《数值分析》第四章答案

习题4
1. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：x x f =)( 212
1)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2
5
83)(-='''x x f ,
27)4(16
15
)(--
=x x f
，72380529.10)115(=f
1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y
)
)(())(())(())(())(()
)(()(1202102
210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )
121144)(100144()121115)(100115(12)
144121)(100121()
144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯
+----⨯
+----⨯
=L
=23
44)
6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯
72276.1006719.190683.988312.1=-+=
))()((!
3)
()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=
-ξ ，144100<<ξ )
44115()121115()100115()(max 61
)115()115(144
1002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 29615108
3
615⨯⨯⨯⨯⨯≤-
001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f
)
)()(()
)()(())()(())()(()(3121013201
3020103210
3x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= )
)()(()
)()(())()(())()((2313032103
3212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()
169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯
=L )
169121()144121()100121()
169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯
+
)169144()121144()100144()
169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+
)
144169()121169()100169()
144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯
+
)48()23(21)
54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯
+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 25
4869)
29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯
+-⨯⨯-⨯-⨯⨯
+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!
4)
()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ
)
169115)(144115)(121115)(10115(101615
241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016
15
2417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=
- 0005505.0105505.03=⨯=-
实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)
k n
j j k j x x l x =∑=)(0
),,1,0(n k =;
(2)
0)()
(0
=-∑=x l x x j k
n
j j ),,1(n k =。

解：(1) 考虑函数 )0(,)(n k x x g k h ≤≤=以n x x x ,,,10 为插值节点的
n 次插值多项式，由插值余项公式有 0)()!
1()()
(~
)
1(0
=-+=
-
=+==∑
i i n k j n
j k j k
x x n x x l x x x πξ
∴
k
j
n
j k j x x l x =∑=)(0
, n k ≤≤0 (2) 法1 当n k ≤≤1时
)()()()()
(00
x l x x C x l x x j l k l j n j k
l l
k j n
j k
j -===-=
-∑∑∑
)()()(0
0x l x x C j n j l j l
k k
l l k ∑
∑
=-=-= 00))(()(0
==-+=⋅-=
-=∑k k
l l k k
l l k x x x x C
法2 设 k t x x g )()(-=，n k ≤≤1考虑它的n 次插值多项式 有
k j n
j k j t x x l t x )()()(0
-=-∑=，n k ≤≤1
令 x t =得
∑==-n
j j k j x l x x 0
0)()(，n k ≤≤1
4. 设],[)(2b a C x f =，且0)()(==b f a f ，求证：
)(max )(8
1
)(max 2x f a b x f b x a b x a ''⋅-≤≤≤≤≤ 解：考虑)(x f 以b x a x ==,为节点的一次插值多项式)(1x L ，则
有
0)()()(1=--+--=a
b a
x b f b a b x a f x L
))((2
)
()()()(1b x a x f x L x f x f --''=
-=ξ， 当],[b a x ∈时 ),(b a ∈ξ 于是 )(max )(8
1
))((max )(max 21)(2x f a b b x a x x f x f b x a b x a b x a ''-=--⋅''≤
≤≤≤≤≤≤
],[b a x ∈
)(max 8
)()(max 2
x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤
法2 设)(x f 在],[b a c ∈处达到最大值，如果a c =或b c = 则结论显然成立，现设),(b a c ∈ 则有0)(='c f
0)()(21
)()(12=''-+=ξf c a c f a f ),(1c a ∈ξ
0)()(2
1
)()(22=''-+=ξf c b c f b f ),(1b c ∈ξ
当)2
,
(b
a a c +∈时， )(max 8
)()()(21)(212
x f a b f c a c f b x a ''-≤''--=≤≤ξ
当),2
(
b b
a c +∈时，
)()(2
1
)(22ξf a b c f ''--=
5.设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 有个不同的实根n x x x ,,,21 ,证明:
⎩⎨⎧='-=∑10
10)(a x f x n
j j k j
12
0-=-≤≤n k n k 。

解：由于n x x x ,,,21 是)(x f 的n 个不同的实根，所以)(x f 可为 ∏∏≠==--=-=n
j
i i i j n
i i x x x x a x x a x f 1
01
0)()()()(
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-='∏∏≠=≠=n j i i i j n j i i i x x x x x x a x f 110)()()()(
∏≠=-='n
j
i i i j j x x a x f 1
0)()(
因而 ∑
∏∑=≠==-=
'n
j n
j
i i i j k j
n
i j j k j
x x x a x f x 1
1
0)
(1
)
( (*)
法 1
记 k k x x g =)(，则
)!
1()
(],,,[)
()
()
()1(211
11
1-=
=-=--=≠==≠=∏
∏∏
∏n g x x x g x x k g x x x n k n k n
j n
j
i i i j j k n
j n
j
i i i j k j
ξ = 10
12
0-=-≤≤n k n k
将上式代入(*)得
='∑=n
j j k j
x f x 1)( ,1,
00
a
12
0-=-≤≤n k n k 法 2 考虑)(x g k 以n x x x ,,,21 为插值节点的1-n 次插值多项式，则有
∏∏
∑≠=≠==--n
j
i i i j n
j i i i n
j k
j x x x x x 11
1)()
( k x =，10-≤≤n k
比较两边1-n x 的系数，得
=-∑
∏=≠=n
j n
j
i i i j k j
x x x 1
1)
( 01
2
01
-≤≤-=n k n k 6. 设有函数值表
x 1 3 4 6 7 9 y 9 7 6 4 3 1 试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。

