第7章 金融市场风险计量模型：VaR(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)

相对VaR（Relative VaR）
如果资产组合的平均回报率为μ，在某一置
信水平下，资产组合持有期末的最小回报率 为r*，则
RVaR E (v) v v0 v r =v - v
*
T
( E (v ) v )
T
T
v0 (1 ) v0 (1 r )
1 c
k VaR

Pr( k ),
k 1, 2,...
上式便成为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法计算 VaR的基本依据。
7.4 VaR计算的基本原理

不妨将A银行的全部资产看成1个资产组合，期初 （比如2005.1.1）该组合的盯市价值为V0，10天后 其资产 的价值如下图所示：(VaR不是以账面价值， 而是以市场价值计算来计算风险)

以上计算的是绝对VaR，若是相对VaR，容 易得到
这里我们也可以发现方差计量风险的缺点：虽然回报率方 差仅为4％，但回报率可以低到-46.5%。

若以绝对VaR来计算
AVaR v0 v v0 r

*
v0 v0 (1 r ) $100, 000, 000 (0.465) $46,500, 000
计算结果表明：在10天内，这家期初有1亿美元资产的银行， 我们可以以99％概率确信：其绝对损失不大于4650万美元，或 者说绝对损失大于4650万美元的可能性只有1％。
讨论： 持有期的选择

资产流动性（liquidity）：事前确定
原则：按金融机构无法控制损失的时间期限
一般企业的资产组合缺乏流动性，可能在若干日都 无法改变头寸，则相应的持有期就要长，以使VaR 给出的风险能够覆盖多日的“考验”。 如果金融机构能够一天一次度量风险并且改变资产 组合的构成，则其风险可以控制在1天内，故可将持 有期定为1天。
7.3 VaR的数学定义

由VaR的定义，若资产组合未来的随机损益为 ∏=⊿V，则对应于置信水平为（一般为99％或者 95％）的VaR满足如下等式
1 c Pr( VaR)
（7.1）
由于约定俗成的惯例，一般将VaR取为正值，故在（1.1）中 的VaR前面加负号。1999年，Artzner等给出严格的VaR数学 定义式
总结：VaR的优点
3、通俗性：货币表示的风险，方便公众、银行、监管机构
之间的沟通，充当信息披露工具。 起源：JP Morgan的CEO Weathstone要求每天的 《4.15 报告》只产生一个数字：计量不同交易工具， 不同部门综合后的风险。 截止到1999年，BCBS监管下的71家银行中有66家对公 众披露VaR。
1 c
VaR

，
f ( yபைடு நூலகம்dy F (VaR)
f ( y和 ) F ( y ) 分别表示资产组合随机损益的PDF和CDF
上式是解析法计算VaR的基本依据。
Pr
1-C
损失
∏
收益
VaR
约定俗成：VaR是以正数表示。
7.3.2 离散情形

式（7.2）对VaR的定义既适用于损益序列 为连续型随机变量的情形，也适用于离散 的损益分布。若资产组合的损益序列为离 散型，则VaR满足
2
T st T st 1 st 2 st T rT ln ln ln ...ln ri st st st 1 st T 1 i 1
E (rT ) E ( ri ) T
i 1 T
T
D(rT ) D( ri ) T
2 i 1
AVaRT v0 ( zc T T )
金融工程与风险管理
第7章 金融市场风险计量模型： VaR
7.1 VaR的定义
Value at Risk ，译为风险价值或在险价值， 以货币表示的风险，处在风险中的金融资 产的货币量。 定义：VaR是指在某一给定的置信水平下， 资产组合在未来特定的一段时间内可能遭 受的最大损失。 （Jorion ，1997）
•若以回报的均值为参照来定义损失，即相对损 失，则称为相对VaR。
绝对VaR（Absolute VaR）
AVaR v0 v
期初价值
0 T
T
( v0 v )
T
期末的价 值（在某 个置信水 平下）
T
v0 v0 (1 r ) v r 0
需要估计的未知量
期初的价值已知
讨论：置信水平的选择

置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常为 99%（BCBS）或95％（JP Morgan）。
理由：银行业的脆弱性，防范小概率发生的极端风险，
故要求计量的是资产组合的下方风险(Downside Risk)。 虽然这种风险发生的概率只有5％或者1％，但危害性 大。

总结：VaR的计算的是极端风险，而不是平均风 险，这与传统的方差计量风险有本质区别。
由历史数据，可以得到回报率r的均值、方 差、协方差等，即所谓的统计参数。 由参数来估计回报率r在某个置信水平下的 最小值。

7.5.1 单资产正态分布VaR

假定A银行期初的资产市值v0=$100,000,000根据 历史资料，其资产10天回报率r服从正态分布，即
r * 0.01 r ~ N (0.01, 0.04) z1c 0.2 若c 99%, 可以查正态分布表得到 z1c z1% 2.33, 所以 r 2.33 0.2 0.01 0.465

若头寸可以快速出清（liquidation）或变现，
则可以选择较短的持有期，反之亦反。
讨论： 持有期的选择

正态分布的要求
持有期越长，资产组合回报r的分布越偏离正态
分布， VaR计算中最方便的假设是回报率服从正态分 布，在较短的持有期下，基于正态分布的假设 更为合理。

头寸的调整
持有期越长，风险管理者越可能改变头寸，则
VaR inf y Pr y 1 c
（7.2）
7.3.1 连续情形

由7.2，VaR就是对应于置信水平c的损益分 布的下分位数，由于其值为负，故在（7.2） 等号右边加负号，这表明VaR计量的是资 产组合的下方风险（Downside Risk）。在 连续的情形下VaR满足
讨论：置信水平的选择

