2023-2024学年全国全部人教B版(2019)高中数学同步练习(含解析)

2023-2024学年全国高中数学同步练习
考试总分：45 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）
1. 如图正方体的棱长为，线段上有两个动点
、，且，则下列结论中错误的是（ ）
A.平面
B.
C.三棱锥体积为定值
D.与面积相等
2. 已知长方体中，，，分别是线段，的中点，若是在平面上的射影，点在线段上，，则 A.B.C.D.
3. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，＝，＝，侧棱＝，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（ ）
ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF =1EF //ABCD
AC ⊥BE
A −BEF △BEF △AEF ABCD −A 1
B 1
C 1
D 1AB =2BC =2A =2A 1
E
F A 1D 1CC 1E ′E BDD 1B 1F ′BB 1F //BC F ′||=E ′F ′()
215−−−√15
215−−−√10
430−−−√15
430−−−√10
ABCD AB //CD AB 3CD 1AA 14A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCD
B.
C. D.
4. 在棱长为的正方体中，为线段的中点，在平面中取一个点，连接，，则 的最小值为( )
A.B.C.D.
5. 直三棱柱的底面是以为直角的等腰直角三角形，且＝＝，在面对角线上存在一点使到和到的距离之和最小，则这个最小值是（ ）
A.
B. C. D.
6. 如图，已知棱长为的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点．满足＝，则点的轨迹长度是（ ）
A.B.C.D.3
2ABCD −A 1B 1C 1D 1E AB 1ABCD F EF FC 1|EF|+|F |C 122
–√23
–√14
−−√33
–√ABC −A 1B 1C 1C AC CC 11BC 1P P B 1P A 2
1+
4ABCD −A'B'C'D'M BB'C'C P △A'C'D PM PD P 11−−√2
14−−√2
11
−−√14
−−√
7. 已知长方体中，底面的长，宽，高，点，分别是，的中点，点在上底面中，点在上，若，则长度的最小值是（ ）
A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）
8. 已知正四棱柱的底面边长为，侧棱＝，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A.若＝，则满足条件的点有且只有一个
B.若，则点的轨迹是一段圆弧
C.若平面，则长的最小值为
D.若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为
9. 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面可能是（ ）
A.平行四边形
B.等腰梯形
C.五边形
D.六边形
ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD AB =4BC =4A =3A 1M N BC C 1D 1P A 1B 1C 1D 1Q N A 1PM =13−−√PQ −2
5–√32
5–√−265
5–√35
5–√ABCD −A 1B 1C 1D 12AA 11P A 1B 1C 1D 1PD 3P PD =3–√P PD //ACB 1DP 2
PD //ACB 1PD =3–√BDP ABCD −A 1B 1C 1D 19π4
ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2E BC F A 1D 1A E F
A.平面
B.
C.平面
D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）
三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）
11. 如图，正方体 的棱长为，，分别为线段，上的点，且，，则平面截该正方体的面所得的线段的长度为________．
12. 在如图所示的正方体中，，分别是棱和上的点，若，，则________.
