2017年春季学期新版青岛版七年级数学下学期9.4、平行线的判定、有关“平行线”中的思想方法素材

有关“平行线”中的思想方法
求解有关平行线的问题时，同样应注意数学中的思想方法的运用，常见的思想方法有： 一、方程思想
例1 如图1，直线a 与直线b 互相平行，则x y -的值是（ ） A.20
B.80
C.120
D.180
分析 要求x y -的值，若能分别求出x 和y 的大小问题就容易解决了，而如图1，由直线a 与直线b 互相平行和x 和3y 是邻补角，于是利用方程即可求得.
解 因为直线a 与直线b 互相平行，所以x ＝30°， 又因为x 和3y 是邻补角，所以3y +x ＝180°，所以y ＝50°.
所以x y -＝3050-
＝20°.故应选A .
说明 求解有关平行线的问题时除了要能抓住已知条件，还要能及时地从图形中发现隐含条件.如本题的图形中的x 和3y 是邻补角.
二、转化思想
例2 如图2所示，当∠1＝∠5时，试说明直线a ，b 是否平行？为什么？
分析 虽然∠1＝∠5，但从图上看∠1与∠5却没有任何关系，为了能顺利地解决问题，不妨将已知进行适当地转化，即转化为同位角来处理，或转化为同位角来处理，或转化为同旁内角来处理，现以一种转化方法来求解.
解 平行.理由：因为∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠5（已知）， 所以∠3＝∠5（等量代换）.所以a ∥b （同位角相等，两直线平行）.
说明 有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能将问题通过适当地转化，问题便能得到顺利解决，本题中正是利用转化思想进行角之间的转化，才使问题获解.
三、构造思想
例3 如图3，若∠BED ＝∠B +∠D ，则直线AB 与CD 平行吗？为什么？
x ° 30°
3y ° a
b
图1
1
5
3 4 6 a
b
c
图2
图3
分析 从图中找出能直接判定AB ∥CD 很困难，这时可从线入手，添加一条直线，即过点E 作AB 的平行线，然后利用“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”来推证出AB ∥CD .
解 过点E 作EF ∥AB .所以∠BEF ＝∠B （两直线平行，内错角相等）， 又因为∠BED ＝∠B +∠D （已知），∠BED ＝∠BEF +∠DEF ， 所以∠B +∠D ＝∠BEF +∠DEF （等量代换），
所以∠D ＝∠DEF （等式的性质），所以EF ∥CD （内错角相等，两直线平行）， 所以AB ∥CD （平行于同一直线的两直线互相平行）.
说明 本题中已有两条直线和角的大小关系，但BE 、DE 并不是它的截线，不是“三线八角”的基本图形，因此可以添加辅助线构成“三线八角”.
四、分类思想
例4 如图4，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化.若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？
分析 若P 点在C 、D 之间运动时，只要过点P 作出l 1的平行线即可知道∠APB ＝∠PAC +∠PBD ；若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），则可以分为如图5和如图6两种情形，同样分别过点P 作出l 1或l 2的平行线，即有∠APB ＝∠PBD －∠PAC 或∠APB ＝∠PAC －∠PBD .
解 若P 点在C 、D 之间运动时，则有∠APB ＝∠PAC +∠PBD .理由是：如图4，过点P 作
PE ∥l 1，则∠APE ＝∠PAC ，又因为l 1∥l 2，所以PE ∥l 2，所以∠BPE ＝∠PBD ，所以∠APE +∠BPE
＝∠PAC +∠PBD ，即∠APB ＝∠PAC +∠PBD .
E
图6
C
D l 2 P
l 3
l 1 A
B E
图5
C
D
l 2 P l 3
l 1 A
B
图4
l 1
l C
B D
P
l 2 A
E
若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：
（1）如图5，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠BAE+∠APE，即∠APB＝∠PBD －∠PAC.
（2）如图6，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠APE+∠BPE，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
说明处理几何问题中的动点问题时，当动点没有明确所在位置，应注意分情况讨论，这样避免漏解.。