高三数学 三解函数式的化简,三角函数式的求值,三角恒等式的证明。三角形中的求值与证明知识精讲

高三数学三解函数式的化简，三角函数式的求值，三角恒等式的证明。

三角形中的求值与证明知识精讲
一. 三角函数的化简
1. 两角和与差的三角函数 cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin tan()tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβ
αβ
±=+
-±=±±=
±-；；1
2. 二倍角、半角的正弦、余弦、正切 sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan cos cos sin cos tan
cos cos cos sin sin cos 22221122212
122
12
2111122222
ααααααααααα
α
α
α
α
α
αααααα
==-=-=-=-=±+=±-=±
-+=-=
+；；；
；；
（右边的“”由
所在象限决定±α
2
）。

3. 万能公式
sin cos tan tan .
ααα
α=+=-+==-21112212
22
2
t
t t t t t
t ；（其中）；
4. 积化和差与和差化积
[]sin cos sin()sin()αβαβαβ=++-1
2
[][][]cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ=+--=++-=-+--1
21
21
2
；
；；
sin sin sin
cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin .
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
+=+--=+-+=+--=-+-222222222222
；；
；
运用以上公式作三角恒等变换时，既要会“顺用”公式，也还要会“逆用”公式及一些基本的变形使用。

化简三角函数式的类型分为有条件的化简和无条件的化简，基本要求为： （1）所含的三角函数名称或角的种类尽可能少。

（2）各项的次数尽可能低，项数尽可能少。

（3）一般使分母或根号下不含三角函数式。

（4）能求出具体数值的要求出数值。

化简三角函数式的基本方法：
（1）采用“切化弦”或“弦化切”来减少函数种类。

（2）用“配方”或“降幂”的手段逐渐降低各项的次数。

（3）用“去分母，去根号及特殊角的三角函数值向化简的目标靠近。

二. 三角函数的求值 1. 给角求值
要求熟练掌握两角和与差的三角函数的基本公式、二倍角、半角的三角函数和积互化，特别要注意逆向使用和差角公式与二倍角公式，以此将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解。

2. 给值求值
给出某角的一种三角函数值，求另外的三角函数值，常用到同角三角函数的基本关系式及其推论，有时还用到“配角”的技巧，解题的关键是找出已知条件与欲求的值之间的角。

运算及函数名称的差异，对已知式与欲求式施以适当的变形，以达到解问题的目的。

3. 给值求角
给出三角函数值求角的关键有二：
（1）求出要求角的某一三角函数值（通常以正切或余弦为目标函数）。

（2）确定所求角在（已求该角的函数值的）相应函数的哪一个单调区间上（注意已知条件和中间所求函数值的正负并用）。

4. 解决“三角函数式的求值”问题，要重点掌握的内容是 （1）两角和与差的正弦、余弦和正切； （2）二倍角、半角的正弦、余弦和正切； （3）万能公式；
（4）同角三角函数的基本关系式；
（5）常见特殊角（如1575 、）的正弦、余弦值。

其难点是：
（1）思维的逆向性（如“配角”，“数”变“式”等）。

（2）使用无理式表达的半角公式时“+”或“-”号的选取。

所以，能避开无理式的尽量避开，如半
角的正切在角的象限模糊时常用tan cos sin sin cos .==-=+αααα
α
211
（3）在给值求角时准确判断所求角所在的单调区间。

三. 三角恒等式证明
1. 三角恒等式证明基本类型
（1）无条件的三角恒等式的证明； （2）有条件的三角恒等式的证明。

2. 三角恒等式证明的基本思路
（1）化繁为简（左边右边或右边左边）；→→
（2）左右归一（对等式两边分别进行恒等变形，化到同一个式子从而说明原等式成立）； （3）等价转化（运用综合法或分析法对等式作等价的转换）。

3. 三角恒等式证明的基本方法
对于无条件的三角恒等式的证明常用分析法或综合法，关键是分析等式两边的三角函数式的特征，从角度与函数名称的关系，找出差异，寻找证明的突破口，具体说就是：（1）变角；（2）变函数名称；（3）变结构特征，消去差异。

对于有条件的三角恒等式的证明常用方法有代入法、消去法，还有综合法与分析法，关键是观察和分析已知条件和欲证的等式中左右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件。

所谓代入法就是：将条件代入结论的一边证明等于另一边；或将条件分别代入欲证式的两边证明其相等；这样就把有条件的证明转化为无条件的证明，也可以将条件或结论变形后再代入。

