概率论与数理统计练习册答案

概率论与数理统计练习册答案
第一章概率论的基本概念
一、选择题
4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.
5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.
6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于
1
1
1
1
1
()1()1()1()1(1())n
n n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏
9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()
()()
N A P A N =
Ω. 10.答案：（A ）
解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A
的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结
论可知365365
!()365365r r r r
C r P P A ?=
=，故365
()1365
r
r
P P A =-.
12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，
说明AB C ?，
故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.
13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知
2()()()1()
()()1()()
()(1())()(1()()())
1
()(1())
()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+=
=-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()
P B P AB P A P B -?=
故A 与B 独立. .
16.答案：（B ）解：所求的概率为
()1()
1()()()()()()()
11111100444161638
P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）
解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”
1.2.3i =，则由全概率公式知
112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120
P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.
18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知
112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515
P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.
19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知
3263222711223315
()(|)
5(|)()(|)()(|)()(|)7
P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ==
=++. 二、填空题
2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC
3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；
若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是
由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得
()()0.70.4
()0.51()10.4
P A B P A P B P A +--=
==--.
4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是
P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.
解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以
()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .
6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知
()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()
1[()()()()()()()]13/42/67/12
P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.
11260
解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260
=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知
()()(|)0.60.013
(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027
P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?=
===+?+?. 12.6/11
解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511
P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?=
===+?+?. 四、 )(,2
1)|(,3
1)|(,4
1)(B A P B A P A B P A P ?===求。

解：由6
1)()(31
4121)()|()()()()
|(=??
=→?=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件由乘法公式，得12
1)|()()(==A B P A P AB P
由加法公式，得3
112
16
14
1)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P
五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。

今从男女
人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：A 1={男人}，A 2={女人}，B={色盲}，显然A 1∪A 2=S ，A 1 A 2=φ 由已知条件知%25.0)|(%,5)|(21)()(2121====A B P A B P A P A P
由贝叶斯公式，有
)
()
()|(11B P B A P B A P =
)|()()|()()|()(221111A B P A P A B P A P A B P A P +=
21201000025211005211005
21=
+??
=
六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白
球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）
记A 1，A 2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”。