13. 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，且，．则平面 截该正方体的面所得的线段的长度为________．BD //CB 1D 1
A ⊥BD
C 1A ⊥C 1CB 1
D 1
AD CB 160∘
ABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35
FC =2BF EFC 1ABB 1A 1ABCD −A 1B 1C 1D 1M N AA 1AB M ⊥MN C 1=M A 1AA 125=AN AM
ABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35
FC =2BF EFC 1ADD 1A 1
14. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，
则下列结论正确的序号是________．
①②平面平面③的最大值为④的最小值为．
15. 长方体中，，，，点是中点，点，，则长度最小值为________．
1ABCD −A 1B 1C 1D 1P B A 1D ⊥P
C 1
D 1P ⊥D 1A 1AP
A 1∠APD 190∘AP +PD 12+2–√−−−−−−√ABCD −A 1
B 1
C 1
D 1AB =1BC =2A =3A 1M BC P ∈AC 1Q ∈MD |PQ |
参考答案与试题解析
2023-2024学年全国高中数学同步练习
一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）
1.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
在中，由，得平面；在中，由平面，得；在中，由，，得三棱锥体积为定值；在中，与底都是，但高不相等，故面积不相等．
【解答】
解：在中：∵正方体的棱长为，线段上有两个动点、，∴，平面，平面，
∴平面，故正确；
在中：如图，正方体中，，，，
∴平面．
又平面，∴，故正确；在中：∵，∴，设，则平面，，∴三棱锥体积，∴三棱锥体积为定值，故正确；在中：，，∴与面积不相等，故错误．
故选：．
2.【答案】
D
A EF //BD EF //ABCD
B A
C ⊥B
D B 1D 1AC ⊥B
E C E
F =1=1S △BEF A −BEF D △BEF △AEF EF A ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF //BD BD ⊂ABCD EF ⊂ABCD EF //ABCD A B AC ⊥BD AC ⊥BB 1BD ∩B =B B 1AC ⊥B D B 1D 1BE ⊂B D B 1D 1AC ⊥BE B C EF =1=
×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112AC ∩BD =O AO ⊥BEF AO ==124+4−−−−√2–√A −BEF V =××AO =×1×=13S △BEF 132–√2–√3A −BEF C D =×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112=××1=S △AEF 123–√3–√2△BEF △AEF D D
此题暂无解析
【解答】
解：过点作，垂足为，
取的中点，连接，如图所示，
则.故选.
3.【答案】
B
【考点】
棱柱的结构特征
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
E E ⊥E ′B 1D 1E ′BB 1
F ′FF ′=E ′F ′+B 1E ′2B 1F ′2
−−
−−−−−−−−−−√=(−+B 1D 1D 1E ′)2B 1F ′2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(−×+(5–√15–√12)212)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(+(95–√10)212)2−−−−−−−−−−−−√=430−−−√10D
此题暂无解析
【解答】
解：将正方体补成如图所示长方体，
点关于平面的对称点为，连接交平面于一点.即为所求点，使得最小，其最小值为
.
连接，，
由题意可得，，
所以，，
所以是直角三角形，，
所以.
即的最小值为.
故选.
5.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
点、线、面间的距离计算
ACBCD −A 1B 1C 1D 1C 1ABCD C 2EC 2ABCD F F ||+||EF −→−FC 1−→−|E |C 2AC 2B 1C 2||=4A 1A 2|A |=||=2B 1A 2C 22–
√|A |=2C 23–√=2B 1C 25–√△AB 1C 2∠A =B 1C 290∘|E |==C 2|A +(|A |C 2|212B 1)2−−
−−−−−−−−−−−−−−
√14−−√|EF|+|F |C 114−−√C
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，根据是内（包括边界）的动点，可得点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点，利用余弦定理，求出即可．
【解答】
满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，
∵是内（包括边界）的动点，
∴点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点时，＝，，满足＝∴＝，＝∴．7.
【答案】
C
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
取的中点，则为直角三角形，即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，
【解答】
取的中点，则为直角三角形，∵，∴，
即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，
长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，
PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4ST PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4SD 32–√SM ==3+242−−−−−√2–√SD SM SD 32–√TD 22–√ST ==18+8−2×3×2×2–√2–√12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√B 1C 1O △POM P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12B 1C 1O △POM PM =13−−√OP =2P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12
又的面积．∴，∴长度的最小值是．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）8.
【答案】
A,B,D
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
由题意画出图形，求出与上底面点的最大值判断；由，求得为定值判断；找出满足平面的的轨迹，求出长的最小值判断；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断．
【解答】
如图∵正四棱柱的底面边长为，∴，又侧棱＝，∴，则与重合时＝，此时点唯一，故正确；∵，＝，则，即点的轨迹是一段圆弧，故正确；连接，，可得平面平面，则当为中点时，有最小值为，故错误；
由知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，
其半径为，面积为，故正确．9.