消去法就是：当已知条件中含有某些参数，通过消去参数达到证明的目的的方法。

综合法：从条件出发推导出要证明的等式。

分析法：从结论出发，寻找结论成立的充分条件。

四. 三角形中的求值与证明 1. 三角形的三内角和定理 在∆ABC A B C 中++=,π A B C 2222++=π. 2. 正弦定理
若a b c ABC R ABC 、、分别为的对边，为∆∆的外接圆半径，则a A b B c
C
R sin sin sin .===2 3. 余弦定理
若a b c ABC A B C 、、分别为的角、、的对边，则∆
c a b ab C b c a ac B a b c bc A 222222222222=+-=+-=+-cos cos cos ；；； 特别地当C =90 时，有
a b c 222+=. 4. 射影定理
若a b c ABC A B C 、、分别为的角、、的对边，则∆ a B b A c c A a C b b C c B a cos cos cos cos cos cos .+=+=+=；
； 5. 三角形面积公式
若a b c ABC A B C h a p a 、、分别为的角、、的对边，为边上的高，∆为三角形的周长之半，s 为三角形的
面积，则
S ah ab C abc
R
p p a p b p c a ∆=
==
=---121
24sin ()()()
例1. （1997·全国）
sin cos sin cos sin sin 71587158
+-的值是___________________。

［解析］要求非特殊角的三角函数值，必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特殊角的三角函数，利用1587 -=这一特点，采用积化和差与和差化积公式求解本题。

原式=+-+-=++sin (sin sin )
cos (cos cos )
sin sin cos cos 71
2237712
237237237 322
324131333133
1304513045)3045(158cos 15cos 28cos 15sin 2-=-=
+-=+
-
=
+-=
-==⋅⋅=
tg tg tg tg tg tg
例2. （1997·某某）已知tan
sin()α
απ
2126
=
+，求的值。

［解析］因为sin()sin cos tan απααα+=+=6321221
2。

而已知条件是。

所以可由万能公式直接求解。

另外也可由半角公式tan cos cos cos sin α
α
α
αα2
11=±
-+先求出，再求出而得解。

解法1： tan
sin()sin cos (tan )
.α
απααα
21263212322112112
433
10222=
∴+=+=⋅++⋅-+==
+，t t t t t 解法2：
tan
cos cos ,cos ,
α
ααα212011123
5
=
>∴-+==，得
又sin (cos )tan ,
sin()ααααπ=+⋅=∴+=⨯+⨯=
+124
5
632451235433
10
说明：给条件求值一定要注意条件与所求式子的关系，一方面转化条件，另一方面则是转化所求式子，使条件与所求式能产生直接联系，这样便可顺利求出值来。

例3. 在∆ABC A B C a b c a b c A B C
中，、、的对边分别是、、，求证22
2
-=
-sin()
sin .
解法一：由正弦定理有
a b c R A B R C A B A B C A B A B A B A B C
A B A B C C A B C
A B C 2222222222
2
244222222-=-=
+-=+-⋅+-=+-=--=
-(sin sin )
sin (sin sin )(sin sin )sin sin cos cos sin
sin sin()sin()sin sin()sin()sin sin()sin π故原式成立。

解法二：由余弦定理有： a b c bc A a b c c bc A
c c bc A
c
2
2
2
22
2
22
222-=--=
-=
-cos cos cos ，则
由正弦定理，得：
[][]c bc A c C B A
C
C B A B A C
C C A B C A B C
a b c A B C -=-=
-⋅
++-=---=
-∴-=
-2221
2
222
cos sin sin sin sin sin sin()sin()sin sin sin sin()sin sin()sin sin()sin 故原式成立
说明：有关三角形中的求值与证明，一定注意三角形的有关性质如正、余弦定理，内角和定理等的运用。

例1. 求证sin sin cos cos cos cos .2222122212
αβαβαβ+-= ［解析］由于右边为常数
1
2
22，故左边的角，，，αβαβ的三角函数应该合并掉，那么，化同类项就
成为必经之路，可采用升幂、降幂或配方等措施。

证法1：
左边=+---sin sin cos cos (cos sin )(cos sin )222222221
2
αβαβααββ
=+++=++==∴1
21
21
2
222222222222(sin sin cos cos cos sin sin cos )(sin cos )(sin cos )
αβαβαβαβααββ右边，原等式成立。

证法2：
左边=(cos )(cos )(cos )(cos )cos cos 121241212412
22--+++-αβαβαβ
=--+++++-
122224122224222
cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos αβαβαβαβαβ
==∴1
2
右边，原等式成立。

证法3：
左边=+--（）sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβ221
2
22
=---=+--
-==∴cos ()cos()
cos()cos()
21
2
221222222
1
2
αβαβαβαβ右边，原等式成立。

