[实用]立体几何知识点PPT文档

一、转化的思想 [例1] 如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F. 求证：BD⊥平面AEF.
[ 分 析 ] 要 证 BD⊥ 平 面 AEF ， 已 知 BD⊥AE ， 可 证 BD⊥EF 或 AF ； 由 已 知 条 件 可 知 BC⊥ 平 面 ADC ， 从 而 BC⊥AF，故关键环节就是证AF⊥平面BDC，由AF⊥DC即 可获证．
③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通 过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．
④通过添加辅助线面，将空间问题化为平面几何问题 的降维转化策略．
(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法． ①平移，沿平行线转移，沿平面的斜线转移，沿平面 转移等． ②平行投影与中心投影，特别是正投影． ③等积变换与割补． ④展开、卷起、折叠、旋转． 数学思想与方法不是孤立的，不能截然分离开来，在 数学思想指导下研究解决具体问题的方法，而研究解决问 题的方法过程中又丰富了数学思想． (4)类比的方法，类比平面几何的一些结论，可猜想立 体几何的一些结论，从而提供思维的方向．
[例4] 如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在 原正方体中的位置关系是
A．平行 B．相交且垂直 C．不相交也不平行 D．相交成60°
()
[解析] 本题是展开与折叠问题，考查空间想象能力， 如图折起后，B与D点重合，AB与CD成∠ABC＝60°，选D.
[答案] D
[例5] 已知Rt△BAC中，AB＝AC＝a，AD为斜边BC 上的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角．(如图所示)
图形
符号语言
文字语言
公理4：平行于同
一直线的两直线平
行．(平行线的传递
性)
直 线 与 直 线 平
直线与平面垂直的 性质定理：如果两 条直线垂直于同一 个平面，那么这两 条直线平行.
行 两平面平行的性质
定理：如果两个平
行平面同时和第三
个平面相交，那么
它们的交线平行.
图形
符号语言
表2 直线与平面平行
[例1] 如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F. [解析] (1)M为BC中点，△ABC为正三角形，
成三角形，并通过解三角形求角．
3．空间中的垂直关系、平行关系的判定方法归纳如下： 表1 直线与直线平行
文字语言
定义：在同一个平 面内，没有公共点 直 的两条直线平行. 线 与 直 直线与平面平行的 线 性质定理：如果一 平 条直线和一个平面 行 平行，经过这条直 线的平面和已知平 面相交，那么这条 直线和交线平行.
方法2：(反证法)设a∩b＝O，a，b确定平面α， 若c不过O点，设a∩c＝O′，b∩c＝O″， 则O′∈α，O″∈α，则c⊂α， 此与a，b，c不在同一平面矛盾，∴a，b，c交于一 点．
[点评] 证三线共点，先证两直线交于一点，再证另 一条直线也过这一点，是常规思路，而反证法也是立体几 何中经常使用的数学方法，一般步骤为：反设，作出与结 论相反的假设；归谬，由所作假设连同已知条件出发，通 过逻辑推理导出矛盾(与假设或已知条件、公理、定理矛 盾)；判断，矛盾的产生由假设错误引起，故原结论正 确．以上三步骤缺一不可．
求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
[解析] 本题是折．叠．问．题．，考察折叠前后，图形的位 置关系，
AD⊥BD AD⊥CD
⇒AD⊥平面BDC
BD∩CD＝D
AD⊂平面ABD
⇒平面
ABD⊥平面BDC.同理可证平面ACD⊥平面BDC.
[例6] 已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4， ABAB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体 的体积．
(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平
面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行．
(6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂
[解析] 本题是展开与折叠问题，考查空间想象能力，如图折起后，B与D点重合，AB与CD成∠ABC＝60°，选D.
直的性质、面面垂直的性质． [例5] 已知Rt△BAC中，AB＝AC＝a，AD为斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角．(如图所示)
文字语言
表3 两平面平行 图形
定义：如果两个 平面没有公共点， 平 那么这两个平面 面 平行. 与 平 平面与平面平行 面 的判定定理：如 平 果一个平面内有 行 两条相交直线都 平行于另一个平 面，那么这两个 平面平行.
