2016江苏高考南通密卷一[南通市数学学科基地命题]

2015年高考模拟试卷(1)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设,a b R ∈，
231a bi
i i
+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ． 2．已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木 的底部周长（单位：cm )，所得数据如图．则在这100株树木 中，底部周长不小于100cm 的有 株．
4．设向量(1,)a m =r ，(1,2)b m =-r ，且a b ≠r r
，若()a b a -⊥r r r ，
则实数m = ．
5．如图所示的流程图的运行结果是 ．
6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =， 则三棱锥D ABC -的体积为 ．
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=．
当n S 取最大值时，n = ．
8．已知4
4π
π
θ-
≤≤
，且1
cos45
θ=，则44cos sin θθ-= ． 9．若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆
22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为 ．
10．设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1
[,1]2
-，则实数a 的取值范围为 ．
11．已知函数()f x 满足：当[]1,3x ∈时，()ln f x x =，当1[,1)3x ∈时，1
()2()f x f x
=．若在区间
1
[,3]3
内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．
12．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P
引
圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足60APB ∠=，则椭圆C 的离心率的取值范围是
第5题图
第3题图
．
13．设数列{}n a 的通项公式为1
3()2n n a -=，则满足不等式11
3n n
i i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合
为 ．
14．设函数()332x x f x x -=--，则满足12
(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan (2)tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；
（2）设AD BC ⊥，D 为垂足，若2b =，3c =，求AD AC ⋅u u u r u u u r
的值． 16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点． （1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；
（2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．
17．（本小题满分14分）
P B C D G
如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该
市的某大学M 与市中心O
的距离OM =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，
L
在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中
tan 2α=
，cos β=15AO km =． （1）求大学M 与站A 的距离AM ；
（2）求铁路AB 段的长AB ．
18．（本小题满分16分）
设椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为e =
，直线y x =与以原点为圆心、椭
圆C
的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线1
2
x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D 与y
轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积； （3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P
交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．
19．（本小题满分16分）
已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的
C
B
切线平行于x 轴．
（1）确定a 与b 的关系；
（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性； （3）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：
2111k x x <<．
20．（本小题满分16分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈． （1）当1C =时，
①设n n b a n =-，若132a =，29
4
a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}n
b 是否为等比
数列；
②若数列{}n a 是等差数列，求1
B A
-的值；
（2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，
且*
n N ∀∈
，131n
i n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域．．
内作答．．．
． A ．（选修４－１：几何证明选讲）
如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD
的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）
若点(2,1)A 在矩阵11a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦M 对应变换的作用下得到点(4,5)B ，求矩阵M 的逆矩阵． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，设圆C 经过点P ，圆心是直线sin()3πρθ-C 的
极坐标方程． D ．（选修４－５：不等式选讲）
设,,a b c 均为正数，1abc =．求证：111
a b c
++
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46
,n n n a n a n N n
++++=
∈．
（1）求证：数列2n a n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等比数列；
（2）设1*3
,2
n n n b n N a -=
∈+，求证：当2n ≥，*n N ∈时，12241
521
n n n b b b n +++++<
-
+．
23．（本小题满分10分）
如图，已知点(0,)F p ，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，M 为平面内的动点，过M
作l 的垂线，垂足为N ，且NM NF FM FN ⋅=⋅uuu u r uuu r uuu r uuu r
． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设Q 是l 上的任意一点，过Q 作轨迹C 的切线，切点为A 、B ． ①求证：A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列；
②若(4,)Q p --，20AB =，求p 的值．
2015年高考模拟试卷(1) 参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1. 6；
2. [1,)+∞；
3. 70；
4. 1；
5.20；
6.
312； 7. 5；
； 9. 516； 10. [,]62ππ； 11. 1(,6ln3]e ；【解析】当1[,1)3x ∈时，1(1,3]x
∈，由条件得，
11
()2()2ln 2ln f x f x x x
===-，函数()()
(0g x f x a x a =
->恰有一个零点⇔方程
()f x ax =(0)
a >有唯一解，在直角坐标系内分别作出()y f x =与y ax =(0)a >的图象，当直线y ax =经过点1
(,2ln 3)3时，6ln3a = 6ln3，当直线y ax =和曲线()ln f x x =相切时，切
点为(,1)e ，此时1a e =，由图象可知，当1
6ln3a e <≤时，函数()y f x =与y ax =(0)a >的图
象由唯一的交点．
12. ；【解析】在四边形OAPB 中，60APB ∠=，90OAP OBP ∠=∠=，OA OB b ==，2OP b ∴=，由题意得，2b a ≤
，即a
，化解得c a ≥
，又在椭圆中1e <
，1e ≤<． 13. {1，2，3}；
【解析】由于数列{}n a 的通项公式为13
()2
n n a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1{}n a 也是等比数列，首项为2
3
，
公比223q =．不等式113n n i i i i a a ==>∑∑等价于11
13n n
i i i i a a ==>∑∑，即231()1()323231132
n n --⋅
>--，解之得22()193
n
<<，n N *∈，n ∴只能取1,2,3．
14. (0,1)(2,)+∞；【解析】()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x x f x --'=+-=+-≥->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上
单调递增，且(0)0f =，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1
2
20log 0x x -<⎧⎪
⎨>⎪⎩，解得2x >或
01x <<．
二、解答题
15. （1）tan (2)tan b A c b B =-， ∴由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A B
B C B A B
⋅
=-⋅
, 又在ABC ∆中，sin 0B ≠， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-，
即sin()2sin cos A B C A +=， 又sin()sin 0A B C +=≠， 1
cos 2A ∴=，
又
0A π<<，3
A π
∴=
；
（2） 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，
2b =，3c =，3A π
=
，
a ∴=，
11
sin 22
BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅
32AD =⋅，
AD ∴=
227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅===.