解：
9764
31 1
346
79 1
1
11
1----- 0
000
00 0
)1)(1(9)(5--+=x x N
7.设13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。

解：1!7)(]2,2,2[)7(7
1
==
ξf f ，0!
8)(]2,2,2,2[)8(8
710==ξf f
11. 设n x x x ,,,10 互不相同， (1) 作12+n 次多项式)(x a i 满足
ij j i x a δ=)( , 0)(='j i x a )0(n j ≤≤ (2) 作12+n 多项式)(x i β满足
0)(=j i x β , ij j i x δβ=')( (n j ≤≤0)
解：由条件 0)(,0)(='=j i j i x x αα n j ≤≤0,i j ≠
可设 )]([)(i i i i x x B A x -+=α)(2x l i 再由 1)(=i i x α 得 1)(2==i i i i A x l A
对)(x i α求导得 αα)]([)()(2i i i i i i x x B A x l B x -++=')()(x l x l i i ' 由 0)(2)(2)(='+='+='i i i i i i i i i x l B x l A B x α 得 )(2i i i x l B '-= 于是
)()](21[)(2x l x l x i i i i '-=α 2) 由 0)(=j i x β，n j ≤≤0 0)(='j i x β，n j ≤≤0，i j ≠ 可设 )()()(2x l x x C x i i i i -=β
求导得 )]()(2)()([)(2x l x l x x x l C x i i i i i i '⋅-+='β 求 1)(='i i x β 得 1=i C 于是
)()()(2x l x x x i i i -=β
13. 给定x e x f =)(。

设0=x 是4重插值节点，1=x 是单重插值节点，
试求相应的Hermite 插值公式，并估计误差])1,0[(∈x 。

解：1)0(=f ，1)1(='f ，1)1(=''f ，1)1(='''f ，e f =)1(
1
00
e 1111
211
1-e
221
2
1
-e 2
561-
e 38-e
4324)38
(61211)(x e x x x x H -++++=
)1(!
5)1()0(!5)()(44
)5(-=--=x x e x x f x R ξξ
)1(!
5)(4
-≤
x x e x R 00186.008192.0120
718.251)54(!5)(max 41
0=⨯=⨯≤
≤≤e x R x 14. 在[b a ,]上求插值多项式)(3x H ，使得
)()(3a f a H =, )()(3
a f a H '=', )()(3a f a H ''='', )()(3
b f b H ''='' 解： 作)(2x H 满足
)()(2a f a H = )()(2
a f a H '='，)()(2a f a H ''=''， 则 22))((2
1
))(()()(a x a f a x a f a f x H -''+
-'+= 令 )()()(23x H x H x g -=， (*) 则 0)(=a g ，0)(='a g ，0)(=''a g 又 )(x g 为3次多项式，故 3)()(a x A x g -=
代入(*)得
)()()(23x g x H x H +=
32)())((2
1
))(()(a x A a x a f a x a f a f -+-''+
-'+= (**) 求2阶导数得
)()()(3
a x bA a f x H -+''='' 由 )()(3
b f b H ''=''得 )()()(b f a b bA a f ''=-+''
解得 a b a f b f A -''-''⋅=)
()(61
因而 23))((2
1
))(()()(a x a f a x a f a f x H -''+
-'+= 3)()
()(61a x a
b a f b f --''-''⋅+
16．设2
2511)(x
x f +=
，在11≤≤-x 上取20=n ，按等距节点求分段
线性插值函数)(x I h ，计算各相邻节点间中点处的)(x I h 与)(x f 的值，并计算误差。