符号语言
α∩β＝ ∅⇒α∥β
文字语言
推论：如果一个 平面内的两条相 平 交直线分别平行 面 于另一平面内的 与 两条直线，则这 平 两个平面平行. 面 平 平行于同一平面 行 的两个平面平 行．(平行平面的 传递性)
立体几何知识点
1．知识结构
(1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上． (2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面， 再证其它元素都在这个平面内． (3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面 平行的性质、两直线与同一平面垂直． (4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行 的定义．
本章所涉及的一些思想方法： ③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体，通过等体积变换，使问题变为可求的转化策略．
(7)证线面垂直：常用判定定理、定义． ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三
个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，设△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的面积分别为S1，S2，S3，S，则有______．” 定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行.
[解析] ∵AB为⊙O直径，C为⊙O上一点， ∴BC⊥AC，
DBCA⊂⊥平平面面AABBCC⇒DA⊥BC
BC⊥AC
AC∩DA＝A
⇒BACF⊂⊥平平面面DDAACC ⇒
BC⊥AF
AF⊥DC
BC∩Байду номын сангаасC＝C
⇒ABFD⊥⊂平平面面DDCCBB⇒
BD⊥AF
BD⊥AE
AF∩AE＝A
⇒BD⊥平面AEF.
图形
符号语言
表4 直线与平面垂直
文字语言
图形
定义：若一条直线
和一个平面内的任
何一条直线垂直，
直 则这条直线和这个
线 与
平面垂直.
平 直线与平面垂直的
面 判定定理：如果一
垂 条直线和一个平面
直 内的两条相交直线
都垂直，那么这条
直线垂直于这个平
面.
符号语言
文字语言
推论：如果两条平 行线中的一条垂直 于一个平面，那么 直 另一条也垂直于这 线 个平面. 与 平 平面与平面垂直的 面 性质定理：如果两 垂 个平面互相垂直， 直 那么在一个平面内 垂直于它们交线的 直线垂直于另一个 平面.
(2)深刻体会转化思想 立体几何中最重要的最常用的思想就是化归与转化思 想．
②点面距、线面距、面面距、点线距等它们之间也可 相互转化，例如求点面距时，可沿平行线平移，点面距→ 线面距→点面距；或沿平面的斜线转移，例如求A到平面α 的距离，AB与α相交于点B，P为AB中点，就可转化为求P 到平面α的距离等等．
△AMF∽△ADC，∴AAMD＝AACF，
设AB＝x，则A2M＝ 4＋1 x2，
又AM· 1＋x2＝x，解之得x＝ 2，
VE－PBC＝12VD－PBC＝12VP－BCD＝14VP－ABCD
＝14×13AB·BC·PF＝
2 6.
[点评] 等．积．变．换．问．题．，立几向平几的转．化．．． 利用直线PD与平面PBC相交，∵E为PD中点，∴E到
(1)求证：BN⊥平面AMB1； (2)求三棱锥B－AB1N的体积． [分析] 线面垂直与线线垂直转化，立几问题向平几
转化，等积变换．
[解析] (1)M为BC中点，△ABC为正三角形， ∴AM⊥BC，又侧面BCC1B1⊥底面ABC， ∴AM⊥平面BCC1B1，又BN⊂平面BCC1B1， ∴AM⊥BN，
文字语言
定义：若一条直线和一 个平面没有公共点，则 这条直线与这个平面平 直 行. 线 直线与平面平行的判定 与 定理：如果不在平面内 平 的一条直线和这个平面 面 内的一条直线平行，那 平 么这条直线与这个平面 行 平行.
两个平面平行，其中一 个平面内的直线平行于 另一个平面.
