苏教版七年级下册数学[《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固（基础）知识点整理及重点题型梳理]

苏教版七年级下册数学[《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固（基础）知识点整理及重点题型梳理]
苏教版七年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
《整式的乘法与因式分解》全章复习与巩固（基础）
【学习⽬标】
1. 掌握整数幂的运算性质，并能运⽤它们熟练地进⾏运算；掌握单项式乘（或除以）单项
式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运⽤它们进⾏运算；2. 会推导乘法公式（平⽅差公式和完全平⽅公式），了解公式的⼏何意义，能利⽤公式进⾏
乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律与乘法
公式简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反⽅向的运算，掌握提公因式法
和公式法（直接运⽤公式不超过两次）这两种分解因式的基本⽅法，了解因式分解的⼀般步骤；能够熟练地运⽤这些⽅法进⾏多项式的因式分解.
【知识⽹络】
【要点梳理】
要点⼀、幂的运算
，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
1.同底数幂的乘法：(m n
，为正整数)；幂的乘⽅，底数不变，指数相乘.
2.幂的乘⽅： (m n
3.积的乘⽅：
(n 为正整数)；积的乘⽅，等于各因数乘⽅的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：()0
10.a a =≠即任何不等于零的数的零次⽅等于1. 6.负指数幂：1n n a a
-=(0a ≠，n 为正整数).任何不等于0的数的－n 次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.
要点诠释：公式中的字母可以表⽰数，也可以表⽰单项式，还可以表⽰多项式；灵活地双向应⽤运算性质，使运算更加⽅便、简洁.
要点⼆、整式的乘法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它的指数作为积的⼀个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn
++=+++.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每⼀项前⾯的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要
⽤“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出⼀个应⽤⽐较⼴泛的公式：()()()2
x a x b x a b x ab ++=+++. 要点三、乘法公式
1.平⽅差公式：22()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平⽅差.
要点诠释：在这⾥，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平⽅差公式的典型特征：既有相同项，⼜有“相反项”，⽽结果是“相同项”
的平⽅减去“相反项”的平⽅.
2. 完全平⽅公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平⽅等于这两数的平⽅和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平⽅，右边是⼆次三项式，是这两数的平⽅和加（或减）这两数之积的2倍.
要点四、因式分解
把⼀个多项式化成⼏个整式的积的形式，像这样的式⼦变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的⽅法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, ⼗字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释：落实好⽅法的综合运⽤：
⾸先提取公因式，然后考虑⽤公式；
两项平⽅或⽴⽅，三项完全或⼗字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
⼏种⽅法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，⼀次⼀次⼜⼀次.
【典型例题】
类型⼀、幂的运算
1、计算下列各题：
（1）2334(310)(10)??- （2）2332[3()][2()]m n m n +-+
（3）26243(2)(3)xy x y -+- （4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+- 【思路点拨】按顺序进⾏计算，先算积的乘⽅，再算幂的乘⽅，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：（1）2334(310)(10)??-32334
3(10)(10)=??18192710 2.710=?=?．（2）2332[3()][2()]m n m n +-+3626
3()(2)()m n m n =?+?-?+ 661227()4()108()m n m n m n =+?+=+．
（3）26243
(2)(3)xy x y -+- 6661233612(1)2(1)3x y x y =-??+-?612612612642737x y x y x y =-=．
（4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-6662232366
(1)2(1)3()(1)(2)a a a =-?--??+-? 6666649649a a a a =--=-．
【总结升华】在进⾏幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号⾥的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．
举⼀反三：
【变式】（2016春?⽾阳市校级⽉考）8
2009×0.1252009= ．【答案】1．
82009×0.1252009=（8×0.125）
2009=12009=1.