16.（1）底面ABCD 为矩形，BC CD ∴⊥，又PD BC ⊥，
,CD PD PCD ⊂平面，PD CD D =， BC ∴⊥平面PCD ， 又BC ABCD ⊂平面， ∴平面ABCD ⊥平面PCD ；
（2）连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG ，
平面PCA 平面BDG GO =， //PC GO ∴， PG CO
GA OA
∴=
，底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO OA =， PG GA ∴=， ∴G 为PA
的中点.
17. （1）在AOM ∆中，15AO
=，AOM β∠=且cos βOM =
由余弦定理得，
2222cos
AM OA OM OA OM AOM =
+-⋅⋅∠
2215215=+-⨯ 139
151523153
72.
=⨯+⨯-⨯⨯⨯=
AM ∴=M
与站A 的距离AM 为；
（
2）cos β，且β为锐角，sin β∴=
在AOM ∆
中，由正弦定理得，sin sin AM OM
MAO
β=
∠,
=
，sin MAO ∴∠=4MAO π
∴∠=，
4ABO π
α∴∠=-， tan 2
α=，sin α
∴=，cos α=
sin sin()4ABO
πα∴∠=-=，又A O πα
∠=-， sin sin()AOB πα∴∠=-， 在AOB ∆中，15AO =，
由正弦定理得，sin sin
AB AO
AOB ABO
=
∠∠，
即15
21
AB =
，AB ∴=AB 段的长AB 为．
18. （1）圆O 的方程为222x y b +=，
直线y x =+O 相切，
b =，即1
b =
，又3e =， =，
2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2
）由题意，可得11
((,22M N ， ∴圆D
的半径r =
AB ∴= ∴ABD ∆
的面积为112228
S =
=
； （3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，
2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-，
由22
14
(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222
824(,)1414k k
P k k --∴++，
则直线2B P 的方程为21
1221)
k y x k +=-+-（，
令0y =，则2(21)21k x k -=+， 即2(21)
(,0)21
k F k -+，
直线12A B 的方程为220x y -+=，
由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221
421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--，
∴EF 的斜率421212(21)4242121k k k m k k k k -
+-==
-+-+- ， ∴211
2242
k m k k +-=⋅-=（定值）
． 19. （1）22()()ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， 1
()2g x ax b x
'∴=++，
由题意得(1)120g a b '=++=， 21b a ∴=--；
（2）11(21)(1)
()2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x
--'=++=+--=>，
①当0a =时，(1)
()(0)x g x x x
--'=>，
当1x >时，()0g x '<，∴函数()g x 在(1,)+∞单调减； 当01x <<时，()0g x '>，∴函数()g x 在(0,1)单调增；
②当102a <<时，即112a
>，1
2()(1)
2()(0)a x x a g x x x --'=
>， ∴函数()g x 在(1
1,)2a 上单调减；
函数()g x 在(1
2,)a
+∞和(0,1)单调增；
③当12
a =时，即21a =，2
(1)()0(0)x g x x x -'=≥>，
∴函数()g x 在(0,)+∞单调增；
④当12a >
时．即112a
<，1
2()(1)2()(0)a x x a g x x x
-
-'=>， ∴函数()g x 在(1
,1)2a
单调减区间；
函数()g x 在(1,)+∞和(0,1
2)a
单调增；
（3）由题设210x x >>，
21212211
ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121
ln ln x x x x
x x x x --⇔<-<
222111
1
1ln 1x x x x x x ⇔-<<- ①
令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则11()1(1)x
h x x x x
-'=-=>，
1x ∴>时，()0h x '<， ∴函数()g x 在(1,)+∞是减函数， 而(1)0h =，1x ∴>时，()(1)0h x h <=
210x x >>，211x x ∴>， 222111()ln 10x x x h x x x ∴=-+<，即2211ln 1x x
x x <-， ②
令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111
()(1)x H x x x x x
-'=-=>，
1x ∴>时，()0H x '>， ∴()H x 在(1,)+∞是增函数，
1x ∴>时，()(1)0H x H >=， 222
111
1
()ln 10x x H x x x x ∴=+->，
即2211
11ln x x x x -< ③由①②③得2111
k x x <<．
20.（1）1C =，21n n a S An Bn ∴+=++，
①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=，
令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，
13,22A B ∴==,213
122
n n a S n n ∴+=++， ①
当2n ≥时，21113
(1)(1)122
n n a S n n --∴+=-+-+， ②
①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，
11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即11
2
n n b b -=，
又111
102
b a =-=≠，0n b ≠，
11
2
n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ② 数列{}n a 是等差数列， ∴设11(1)
(1),2
n n n n a a n d S na d -=+-=+
，
21n n a S An Bn +=++， 1221()22
1d d
n a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈ 11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪
⎪
∴=+⎨⎪
-=⎪⎪⎩
，
11112212222
3d d d a a d d d A
d B +--=++
-∴==
=； （2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+
数列{}n a 是等差数列，11a =， ∴(1)
1(1),2
n n n n a n d S n d -=+-=+
， 22(1)122
d d
