安徽省皖南八校2019届高三上学期第一次联考数学(文)试卷

“皖南八校”2019届高三第一次联考
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题題5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合{}{}2,3,4,5,3A B x x ==<，则A B ＝
A ．{}3
B ．{}2
C ．{}2,3
D ．{}1,2,3
2．设(1)2z i i -=(i 是虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．函数()(0x f x a a =>且1)a ≠是增函数的一个充分不必要条件是
A ．102
a <<
B ．0<a<1
C ．2<a<3
D ．a>1 4．若0,0m n >>， 1112m n +=上，则3m ＋2n 的最小值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
5．若角α满足3cos()45
πα+=
，则sin 2α= A ．725 B ．1625 C ．725- D ．1625- 6．已知函数(2)3log ,3()3,3
x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，则[(6)]f f 的值是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．43log
7．如图在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，3BC EC =，F 为AE 的中点，则BF
A ．
1233AB AD - B ．2133
AB AD -+ C ．1233AB AD -+ D ．2133AB AD -
8．若函数cos sin y x x =+在区间（－a ，a ）上是单调函数，则实数a 的取值范围是
A ．(0,]π
B ．3(0,]4π
C ．(0,]2π
D ．(0,]4
π 9．设不等式组220240330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，所表示的平面区城为M ，若直线(2)1y k x =--的图象经过
区域M ，则实数k 的取值范围是
A ．(,1]-∞-
B ．3[,1]2--
C ．3(,]2
-∞- D ．[1,3]- 10．已知定义在R 上的函数满足(2)(),(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则 (1)(2)(3)(2019)f f f f ++++＝
A ．6
B ．4
C ．2
D ．0
11．数()s
i n ()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移个3
π单位长度，再向上平移2个单位长度，得到()g x 的图象则()g x ）图象的一条对称轴为直线
A ．12x π
= B ．4
x π= C ．3x π= D ． 512
x π= 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin cos 0,()x x x A C f x a b c <=+-，则下列结论正确的个数是
①△ABC 是锐角三角形 ②对于(,1)∀∈-∞，都有()f x ＞0
③()f x ＝0在区间（1，2）上有解
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．设数列{}n a 是等差数列，且281,1a a =-=，a ＝1，则5a ＝_______。

14．已知向量(,2),(3,1)a x b ==-，若()a b b -⊥，则2_____a b -=
15．已知函数23()(4)2ln 2
f x x a x x =
++-在区间(1,2)上存在最值，则实数a 的取值范围是
_____________。