解：1.020
2
==
h ，,1.011i ih x i +-=+-=200≤≤i )(2
1
12
1++
+=i i i x x x
，190≤≤i )()
()()()(11i i
i i i i h x x x x x f x f x f x I ---+=++，1+≤≤i i x x x ，19,,2,1,0 =i
)]()([21
)(12
1+++=i i i h x f x f x I ，190≤≤i
各相邻节点间中点处的)(x I n 的值)(x f 的值及误差列于下表
i 2
1+i x
)(2
1+i h x
I )(2
1+i x
f )()(2
12
1++-i n i x
I x
f
0 95.0- 0.0427602 0.0424403 0.0003199 1 85.0- 0.0529412 0.0524590 0.0004822 2 75.0- 0.0671476 0.0663900 0.0007576 3 65.0- 0.0877358 0.0864865 0.0012493 4 55.0- 1189655.0 0.1167883 0.0021772 5 45.0- 0.1689655 0.1649485 0.0040170 6 35.0- 0.2538162 0.2461538 0.0076924 7 25.0- 0.4038462 0.3902439 0.0136023 8 15.0- 0.65 0.64 0.01 9 05.0- 0.9 9411765
.09411765
.0 0.0411765
10 05.0 0.9 0.64 0.0411765
11 0.15 0.65 0.01
12 0.25 0.4038462 0.0136023
13 0.35 0.2538462 0.0076924
14 0.45 0.1689655 0.004017
15 0.55 0.1189655 0.0021772
16 0.65 0.0877358 0.0012493
17 0.75 0.0671476 0.0524590 0.0007576 18 0.85 0.0529412 0.0004822
19 0.95 0.0427602 0.0003199
17. 欲使线性插值具有4位有效数字。

在区间[0,2]上列出函数x e sin 的具有五位有效数字的等距节点的函数值表，问步长最多可取多大？ 解： ih x i = ，n i ≤≤0 n
h 2=。

x e x f sin )(=，x e x f x cos )(sin ⋅='，
x e x e x f x x sin cos )(sin 2sin -='' ]sin sin 1[2sin x x e x --= ]1[2u u e u --=， x u sin =
)(u g = 当]1,0[]2,0[∈∈u x 时，
i
i i
i i i i i x x x x x f x x x x x f x L --+--=++++11111)
()()( h
x x x f h x x x f x L i
i i i -+-=++)
()
()(11~
~1 )()()()()()(1~
111~
x L x L x L x f x L x f -+-=-
h
x x x f x f h
x x x f x f x x x x f i
i i i i i i i i --+--+--''=++++)]
()([)]()([))()((21
1~11~1ξ
][1021
)(max 81)()(max
1421~
11
h
x x h x x x f h x L x f i i x x x x x x i i i i -+-⨯⨯+''≤-+-≤≤≤≤++
0)3()3()21()1()(22<+-=--=--+--='u u u u e u u u u e u e u u e u g 1)0(=g , e g -=)1(, e u g x f u x ==''≤≤≤≤)(max )(max 1
02
421~
102
1
81)()(max
1
-≤≤⨯+≤-+e h x L x f i i x x x
3
4210
2
1102181--⨯≤⨯+e h 4432109101041---⨯=-≤e h
e h 2106-⨯≤
即 只要e
h 2
106-⨯≤
18. 求4)(x x f =在[0,5]上的分段3次Hermite 插值，并估计误差(1=h )。

解： i x i =， 5,,2,1,0 =i 当),(1+∈i i x x x 时 212)4()
(3
)()(!
4())(+--=-
i i i x x x x f H x f ，.4,3,2,1,0=i
212)()(+--=i i x x x x ，],[1+∈i i x x x
224)
(3
)1()(----=i x i x x H i ，],[1+∈i i x x x 19.给定下列函数值表
i 0 1 2 i x 3 4 6 i y 6 0 2 i y ' 1 1- 求3次样条插值函数。

解： 30=x , 41=x , 62=x 60=y , 01=y , 22=y
10
='y 12-='y 1010=-=x x h , 2121=-=x x h , 311=u , 321=λ
7],,[110-=x x x f , 3
7
],,[210=x x x f , 1],,[221-=x x x f
6
6433 2
2
06
6
1161-- 1
37
7-- ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡210322
31
012 ⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡6144213776210M M M
解得
667.283860-=-=M ，333.153461==M ，667.10322
2-=-=M
将210,M M M 和代入插值函数表达式中 得
=)(x S ,)4(6
13
)4(323)4(317,
)3(3
22)3(343)3(63232---+---+--
-+x x x x x x ]6,4[]4,3[∈∈x x
30. 观测物体的直线运动，得出以下数据： s t 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 m s 0 10 30 51 80 111 求运动方程。