类型⼆、整式的乘除法运算
2、解下列不等式．
（1）2(1)(25)12x x x x ---<
（2）3(7)18(315)x x x x -<--
【答案与解析】
解：（1）22
222512x x x x --+<， 312x <，
4x <．
（2）2221318315x x x x -<-+，
618x <，
3x <．
【总结升华】利⽤乘法法则进⾏去括号、合并同类项，按照解⼀元⼀次不等式的⽅法求解．
3、已知312326834m n ax y x y x y ÷=，求(2)n m n a +-的值．
【思路点拨】利⽤除法与乘法的互逆关系，通过计算⽐较系数和相同字母的指数得到m n a 、、的值即可代⼊求值．【答案与解析】
解：由已知312326834m n ax y x y x y ÷=，得31268329284312m n n ax y x y x y x y +=?=，
即12a =，39m =，2812n +=，
解得12a =，3m =，2n =．
所以22(2)(23212)(4)16n m n a +-=?+-=-=．
【总结升华】也可以直接做除法，然后⽐较系数和相同字母的指数得到m n a 、、的值. 举⼀反三：
【变式】（1）已知1227327m m -÷=，求m 的值．
（2）已知1020a =，1105b =
，求293a b ÷的值．（3）已知23m =，24n =，求322m n -的值．
【答案】
解：（1）由题意，知312(3)327m m -÷=．∴ 3(1)2333m m --=．
∴ 3323m m --=，解得6m =．
（2）由已知1020a =，得22(10)20a =，即210400a =．由已知1105b =，得211025
b =．∴ 22110
1040025a b ÷=÷，即2241010a b -=．∴ 224a b -= ∴ 22222493
333381a b a b a b -÷=÷===．（3）由已知23m =，得3227m =．由已知24n =，得2216n =．
∴ 32322722216
m n m n -=÷=．类型三、乘法公式
4、对任意整数n ，整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数？为什么？
【答案与解析】
解：∵(31)(31)(3)(3)n n n n +---+
22222(3)1(3)919n n n n =---=--+22101010(1)n n =-=-，
210(1)n -是10的倍数，∴原式是10的倍数．
【总结升华】要判断整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数，应⽤平⽅差公式化简后，看是否有因数10．
举⼀反三：
【变式】解下列⽅程(组)：
22(2)(4)()()32x y x y x y x y ?+-+=+-?-=-?
【答案】
解：原⽅程组化简得2332x y x y -=??-=-?，解得135
x y =??=?．
5、已知3a b +=，4ab =-，求： (1)22a b +；(2)33a b +
【思路点拨】在公式()2
222a b a ab b +=++中能找到22,,a b ab a b ++的关系. 【答案与解析】
解：(1) 2222
22a b a ab b ab +=++- ()2
2a b ab =+-
∵3a b +=，4ab =-，
∴()22232417a b +=-?-= (2)333223
a b a a b a b b +=+-+ ()()()2a a b b a b a b =+-+-
()()22a b a ab b =+-+
()()2
[3]a b a b ab =++-
∵3a b +=，4ab =-，
∴()332333463a b ??+=-?-=??.
【总结升华】在⽆法直接利⽤公式的情况下，我们采取“配凑法”进⾏，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的⽕花，找到最佳思路.
类型四、因式分解
6、（2015春?岱岳区期末）已知x 2﹣4y 2
=20，x+2y=5，求x ，y 的值．
【思路点拨】直接利⽤平⽅差公式分解因式，进⽽得出x ﹣2y=4，再利⽤⼆元⼀次⽅程组的解法得出x ，y 的值．
【答案与解析】
解：∵ x 2﹣4y 2=（x+2y ）（x ﹣2y ）=20，x+2y=5，
∴ 5（x ﹣2y ）=20，
∴ x ﹣2y=4，
∴，解得：．
【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式以及⼆元⼀次⽅程组的解法，正确分解因式是解题关键．
举⼀反三：
【整式的乘除与因式分解单元复习例7】
【变式】分解因式：（1）()()222222x x ----
（2）()2224420x x
x x +--- （3）2244634a ab b a b -+-+-
【答案】
解：（1）原式()()()()()()2222
212211x x x x x x =---+=+-+- （2）原式＝()()()222224(4)204544x x x x x x x x +-+-=+-++ ()()()2512x x x =+-+
（3）原式＝()()()()2
23242421a b a b a b a b ----=---+。