16．设函数132()2sin ([,]3122
x x f x x x ππ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N=___。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
17．（本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 3sin 3sin A B C ==．
（1）求sin A 的值；
（2）若△ABC 的周长为7，求△ABC 的面积
18．（本小題满分12分）
数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且455n n S a =-，数列{}n b 满足5log n a n b =
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式
（2）设1
1n n n c b b +=
，数列{}n c 的前n 项和为n T ,证明1n T <
19．（本小題满分12分）
已知向量3(,sin ),(6,sin )2
m x n x x ∈=，x R ∈，函数()f x m n =⋅
（1）若m ∥n ，求x 的值；
（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间
20．（本小题满分12分）
命题P ：x R ∀∈q ：函数23(0sin )y ax xc sx x =+- 在(0,)+∞上是单调函数
（1）写出命题p ⌝，若p 为真命题，求实数a 的取值范围
（2）若()p q ⌝∨为真命题，()p q ⌝∧为假命题，求实数a 的取值范围
21．（本小题满分12分） 已知函数1()x
x f x e += （1）求证：对任意x R ∈，有()1f x ≤
（2）若1()21()x
x a g x x f x e ++=+-
+在实数集内有两个零点，求实数a 的取值范围
22．（本小题满分12分）
设函数222'()2ln 2,()ln (1)f x x ax x a g x x g =--+=+，其中0,x a R >∈．若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，
（1）求实数a 的取值范围
（2）记函数()()()F x f x g x =+（其中1x ≥），若()16F x >恒成立，求实数a 的取值范围
2018年高考考前猜题卷
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足
i i
i z
2 |
2|+
+
=，则=|
|z（）
A ．3
B ．10
C ．9
D ．10
2．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）
A ．}1|{≤x x
B ．}121|{≤<-
x x C ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x
3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ）
A ．631π-
B ．43
C ．6
3π D ．41 4．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ）
A ．12+
B ．2
C ．3
D ．13+
5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）
A ．2-或2
B ．2-或2
C ．2-或2
D ．2-或2
6．已知函数)2||,0)(3sin()(π
ϕωπ
ω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2
π，将函数)(x f y =的图象向左平移
3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ）
A ．关于点)0,12
(
π
对称 B ．关于点)0,12
(π
-
对称
C ．关于直线12
π
=
x 对称 D ．关于直线12
π
-
=x 对称
7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）
A.
3
2 B.
43
C. 2
D. 4
11 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6
)2(x
x -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）
A ．160
B ．160-
C ．350
D ．320- 9．已知函数)0(2
1
2)(<-
=x x f x
与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
A ．)2,(--∞
B ．)2,(-∞
C ．)22,(--∞
D ．)2
2,
22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）
A ．π16
B ．π20
C ．π65
D ．
π4
65 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0
120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若
n n a a a c b ==++1111,2，2
,211n
n n n n n a b c a c b +=+=
++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列
C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列
D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .
14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .
15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-2
2
，则
B
A tan 1
tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)
(log )12(1
12+⋅+=
n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等
奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.
（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；
（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为0
30，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.
20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .
（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.
（注：2
2
2
r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）
21．已知函数x a x g x x f ln )(,2
1)(2
==
. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；
（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()
('1
)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值
范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ）
，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且0
90=∠AOB . （1）求b 的值；
（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；
（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)3
3
2,
1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，
从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比22
3
==
a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.
（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)1
21
1
21(
2
1)
12)(12(1+-
-⨯=
-+=
n n n n b n ∴)1
211215131311(2121+--++-+-⨯=
+++=n n b b b T n n 1
2+=
n n
. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；1201
1)(310==C B P ，10312036)(3
102416===C C C C P ， 21
12060)(3101
426===C C C D P ，6
112020)(31036===C C E P
∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.
（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则
18
1
)|(2912==C C F G P .
（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为
由题意得，若要不亏本，则
032
12103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.
19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1
又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.
（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -
∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为0
30，∴0
30=∠ABO
设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形 ∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，
则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩
⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n
设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则4
6
||
||||,cos |sin =
=><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42
020=+y x ，
则)24,2(),2,
2(0
00y x F y x E +--， ∴41
164164164244242
2
002000
0021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则1441224122
21=+⇒-=+⋅-⇒
-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为14
22
=+y x （0≠y ）
（2）联立⎩⎨
⎧=++=4
42
2y x m
x y 消去y ，得044852
2=-++m mx x ，
设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
4
4,5822121-=-=+m x x m x x ，
由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m
∴222212
212
55
2
45444)58(24)(1
1||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，
易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，
∴2
2
)3(554||||m m ST PQ S S OST
OPQ +-=
==
∆∆λ， 令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，
则4
5)431(4544
65
422
2+--⨯=
-+-=
t t t t λ， 当431
=
t ，即43=t 时，λ取得最大值5
52，此时35-=m . 21．解：（1）x
a
x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得32
2=-
a
，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 2
12
+=
对任意两个不等的正数21,x x ，
2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，
令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 2
1)(2
-+=
在),0(+∞上为增函数 2)('-+
=x
a
x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，
所以1)2(max 2
=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞.
（3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+
等价于0
000ln 1x a
x a x x -<+，
整理得01ln 0
00<++
-x a
x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m
2
222)
1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=
因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1
①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.
令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得
)1ln(1
1+<++a a
a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为
t t t ln 1
1
<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++
-=e
a
a e e m 解得1
1
2-+>e e a .
综上所述，实数a 的取值范围是),1
1
(
)2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，
4)2(22=++y x
∵0
90=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2
>=a ay x ，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t
y t x 22222（t 为参数）
，代入曲线1
C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 042
12
>+=
∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ，
∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.
23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，
即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩
⎨⎧≤+--<9331x x
解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.
（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立
⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5
0a a 5≥⇒a .。