1)若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2，证明：f(x1)+f(x2)>−10+lna．

19.（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数f(x)=e x−a−lnx+x.

(1)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当a≤0时，证明：f(x)>x+2.

20.（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）设a≥0，函数f(x)=(x+1)lnx+(a−2)x+ 2．

(1)求证：f(x)存在唯一零点x0；

(2)在（1）的结论下，若x1+a=sinx1，求证：x1−lnx0≤0．

21.（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知函数f(x)=4ax2+2lnx−3(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a为整数，且f(x)<2x2lnx+2恒成立，求a的最大值.