n n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，
2n 1
(1)11111(1)1n n a n n n n +++
+==+-+
+， 1
1
11
n
i n n =+-∴+， 1331
1111
n i n n n n λλ=∴-≤⇔-≤+-+++，
即211n n λ≤++
+， *n N ∴∀∈，2
11
n n λ≤+++， 令2
()f x x x
=+， 22222()1x f x x x -'=-=，
当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，
min 2
(1)31n n ∴++=+， 3λ
∴≤．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21. A ．连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，
所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得
CE 2＝AE ·EB ，又CE =(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =
所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC
B ．2415⎡⎤
⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤
⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,
21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,
3.a b =⎧⎨=⎩，∴1
231M ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，
解法一：12
det()731
M ∴=
=--， 1
121
2777731317777M ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
. 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1
M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e f
e f +-⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦
∴31,30,20,2 1.
c d e f c d e f +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,
71.
7c d e f ⎧
=⎪⎪⎪=⎪⎨
⎪=⎪⎪
⎪=-⎩
1
12773177M -⎡⎤
⎢⎥
∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． C ．因为圆心为直线2sin(
)sin
3
3
π
π
ρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)，
又圆C 经过点6
P π，）
， ∴
圆的半径1r =，∴圆过原点， ∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．
（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）
D.由,,a b c
为正数，根据平均值不等式，得11
a b
+
，11b c +≥
，11a c +≥． 将此三式相加，
得1112()a b c ++≥
即111a b c ++≥． 由1abc =
1=
．所以，111a b c ++≥=． 22.（1）令2
n n a c n
+=
， 则11(33)46
2
2(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n n
c n n ++++++++++====+++=， 11210c a =+=≠，0n c ∴≠，13n n
c
c +∴=，
∴数列{}n c ，即2n a n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等比数列；
（2）由（1）得1
23n n a n
-+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴=
=+， 下面用数学归纳法证明当2n ≥，*n N ∈时，12241
521
n n n b b b n ++++
+<
-
+． ①当2n =时，不等式的左边341173412b b =+=+=，右边413555=-=，而73
125
<，
∴2n =时，不等式成立；
②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12241
521
k k k b b b k +++++<
-
+； 当1n k =+时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b ++++++++++++
+=++
+++-
41111
52121221k k k k <-++-
++++ 411522141
52(1)4152(1)1
k k k k =+-
++=-+<-
++
∴当1n k =+时，不等式也成立． 由①②可得，
当2n ≥，*n N ∈时，12241
521
n n n b b b n ++++
+≤
-
+． 23. （1）设(,)M x y ，则(,)N x p -，(0,)NM y p ∴=+，
(,2)NF x p =-，(,)FM x y p =-，(,2)FN x p =-，
NM NF FM FN ⋅=⋅，22()2()p y p x p y p ∴+=--，
24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； 另解：设(,)M x y ，则(,)N x p -，NM NF FM FN ⋅=⋅，()0NF MN MF ∴⋅+=，
∴以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MF MN ∴=，
y p =+ ，24x py ∴=，
即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； （2）①设0(,)Q x p -，211(,)4x A x p ，2
22(,)4x B x p ，则
切线QA 的方程2111(,)42x x
y x x p p
-
=-， 21101()42x x
p x x p p
∴--=-，22101240x x x p ∴--=， ①
同理22202240x x x p ∴--=， ② 方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，
12120,20x x x x x ≠∴+-=，1202x x x ∴+=，
即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. 方法2：由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，
1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列.
②由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，120
2
12
24x x x x x p +=⎧∴⎨⋅=-⎩， (4,)Q p --，122
12
8
4x x x x p +=-⎧∴⎨⋅=-⎩， 20AB =
，20=，
20=
，20，
4217160p p ∴-+=，1p ∴=或4p =.。