后验测试
置信水平越高，对于同样的资产组合、在给定的持有
期内，置信水平越高，则VaR越大，即资产的损失大 于VaR的可能性越小，可靠性越高！ 但是，为了验证VaR所需要的数据越多，实际中可能 受到数据量的限制。

风险资本要求
金融机构维持安全性的愿望和股东报酬率之间的权衡。
*
总结：VaR的优点
1、精确性：借助于数学和统计学工具，VaR 以定量的方式给出资产组合下方风险 （Downside Risk）的确切值。 2、综合性：
将风险来源不同、多样化的金融工具的风险纳
入到一个统一的计量框架，将整个机构的风险 集成为一个数值。 可实施集中式的风险管理系统，提高风险管理 的效率。
1 0 -1 -2
2
0
-2
-3
-4
-4 -.8 -.6 -.4 -.2 .0 R_125 .2 .4 .6 .8
讨论： 持有期的选择

数据约束
从理论上讲，VaR模型可以较为准确地计算任意持有
期下资产组合的市场风险，但事实上，鉴于长期历史 数据收集的困难，往往设置较短的持有期。 例如，若计算某资产的VaR需要1000个数据才能达到 足够的精度，若计算该资产持有期为1天的VaR，则需 要4年（每年250个交易日）的数据，而如果持有期为 10天，就需要有40年的数据 。 长时期的历史数据在实际中可能无法获得，而且距离 当前时刻过于遥远的历史数据，由于市场情形的变化 可能使早期的数据对VaR计算具有很大的干扰性。
VaR回答的问题：我们有
C的置信水平在接下来 的 T 个交易日中损失程度不会超过的金额。
VaR：金融风险的“天气预报”

例如：A银行2006年4月1日公布其持有期为 10天、置信水平为99%的VaR为1000万元。 这意味着如下3种等价的描述：
1、A银行从4月1日开始，未来10天内资产组合
的损失大于1000万元的概率小于1%； 2、以99％的概率确信：A银行从4月1日起未来 10天内的损失不超过1000万元。 3、平均而言，A银行在未来的100天内有1天损 失可能超过1000万元。（思考：一旦超过有多 少损失呢？）
v v0 (1 r )
1

由正态分布的性质则有
zc ( r ) /

则根据VaR的定义即可得到单期的AVaR为
AVaR1 v0 v v0 ( zc )
1 *
下面计算持有期为T期的VaR，资产的回报ri满足
ri ~ i.i.dN ( , )

VaR
是一种对可能实现的价值（市值）损失的 估计，而不是一种“账面”的损失估计。
VaR：金融风险的“天气预报”

假设1个基金经理希望在接下来的10天时间 内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失 不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：
Pr ob( $1,000,000) 1 95% Pr ob( VaR) 1 c
时间越短越能保证资产组合所有资产头寸不变 的假设。
Theoretical Quantile-Quantile
Theoretical Quantile-Quantile 6
4 3
4
Normal Quantile
2
Normal Quantile
-.3 -.2 -.1 .0 .1 R_10 .2 .3 .4 .5
7.2 VaR的基本参数

持有期：计算VaR的时间长度
资产组合的波动性（方差）与时间长度正相关，
故VaR随着持有期增加而增加。 VaR隐含假设：资产组合在持有期内不发生变 化，若有变化则持有期要调整。 《新资本协议》：计算监管资本的VaR持有期 至少为10个交易日，JPMorgan等金融机构内 部通常选择为1天。

缺点：VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失 的时间内（如95％置信度的5/100天中；或99％的 1/100天中）的实际损失会是多少。
7.5 VaR计算方法的解析法

解析法，又称为方差-协方差法、参数法。
借助统计学，利用历史数据拟合回报率r的统计
分布。 常见的分布有：正态分布、对数正态分布、t分 布、广义误差分布（GED）等。

监管要求
监管当局为保持金融系统的稳定需要设置较高的置信
水平，如《新资本协议》至少为99%。
讨论：置信水平的选择

统计和比较的需要
不同的机构使用不同的置信水平报告VaR数值，
需要知道其假设的分布和置信水平，若分布假 设为正态分布，则可以相互转化，不影响不同 机构之间的不同置信水平下的评价。 但是，不同分布下的VaR无法转化，如T分布。 @qtdist(0.99,4)=3.7469473879792， @qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。
持有期 T＝10天 v0 回报率r是随机变量 vT=v0(1＋r)
7.4 VaR计算的基本原理

如果在某个置信水平C（比如99％）下，第T天资 产组合的最低价值为VT*，则
v v0 (1 r )
•由VaR的定义：资产组合在未来一段时间内可能 的最大损失，有两种损失定义:
T
T
•若以绝对损失定义VaR，则称为绝对VaR。
7.5.1 单资产正态分布VaR
在持有期[0,1]（单期）内该资产的回报为r
ra2 ra3 s1 r rg ln ra (4) ra ~ N ( , 2 ) s0 2 3
则期末资产的随机价值为
v1 v0 (1 r )
定义该资产持有期为1、置信水平为c的最低价值（资产 价值的下c分位数）为
0 T
示例：相对VaR
95％置信水 平，最大损 失－2580万
平均收益为800万
V
*
V
比较：相对VaR与绝对VaR
RVaR v v
*
$8, 000, 000 ( $25,800, 000) $33, 800, 000
AVaR v $25,800, 000