数值分析--第四章--特征值特征向量计算（乘幂法）

数值分析--第四章--特征值特征向量计算（乘幂法）
摘要：n阶⽅阵A满⾜AX=λx，λ为矩阵A的特征值，x为特征值对应的特征向量。

⼀.乘幂法（求模最⼤特征值及对应特征向量）
设矩阵A有n个相性⽆关的特征向量x1,x2,x3,.....xn，相应的特征值λ1,λ2,λ3,.....λn（由⼤到⼩排列）。

迭代法引⼊：上⼀章学了迭代法求解线性⽅程组Ax=b的解，给定任⼀的初始值v0，不断迭代可以得到Ax=b的解。

同理，给定任⼀⾮零的n维向量v0，不断迭代可以 得到矩阵A的特征向量，
对于初始向量v0可以由A的n个线性⽆关的特征向量表⽰：
带⼊迭代⽅程中：
当迭代次数k趋近于⽆穷⼤时，可得到最⼤特征值λ1对应的特征向量a1x1(与x1线性相关)
同理，当迭代次数趋近于⽆穷⼤时，可得到绝对值最⼤的特征值，λ1
其中，m表⽰向量中的绝对值最⼤的那个元素值
如何利⽤迭代法求解按模最⼤特征值和特征向量
说明：
1.初始值：我们给定初始值x0=[1,1,1]^T,取特征值1
2.第⼀次迭代：
对应的近似特征值取：
3.第⼆次迭代：
⼆.改进乘幂法
这个规范化处理的⽬的：防⽌数据溢出或是数据消失
从上⾯可以看出，改进乘幂法即是每次迭代出的特征向量都进⾏⼀次规范化处理 。