∵ B =A 1B +A 2B 且A 1，A 2互斥∴
P (B )=P (A 1)P (B | A 1)+ P (A 2)P (B | A 2)
=
1
11++?
+++++?+M N N
m n m M N N m n n
第二章随机变量及其分布
一、选择题
1.答案：（B ）注：对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数值a 的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件.
2.答案：（B ）解：由于X 服从参数为λ的泊松分布，故
{},0,1,2,!
k e P X k k k λ
λ-==
= .又},2{}1{===X P X P 故
1221!
2!
e e λ
λ
λλλ--=
=，因此注意公式
0212222
{2}1{2}
1{0}{1}{2}2225110!1!2!P X P X P X P X P X e e e e
--->=-≤=-=-=-==---=-. 3.答案：（D ）
解：由于X 服从]5,1[上的均匀分布,故随机变量X 的概率密度为
14
,[1,5]()0,[1,5]
x f x x ∈?=.因此，若点,[1,5]a b ∈，则4}{a
b b X a P -=≤≤. 2{36}{35}4P X P X <<=<<=
，3
{04}{14}4P X P X <<=<<=， 21
{13}{13}42
P X P X -<≤=<≤==.
4 答案：（C ）
解：由于),4,(~μN X 故
~(0,1);2
X N μ
- 由于0{0}{}(),222X P X P μμμ--≤=≤=Φ-而1
(0)2
Φ=，故只有当0μ=时，才有2
1
}0{=≤X P ；
2{2}{2}1{2}1{}1(1);
22
X P X P X P X P μμμ
μμμ-+-->=>+=-≤+=-≤=-Φ
正态分布中的参数只要求0σ>，对μ没有要求. 5.答案：（A ）解：由于~(2,)X B p ，故
00
2222{1}1{1}1{0}1(1)1(1)2P X P X P X C p p p p p ≥=-<=-==--=--=-，
而5{1}9P X ≥=
，故2515
2933
p p p p -=?==或（舍）；由于~(3,)Y B p ，故
0033311219
{1}1{Y 1}1{0}1()(1)1()33327
P Y P P Y C ≥=-<=-==--=-=.
6.答案：（B ）解：这里()23g x x =-+，
()g x 处处可导且恒有()20g x '=-<，其反函数为3
()2
y x h y -==-，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y 的密度函数为3113
()()()2222
Y X X y y f y f f --=-
-=-. 7.答案：（D ）
注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页.
8.答案：（C ）
解：因为)1,1(~N X ，所以2(1)2
1
()2x
t F x e
dt π
--
-∞
=
，2
(1)
21()2x f x e π
-
-=.
101
{0}{
}(1)1(1)10.84310.1569,
11
{0}1{0}1{0}1(1)(1)0.8431;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ-=-Φ=-=≥=-<=-≤=-Φ-=Φ= 111
{1}{
}(0)0.5,
{1}1{1}1{1}1(0)0.5;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ=≥=-<=-≤=-Φ= 9.答案：（B ）
解：由于()()f x f x =-，所以X 的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y 轴对称，因此随机变量X 落在x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，
从而马上可以得出1
(0)(0)2
F P X =≤=.我们可以画出函数()f x 的图形，借助图
形来选出答案B.
也可以直接推导如下：
()()a
F a f x dx --∞-=?
，令u x =-，则有
1
()()()()()()().
2a
a
a a
a
F a f u du f u du f x dx f x dx f x dx f x dx ∞
∞
∞
∞
-=--===-=-
10.答案：（A ）
解：14
114
4
11
12137
{}()|42
8P X f x dx xdx x >====??. 11.答案：（B ）解：
21121
{2}1{2}1{22}1{
}222X P X P X P X P ----≥=-<=--<<=-<<
1[(0.5)( 1.5)]1(0.5)1(1.5)0.3753=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=.
12.答案：（D ）
解：对任意的0,x >{}1{}1()1(1)x x P X x P X x F x e e λλ-->=-≤=-=--=；选项C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0λ>.
13.答案：（A ）
解：选项A 改为~(0,1)X N μ
σ
-，才是正确的；
{(,)}()()(
)(
)a b P X a b F b F a μ
μ
σ
σ
--∈=-=Φ-Φ；
{||}{}{}
{}()()2()1,(0)
P X k P k X k P k X k k X k P k k k k μσσμσσμσμσμμμσμμ
σσσ
-≤=-≤-≤=-+≤≤+-+--+-=≤≤=Φ-Φ-=Φ->. 14.答案：（B ）
解：由于随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,所以X 的概率密度函数为
1
5
,[1,6]()0,[1,6]
x f x x ∈?=.而方程012=++Xx x 有实根，当且仅当24022X X X ?=-≥?≥≤-或，因此方程012=++Xx x 有实根的概率为 62 {2}{2}0.861
p P X P X -=≥+≤-=
=-. 二、填空题1.X x ≤.
2.解：由规范性知111115151248161616
c c c c c c =
+++=?=. 3.解：由规范性知1
22/31
1()2312/32k k a a a a ∞
====?=-∑.
4.解：因为{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--，所以只有在F （X ）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P （X=-1）=F （-1）-F （-1-0）=a ，
P{X=1}=F （1）-F （1-0）=2/3-2a ，P{X=2}=F （2）-F （2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.
5.解：由于]5,1[~U X ，所以X 的概率密度为1
,15
()40,x f x ?≤≤?=其它，
故2
1221
11
()()(1)44
x p x X x f x dx dx x ∞-∞
<<===-??
. 6.22
()21
(),2x f x e x μσπσ
--
=-∞<<∞；22
1(),2y f y e y π
-
=
-∞<<∞
8.解:由()()()1()
1333
(0)()()()2222303
2p X c p X c p X c p X c X c c p X c p c c <=≥?<=-<---?Φ==<=<=Φ-?=?=.
１0．解：0
11(){}{},(04)22
y Y F y P Y y P X y dx y y =<=<==<
'==
<<.
四、设随机变量X 的分布函数为
≥<≤<=.
,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，
求（1）P (X<2), P {0<x
4
5
ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<
<<="=其它</p">
,0,
1,1)(')(e x x x F x f
五、设随机变量X 的概率密度)(x f 为
≤≤-<≤=其他0
21210)(x x x x
x f
求X 的分布函数F (x )。

解：?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(
=+
-+
+
=
<--
=-+
+
=≤≤=
+=<≤==
<∞
-∞
-∞-∞
-1
2
2
1
2
1
1
2
00
1
0)2(0)(,212
2)2(0)(,212
0)(,100
0)(,0x
x
x
x
dt dt t dt t dt x F x x
x dt t dt t dt x F x x dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当
故分布函数为
<≤≤--<≤<=x
x x x x x x x F 21
2112210200)(2
2
六、设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率
∵ K 的分布密度为：
<<-=其他
500
51)(K K f
要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0。