图形
符号语言
直线a与平面α 无公共点 ⇒a∥α
在正方形BCC1B1中，M，N分别为BC，CC1中点， ∴B1M⊥BN(想一想为什么？)， ∴BN⊥平面AMB1.
(2)VB－AB1N＝VA－BB1N＝VA－BCB1＝VB1－ ABC
＝13V柱＝163 3，
或VB－AB1N＝VA－BB1N＝13S△BB1N·AM＝163
3 .
二、展开与折叠、旋转
[解析] (1)设矩形ABCD对角线AC与BD交点为O，则O 为BD中点，又E为PD中点，∴EO∥PB，
PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE.
(2)作PF⊥平面ABCD，垂足为F，则F在AD上， 又∵PA＝PD，∴F为AD中点，连BF交AC于M， ∵PF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PF， 又AC⊥PB，PB∩PF＝P，∴AC⊥平面PBF， ∴AC⊥BF， ∵AD＝PA＝2，∴AF＝FD＝1，BC＝2，
在(2)正求方三形棱B台C的C1体B积1中(．8，)M证，N分面别为面BC垂，C直C1中：点，常用判定定理、定义．
PB⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴PB∥平面ACE.
(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行.
本章在第一章直观感知的基础上进行系统的理论研 究．以四个公理为基础，通过定义定理的形式，构建立体 几何的大厦．通过学习逐步形成和发展几何直观能力和空 间想象能力，以及运用几何语言、图形语言进行交流的能 力．
立体几何在中学数学中的重要地位还表现在它与平面 几何、集合、函数、方程的联系上．贯穿于立体几何中的 化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特 有的平移法、正投影法、体积法、展开法、翻折法、割补 法等都极大地丰富了中学数学的思想和方法．
[点评] 证明线面垂直可转化为证线线垂直，而要证 线线垂直又转化为证线面垂直，本题就是通过多次转化而 获得证明的，这是证垂直问题的一个基本规律，须熟悉其 转化关系．
[例2] 四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且 与底面垂直，又底面ABCD为矩形，E是PD中点．
(1)求证：PB∥平面ACE； (2)若PB⊥AC，且PA＝2，求三棱锥E－PBC的体积．
平面PBC距离等于D到平面PBC距离的一半得VE－PBC＝
1 2
VD
－PBC；利用三棱锥变换底面与高得VD－PBC＝VP－BCD；利用 三棱锥的高不变，底面积成原来的2倍，则体积也为原来
的2倍得VP－BCD＝12VP－ABCD.
[例3] 正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，M， N分别是BC，CC1的中点．
[解析] 旋转问题，以AB为轴旋转得到两个同底的圆 锥组合体易求体积为
三、反证法 [例7] 求证：不在同一平面的两两相交的三条直线必 共点． [分析] 要证三线共点，只需证其中两线相交于某一 点，然后再证明另一条直线也通过这一点，或通过反证法 得出．
[解析] 方法1：如图， ∵a，b，c两两相交； 设a，b确定平面α，b，c确定平面γ，a，c确定平面β， 且a∩b＝O， ∵O∈a，∴O∈β， ∵O∈b，∴O∈γ， ∴O∈γ∩β， ∴O∈c(公理1)， ∴a，b，c交于一点．
图形
符号语言
表5 平面与平面垂直
文字语言
图形
符号语言
定义：如果两个
平面所成的二面
角是直二面角，
平 就称这两个平面
面 与
互相垂直.
平 平面与平面垂直
面 的判定定理：如
垂 果一个平面经过
直 另一个平面的一
条垂线，那么这
两个平面互相垂
直
4.本章所涉及的一些思想方法： (1) 数 学 研 究 的 对 象 有 两 大 块 —— 数 量 关 系 和 空 间 形 式．其中“空间形式”主要是由几何研究的．立体几何是 训练逻辑推理能力和空间想像能力的好素材．在训练发展 思维能力和空间想象能力上，具有其它内容不可替代的作 用． 第一章从对空间几何体的整体观察入手，遵循从整体 到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知认识空间图 形．