【答案】A,B,C
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
无
【解答】
△NO A 1S =×N ×d =612A 1d =65–√5
PQ −265–√5D A PD =3–√PD 1B PD //ACB 1P DP C D ABCD −A 1B 1C 1D 12=2B 1D 12–√AA 11D ==3B 1(2+2–√)212−−−−−−−−−−√P B 1PD 3P A PD =∈(1,3)3–√DD 11P =D 12–√P B DA 1DC 1D //A 1C 1ACB 1P A 1C 1DP =(+2–√)212−−−−−−−−−√3–√C C BDP BDD 1B 1BDP ABCD −A 1B 1C 1D 1=
12++222212−−−−−−−−−−√329π4
D
即与重合时，
取 的中点，截面为矩形；
当时，截面为平行四边形；
当时，截面为五边形；
当，即与重合时，截面为等腰梯形．
故选．
10.
【答案】
A,B,C
【考点】
异面直线及其所成的角
空间中直线与平面之间的位置关系
棱柱的结构特征
【解析】
由，得到平面；由，，得到；异面直线与角为；由，，得到平面．
【解答】
解：连接，,如图：
在选项中，∵，平面，平面，∴平面，故正确；
在选项中，∵是正方形，∴，
∵为正方体，∴，
∵，∴平面，∴，故正确；在选项中，∵是正方形，∴，
∵为正方体，∴，
∵，∴平面，
∵，∴，
同理，，∵，
∴平面，故正确；
在选项中，∵，∴是异面直线与所成角，∵是正方形，∴，
∴异面直线与角为，故错误．
故选．
三、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）
F A 1B 1C 1AEGA 10<F ≤1A 1AEGF 1<F <2A 1AEGHF F =2A 1F D 1AEGF ABC BD //B 1D 1BD //CB 1D 1AC ⊥BD C ⊥BD C 1A ⊥BD C 1AD CB 145∘A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1AC A 1C 1A BD //B 1D 1BD ⊂CB 1D 1⊂B 1D 1CB 1D 1BD //CB 1D 1A B ABCD AC ⊥BD ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥BD C 1AC ∩C =C C 1BD ⊥ACC 1A 1A ⊥BD C 1B C A 1B 1C 1D 1⊥A 1C 1B 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥C 1B 1D 1∩C =A 1C 1C 1C 1⊥B 1D 1A C A 1C 1A ⊂平面A C C 1A 1C 1A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1∩C =B 1D 1B 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1C D AD //BC ∠BCB 1AD CB 1BCC 1B 1∠BC =B 145∘AD CB 145∘D ABC
11.
【答案】
【考点】
点、线、面间的距离计算
棱柱的结构特征
【解析】
【解答】
解：连接交的延长线于点，连接交于点，
设平面与棱的交点为，连接，，
则五边形即为平面截该正方体所得的截面，
平面截该正方体的面所得的线段为．
设直线与直线的交点为，在线段上取一点，使,易证得四边形为平行四边形，，
，，由，得，所以，则，由，得，所以，于是得.故答案为：.12.【答案】61
−−√5
F C 1B B 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1
G GC 1G
H EF GH C 1EFC 1EFC 1ABB 1A 1EH GH AD J AD K DK =2AK JK G D 1K =GJ D 1=F ==C 1C +C F 2C 21−−−−−−−−−−√13−−√AE =AB ×=2565
BE =AB ×
=3595BC//B 1C 1==BI IB 1BF B 1C 113=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3EH ==A +A E 2H 2−−−−−−−−−−√61−−√561−−√525
【考点】
点、线、面间的距离计算
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为在正方体中，平面，
平面，平面，
所以.
因为，，
所以平面.
因为平面，
所以，
所以.
因为，，，所以，，所以，
所以.故答案为：.13.