解不等式，得K ≥2时，方程有实根。

∴
5
1
)()2(5
5
22
=
+
==
≥?
∞+∞+dx dx dx x f K P 七、设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=e X 的分布密度∵ X 的分布密度为：<<=为其他
x x x f 0
1
01
)(
Y=g (X ) =e X 是单调增函数又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在
且
α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1
=βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e
∴ Y 的分布密度为：??
<
y e y y
y h y h f y ψ0111|)('|)]([)(
八、设X 的概率密度为
<<=为其他
x πx πx
02)(2
求Y =sin X 的概率密度。

∵ F Y ( y )=P (Y ≤y ) = P (sin X ≤y ) 当y<0时：F Y ( y )=0
当0≤y ≤1时：F Y ( y ) = P (sin X ≤y ) = P (0≤X ≤arc sin y 或π－arc
sin y ≤X ≤π)
=?
-+π
y πy dx πx
dx πx
arcsin 2
arcsin 0
2
22
当1<="" bdsfid="481" p="" y="" ∴="" 时：f="" 的概率密度ψ(="">
y ≤0时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' = (0 )' = 0 0
第三章多维随机变量及其分布
一、选择题
3.答案：（D ）解：联合分布可以唯一确定边缘分布，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X 与Y 是相互独立的，则由X 与Y 的边缘分布可以唯一确定X 与Y 的联合分布.
当221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ 时，),(~211σμN X ，2
22~(,)Y N μσ，且X 和Y 相
互独立的充要条件是0=ρ；单由关于S 和关于T 的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S 和T 的联合分布的.
8.答案：（D ）解：由联合概率密度函数的规范性知
4
4
4
000
4
1(,)sin()[cos cos()]4[sin sin()]21214
f x y dxdy C dx x y dy C x x dx
C x x C π
π
π
ππ
π
∞∞
-∞-∞
=
=+=-+=-+=-?=+??
. 9.答案：（A ）解：1
{1}(,)x y P X Y f x y dxdy +≥+≥=
1
2
1
2
32010
154165
()()363272x dx x xy dy x x x dx -=+=++=. 10.答案：（Ｂ）解：由联合概率密度函数的规范性知(23)
230
00
1(,)(2)(3) 6.
66x y x y A A
f x y dxdy A dx e
dy e d x e d y A ∞∞
+∞
+∞
+∞
+∞
-+---∞-∞
=
==--=?=
12.答案：（C ）解：用D 表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形
区域，用G 表示矩形域[02,01]x y ≤≤≤≤，则所求的概率为
212
4
22020
33{(,)}(,)()0.6
22216D
D G x x x P X Y D f x y dxdy xy dxdy dx xy dy dx ∈====-=??
.
13.答案：（B ）解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性
组合仍然服从正态分布，且若2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ= ，则
221
1
1
~(,).n
n
n
i i i i i i i i i Y k X N k k μσ====∑∑∑
因此2
221211111()~(,())(,)n
n n i i X X X N N n n n
n σμσμ==+++=∑∑ ；
22212~(,)(0,2)X X N N μμσσσ--+=.
令123Z X =+，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z 的概率密度函数为22
2
23
(
)[(23)]22(2)21
11().222(2)
z z Z f z e e μμσσπσ
πσ---+-
-
==，故2123~(23,4)X N μσ++
.
二、填空题 3.解：22
11
1[ln ||]2e e D S dx x x ===?
，故1/2,(,)(,)0,(,)x y D f x y x y D ∈?=
. 三、设随机变量（X ，Y ）概率密度为??
<<<<--=其它,04
2,20),6(),(y x y x k y x f
（1）确定常数k 。

（2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5} （4）求P (X+Y ≤4}
分析：利用P {(X , Y)∈G}==
o
D G G
dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，
其中??
<<<<=42,20),(y x y x D o
解：（1）∵?
+∞∞-+∞
∞
---=
=20
12
)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8
1
=
k （2）8
3)6(8
1)3,1(3
2
10
=--=<<="" x="" y="">
（3）32
27)6(81),5.1()5.1(4
25.10
=--=∞<≤=≤?
dy y x dx Y X P X P （4）3
2
)6(81)4(40
2
0=--=≤+?
-dy y x dx Y X P x 四、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ≤≤=其它,01
,),(2
2y x y cx y x f
（1）试确定常数c 。

（2）求边缘概率密度。

解: l=?
∞+∞
-+-∞+∞
-=?===
4
2121432),(10
25
2
10
c c dy y c
ydx cx dy dxdy y x f y y
≤≤--==?其它,01
1),1(8
21421)(~4212
2x x x ydy x x f X x X ??
≤≤==?+-其它
01027421)(~252y y ydx d y f Y y y Y
五、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
≤≤≤≤-=其它
求边缘概率密度0
.
0,10)
2(8.4),(x y x x y y x f
解：
≤≤-=-==?
∞
+∞
-其它
10)
2(4.2)2(8.4),()(0
2x x x dy x y dy y x f x f x X
≤≤+-=-==??
∞
+∞
-其它0
1
0)43(4.2)2(8.4),()(12y y y y dx x y dx y x f y f y
Y 六、设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布。