解： 设 2210)(t c t c c t S ++=, 1)(0=t ϕ,t t =)(1ϕ,22)(t t =ϕ
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-
1111110ϕ ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0.59.30.39.19.001ϕ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-2521.15961.381.002ϕ, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-111805130100S
6),(00=--ϕϕ, 7.14),(10=--ϕϕ, 63.53),(11=-
-ϕϕ
907.218),(_
21=-
ϕϕ 63.53),(20=--ϕϕ 032.951),(22=-
-ϕϕ
282),(0=-s ϕ 1086),(1=--s ϕ 2.4567),(2=-
-s ϕ 正规方程为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡032.951907.21863.53907.21863.537
.1463.537.146
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2.45671086282210c c c 6184.00-=c ，1607.111=c ，2683.22=c
22683.2160.116184.0)(t t t s ++-= 均方误差
0245.19))((6
1
2
=-=
-∑=-
i i i s t s s s
31. 用最小二乘法，求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差：
x 19 25 31 38 44
y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解：
i 1 2 3 4 5
i x 19 25 31 38 44 i y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
1)(0=x ϕ, 21)(x x =ϕ
5)(),(5
1
2
000==∑=i i x ϕϕϕ, 5327)()(),(205
1
010==∑=i i i x x ϕϕϕϕ
7277699),(11=ϕϕ, 4.271),(0=y ϕ 5.369321),(1=y ϕ
正规方程组
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡7277699532753275
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.3693214.271b a 列主元Gauss 消去法得到 050035.0=a ,972748.0=b 经验公式 2972748.0050035.0x y +=
12257.0))((5
1
2
=-∑=i i i y x y
33. 设已知一组实验数据
x 2.2 2.6 3.4 4.0 1.0 y 65 61 54 50 90
试用最小二乘法确定拟合模型b ax y =中的参数b a ,。

解：
i 1 2 3 4 5 i x 2.2 2.6 3.4 4.0 1.0 i y 65 61 54 50 90 b ax y = x b a y ln ln ln +=
令 y Y ln =，x t ln =，则有 t c c Y 10+=，其中a c ln 0=，b c =1 实验数据转化为
i 1 2 3 4 5 i i x t ln = 0.342 0.415 0.531 0.602 0 i i y Y ln = 1.813 1.785 1.732 1.699 1.954 正规方程组
983.889.1510=+c c
303311.3933554.089.111=+c c 421.01-=c , 956.10=c 即 956.1ln =a 071.7956.1==e a 421.01-==c b 经验公式为
∴ 421.0071.7-=e y
34. 试用最小二乘法，求解下列超定方程组： 4221=+x x 5221=+x x 62221=+x x 2221=+-x x 4321=-x x
解：将该方程组两边同时左乘以T A ，得
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1221231221⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--12212312211321221221⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡42654 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡143319⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡253621x x 解得 42802.12=x ，66926.11=x
最小二乘解为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛42802.166926.1
35. 求b a ,，使dx bx a x ⎰+-202)]([sin π
为最小，并与26题结果作比较。

解： x x f sin )(=， bx a x p +=)(， 1)(0=x ϕ，x x =)(1ϕ ⎰
=
=20
2
002
1),(ππ
ϕϕdx ， 2
20
108
1),(πϕϕπ
==⎰
xdx ，
⎰=
=203
22124
),(ππ
ϕϕdx x ⎰-==200cos sin ),(π
ϕx xdx f 120
=π
⎰⎰-=-==20201cos )cos (sin ),(π
π
ϕx x x xd xdx x f ⎰=+20
20sin cos π
π
x xdx 120
=π
正规方程组为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡248
8
12
32
2ππππ
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a 11477.0)3(8
2
=-=
ππ
a , 66444.0)4(24
)411(96
33=-=-=ππ
ππb x x p 66444.011477.0)(+=
36. 设},,1{423x x Span M =，在3M 中求x x f =)(在[1-,1]上的最佳平方逼近多项式。

解：},,1{423x x Span M = 1)(0=x ϕ，21)(x x =ϕ，42)(x x =ϕ，
)()()()(210x c x b x a x p ϕϕϕ++=
x x f =)(，]1,1[-
⎰-==1120021),(dx ϕϕ，52),(1
1411==⎰-dx x ϕϕ，9
2),(118
22==⎰-dx x ϕϕ
32),(1
1210=
=⎰-dx x ϕϕ，72),(11621==⎰-dx x ϕϕ，5
2),(114
20==⎰-dx x ϕϕ
12),(111
00===⎰⎰-xdx dx x f ϕ，
2
12),(111
0321=
==⎰⎰-dx x dx x x f ϕ 3
12),(1
051142===⎰⎰-dx x dx x x f ϕ 正规方程组
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡9272527252325232
2⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡31211c b a ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1522253210516
061105164580152832319
27
25
22172523215232213125
1
31r r r r
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
-
⨯−−−→−-10517151280
061105164580
152322227
6
2
3r r 8203.0128105
-=-=c
6406.164
105
88715824745==⨯⨯=⨯⨯=
b
1172.0128
1532124532122105385==⨯=⨯⨯-⨯=a
=),,(c b a 1172.0( 6406.1 )8203.0-
所求最佳平方逼近多项式为
428203.06406.11172.0)(x x x p -+=。