【答案】
【考点】
点、线、面间的距离计算
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，连接交的延长线于点，连接交于点，设平面 与棱的交点为，连接，，
⊥C 1B 1A B A 1B 1MN ⊂A B A 1B 1⊂C 1B 1A B A 1B 1⊥MN C 1B 1M ⊥MN C 1∩M =C 1B 1C 1C 1MN ⊥M C 1B 1M ⊂B 1M C 1B 1M ⊥MN B 1∠AMN +∠M =A 1B 190∘=M A 1AA 125A =A 1A 1B 1∠M +∠M =A 1B 1A 1B 190∘=M A 1B A 125
∠M =∠AMN A 1B 1△M ∽△ANM A 1B 1==AN AM M A 1B A 12525213
−−√3
F C 1BB 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1
G GC 1GH
则五边形，即为平面截该正方体所得的截面，
平面截该正方体的面，所得的线段为线段，
由，得，，由，得，.由，得，所以，所以，由，得，所以， ．由平面平面，平面平面，平面平面，
得，
又，
所以，所以，所以，所以．所以．故答案为：
．
14.
【答案】
①②④
【考点】棱柱的结构特征
【解析】
对于①，利用线面垂直的判定定理可证面，而平面，故可判断①正确；
对于②，平面，而平面，就是平面，故平面平面，
EF GH C 1EFC 1EFC 1ADD 1A 1GH BE =AB 35AE =AB ×=2565BE =AB ×=3595FC =2BF BF =1FC =2BC//B 1C 1=BI IB 1BF B 1C 1=13=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3H =2A 1ABCD//A 1B 1C 1D 1EF ∩C 1ABCD =EF EF ∩C 1=G A 1B 1C 1D 1C 1EF//GC 1AB//D 1C 1∠FEB =∠GC 1D 1==G D 1D 1C 1BF BE 59G =D 153G =A 143GH ==+A 1H 2A 1G 2−−−−−−−−−−−√213−−√3213−−√3D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1⊥D 1A 1AB A 1B 1AB A 1B 1AP A 1P ⊥D 1A 1AP A 1
从而可判定②正确；
对于③，当时，为钝角，故可判断③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，通过解三角形可求得，可判断④正确．
【解答】
解：对于①，∵平面，平面，∴，又，，
∴面，平面，
∴，故①正确
对于②，∵平面即为平面，平面 即为平面，且平面，
∴平面平面，
∴平面平面，故②正确；
对于③，在中，由余弦定理可知，当时，为钝角，故③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为
的最小值，
在中，利用余弦定理解三角形得，故④正确．
故答案为：①②④．
15.
【答案】
【考点】
点、线、面间的距离计算
棱柱的结构特征
【解析】
以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，求出，两点的坐标，利用向量法，求出当为和的公垂线时的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．
【解答】
解：以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，∵，，，
∴，，，，，则，0<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√⊥A 1D 1DC D 1C 1D ⊂C 1DC D 1C 1⊥D A 1D 1C 1B ⊥D A 1C 1∩B =A 1D 1A 1A 1D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1D ⊥P C 1D 1P D 1A 1BC D 1A 1AP A 1AB A 1B 1⊥D 1A 1AB A 1B 1BC ⊥D 1A 1AB A 1B 1P ⊥D 1A 1AP A 1△AP D 10<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1△AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√23
–√3
A A
B AD AA 1x y z P Q PQ A
C 1M
D PQ A AB AD AA 1x y z AB =1BC =2A =3A 1A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,2,0)(1,2,3)C 1M(1,1,0)D(0,2,0)=(1,2,3)AC 1−→−=(1,−1,0)
DM −→−λ=(λ,2λ,3λ)
−→−−→−
设，则点的坐标为，，设，点的坐标为，，则，由且得：，解得：，此时．故答案为：．=λ=(λ,2λ,3λ)AP −→−AC 1−→−P (λ,2λ,3λ)λ∈[0,1]=μ=(μ,−μ,0)DQ −→−DM −→−Q (μ,2−μ,0)μ∈[0,1]=(u −λ,2−μ−2λ,−3λ)PQ −→−⊥PQ −→−AC 1−→−⊥PQ −→−DM −→−{u −λ+2(2−μ−2λ)+3(−3λ)=0u −λ−(2−μ−2λ)=0 λ=29μ=89P ==Q min (λ−μ+(2λ−2+μ+9)2)2λ2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√23–√323
–
√3。