Y
的概率密度为??
≤>=.0,00
,21)(2y y e y f y
Y
（1）求X 和Y 的联合密度。

（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

解：（1）X 的概率密度为∈=其它
,0)
1,0(,1)(x x f X
Y 的概率密度为
≤>=-.0,00
,21)(2y y e y f y
Y 且知X , Y 相互独立，
于是（X ，Y ）的联合密度为
><<==-其它
0,1021)()(),(2y x e
y f x f y x f y
Y X
（2）由于a 有实跟根，从而判别式0442≥-=?Y X
即：2X Y ≤ 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=
dx e
de
dx dy e dx dxdy y x f X Y P x x y y
D
x
-
-
-
-=-===≤1
010
2
02
2
1
00
222
212
1
),()(
1445
.08555.013413.05066312.21)5.08413.0(21))2()1((2121 2100
2
=-=?-=--=Φ-Φ-=?
-=?-
πππ
πdx e x
七、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布。

随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X 1，X 2，X 3，X 4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：
2
2202)160(20
21
)(?--?=
t T e
πt f
8413
.0)
20
60
180(2120
160
202)160(20121
)180(}180{1
2
18022
2查表
令
-Φ==-?-==
--
∞-du e
u t dt t F X f u X π
π
设N=min{X 1，X 2，X 3，X 4}
P {N>180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180}
=P {X >180}4={1－p [X<180]}4= (0.1587)4=0.00063
第四章随机变量的数字特征
一、选择题
22()()[()]D X E X E X =-. 2.答案：（D ） 2、解：()20
()(,)[]1x y x E XY xyf x y dxdy xye dxdy xe dx ∞∞
∞
∞
∞
-+--∞-∞
====?
3.(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，故(,)0()Cov X Y E XY EX EY =?=?；
()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++，故(,)0()Cov X Y D X Y DX DY =?+=+； ()2(,)D X Y DX DY Cov X Y -=+-，故(,)0()Cov X Y D X Y DX DY =?-=+；
(,)00XY Cov X Y ρ=?=，但不能说明X 与Y 独立.
4.答案：（C ）解：由于X,Y 独立，所以2X 与3Y 也独立，故
(23)(2)(3)4()9()D X Y D X D Y D X D Y -=+=+.
6.答案：（C ）相互独立与相关性
解：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X,Y 独立时，可以得到0),(=Y X Cov
而(,)00XY Cov X Y ρ=?=，即X,Y 不相关，但不能得出X,Y 独立；
()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++，故(,)0()Cov X Y D X Y DX DY =?+=+； ()2(,)D X Y DX DY Cov X Y -=+-，故(,)0()Cov X Y D X Y DX DY =?-=+.
()2(,)(,)00XY D X Y DX DY Cov X Y DX DY Cov X Y ρ+=++=+?=?=，即X,Y 不相关.
EY EX XY E ?=)(成立的前提条件是X,Y 相互独立；当X,Y 相互独立时，有DY DX Y X D +=-)(，即DY DX Y X D +=-)(成立的充分条件是X,Y 相互独立；
而()2(,)(,)00XY D X Y DX DY Cov X Y DX DY Cov X Y ρ-=+-=+?=?= 即X,Y 不相关，所以DY DX Y X D +=-)(成立的充要条件是X,Y 不相关；
(,)(,)(,)(,)()Cov X aX b Cov X aX Cov X b aCov X X aD X +=+==；
(1)()(1)2(,1)()D X D X D Cov X D X +=++=.
10.1
()2(,)(,)[()]2
D X Y DX DY Cov X Y Cov X Y D X Y DX DY +=++?=+--；
(23)(2)(3)2(2,3)4()9()12(,)D X Y D X D Y Cov X Y D X D Y Cov X Y -=+-=+-.
11.2222()()[()]()[()]D X E X E X E X DX E X =-?=+；
(23)(2)(3)2(2,3)4()D X D X D Cov X D X +=++=； (3)(3)()3()E Y b E Y E b E Y b +=+=+； ()E X 是一个确定的常数，所以(())0D E X =.
12.答案：（D ）
解：22222[()](2)()2()E X c E X cX c E X cE X c -=-+=-+
22222
2
2
2
2
()[()]{[()]2()}
()[()][()]()[()]()E X E X E X cE X c E X E X E X c D X E X c D X σ=-+-+=-+-=+-≥=
13.答案：（B ）
解：11
111(1)(1)
()22n
n k k n n n E X k k n n n ==++====
∑∑， 2
221
1111(1)(21)(1)(21)
()66n n k k n n n n n E X k k n n n ==++++====
∑∑，故2222
(1)(21)(1)1()()[()][](1)6212
n n n D X E X E X n +++=-=-=-.
14.答案：（C ）
解：101010100000
1()()|10()101010x x x x
x E X xf x dx x e dx xde xe e d ∞∞
∞
∞
----∞
-∞===-=---=
(21)(2)(1)2()121E X E X E E X ?+=+=+=.
15.答案：（B ）
解：由于当[,]X U a b 时，2()()12b a D X -=，故这里21
(20)()123
D X -=
=. 16.答案：（A ）
解：由于~(0,1),1,2i X N i =，所以12()()0E X E X ==，12()()1D X D X ==
又因为12Y X X =+，所以12()()()0E Y E X E X =+=，
1212121212()()()2(,)22[()()()]22(),D Y D X D X Cov X X E X X E X E X E X X =++=+-=+而1X 与2X 的独立性未知，所以12()E X X 的值无法计算，故()D Y 的值未知.
17.答案：（C ）
解：由于(X,Y)服从区域{(,)|0,}D x y x y a =≤≤上的均匀分布，所以
(X,Y)的概率密度为2
1
,(,)(,)0,(,)x y D f x y a x y D
∈?=?
，则
200
0023
22
200
1
||||(,)[()()]
1222()263y
a x a D a
x
a E X Y x y f x y dxdy dx x y dy dy y x dx a x a a
dx x y dy dx a a a -=-=-+-=
-===.
18.答案：（D ）解：令*X E X
X DX
-=
，则有*0EX =，*1DX =，但不一定有*~(0,1)X E X
X N DX
-=
. 19.答案：（A ）
解：由题意知1
2
011{}224
P X xdx ≤==?，故Y 服从参数为3和1/4的二项分布，
即1(3,)4Y b ，因此139
()34416
D Y npq ==??=.
20.答案：（D ）
解：()(,)E X Y x y f x y d x d y +∞
+∞-∞
-∞
=?
，只有当X 与Y 独立时，才有
+∞∞-+∞
∞
-=dxdy y f x xyf XY E y x )()()(.
二、填空题
1.解：由题设λ=2)(=X D ，故{}12
22121!
e
p X e --===.
2.解：假设P （X=-1）=a ，P （X=0）=b ，P （X=1）=c,则
a+b+c=1,-a+0+c=()0.1E X =,a+c=2()0.9E X =,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即X 的概率分布是P （X=-1）=0.4，P （X=0）
=0.1，P （X=1）=0.5.
3. 22
()21
()2x f x e
μσπσ
--=,EX μ=,2DX σ=;=
)(y f 2
2
12x e π
-,=EY 0, =DY 1. 4.解：由题设222()()[()]451E X D X E X μμ=+=+=?=，故X 的概率密度函数为2
(1)8
1
()22x f x e π
--
=
.
5.解：由题设
23
3
43
1
3
1
11(24)(
)(
)()()
11
2()10.3()0.65
3
23
11
(2)(
)()1()0.35
X X p X p p X p X p σ
σ
σ
σ
σ
σ
σσ
σσ
σ
σ
σσ
-----<<=<
<
=<
<
=Φ-Φ-=Φ-=?Φ=--?<=<
=Φ-=-Φ=.
6.解：)(X E =0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；
2()E X =0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；
)(X D =2()E X -2[()]E X =67/12-49/16=121/48； )12(+-X E =-2)(X E +E （1）=-7/2+1=-5/2.
7.解：
4,9,0.5,
(23)(2)(3)2(2,3)4()9()12(,)4()9()1216813661
XY XY DX DY D X Y D X D Y Cov X Y D X D Y Cov X Y D X D Y DX DY ρρ===-=+-=+-=+-=+-=. 8.解：由于X 服从n=10，p=0.4
的二项分布，根据二项分布的性质，EX=np=4，
DX=np （1-p ）=2.4，故E （2X ）= DX+（EX ）2=18.4. 三、设随机变量X 的分布为
X －2 0 2
P k
0.4
0.3
0.3
求 E (X )， E (3X 2+5)
解：E (X )= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X 2)= (－
2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
E (3X 2+5) = 3E (X 2)+ E (5)= 8.4+5=13.4
四、设随机变量X 的概率密度为
≤>=-0,00,)(x x e x f x
求（1）Y=2X
（2）Y=e －2x 的数学期望。