说明：以上几种方法是证明三角恒等式的常见方法，必须熟练运用，三角恒等式的证明与化简的总原则是“由繁就简”“去异求同”，证明过程中需“边走边看”时刻观注目标。

例2. 已知αβααββ、均为锐角，、（），求的值。

tg =+=-4311
14
cos cos 解： αααααβ为锐角，，，而tg =∴==+=-431743711
14cos sin cos()
∴+=
sin()αβ53
14
[]∴=+-=+-+==
cos cos ()cos()cos sin()
sin βαβααβααβα (1)
2
说明：进行三角函数式的求值，要特别注意角的X 围，以决定函数值的符号，而上面这题更需“灵活”“拼角”，如：βαβα=+-()
例3. 求证：2111(cos sin )sin cos cos sin sin cos θθθθθθθ
θ
-++=+-
+ 分析：左边用万能公式，右边用正切的半角公式进行恒等变形 证明：设t tg
=θ
2
，由万能公式可得：
左边，由半角公式：=-+-
++++
-+=--+21121121111212
2222
22(
)t t t
t t t t t t t t
右边=-+--+=--=-+-=-+-=
--+sin()
cos()
sin cos ()π
θπθθθπθθπθπθθ212
1422
42142
2111212tg tg
tg tg
tg tg
tg t t t t t t
证明：当式中三角函数间的关系不太明显，或式中含三角函数种类较多，关系较复杂时，可考虑用
万能公式统一成“tg a
2
”的关系。

例4. 若αβπαβαβ、（，），，，求的值。

∈=-=-+0750
1
32cos tan
［解析］由已知不难求出tan tan αβ与的值，2这就可求出tan()αβ+2的值，所以要求
αβαβ++22的值，关键是准确判断的范围。

cos sin tan tan ,
tan tan tan tan()tan tan tan tan ()()
ααπααββββ
αβαβαβ
=-∈∴==-
=-∴=-=-∴+=+-⋅=
--
---=-7
500150
1
71
3
2213
42212173411734
1
2且（，），
，又，
απαπ
απβπββπ
πβππβπ
βπαβπππππαβπ∈=-<∴<<∈=-<∴∈∴∈=-<∴<<∴+∈-∴+=
（，），，，
（，），，，，而在（，）上正切值等于的角只有，0170201302
22234032
2222323111
4
2114
tan tan (),(,),
tan ,
(,).
说明：本题若由αβπαβπ,(,)(,)∈+∈0203得将会得出三个答案：347411
4
πππ，和 。

原因是由于扩
大了角“αβ+2”的X 围而导致增加了两个解。

所以在确定角的X 围时，既要注意已知条件，还要考虑到所得出的三角函数值的符号。

例5.在∆ABC A B C a b c 中，已知成等差数列求证：也成等差数列。

cot ,cot ,cot ,,,222
［证明］ cot ,cot ,cot A B C 成等差数列 ∴=+⋅=+22cot cot cot cos sin cos sin cos sin ,
B A C
B B A A
C C
即 ∴=+⋅
⋅=⋅⋅+⋅⋅∴=+=+222222222cos sin sin cos sin sin cos sin sin ,cos cos cos ,cos cos cos (cos cos ).
B A
C A B C C A B B a R c R A b R c R C a R b R
ac B bc A ab C b c A a C 由正弦定理，得
由射影定理，得 2222
2
2
2
2
2
2
222ac B b b b a c b b b a c a b c cos ,,.,,=⋅=+-=∴=+由余弦定理，得
故成等差数列。

说明：解决三角形中的有关解时，要从“统一”着手，或统一成角的关系，或统一成边的关系，同时常把正弦定理、余弦定理、射影定理综合起来使用较为方便。

1. 已知F （）θθθαθβ=++++cos cos ()cos ()222，问是否存在满足0≤≤≤αβπ的αβθθαβ,使（）的值不随的变化而变化，如果存在，则求出、的值，F 如果不存在则说明理由。

2. 已知A 、B 、C 是∆ABC y A A
A B C 的三个内角且=++-cot sin cos cos()2，若任意交换y 的表达式中
两个角的位置，y 的值是否会有所变化？请说明理由，并判断y 是否恒为定值？若不是，则求y 的取值X 围。

3. 求函数f x x x x x ()cos sin sin cos =+-533422 ()ππ4724
≤≤x x 的最小值，并求取得最小值时的集合。

4. 已知复数z i z 12=+sin cos ,αα=-+sin cos ββi 且求z z i z z 1212453
5
-=-⋅.的模与辐角主值。

5. 求证：（其中）n N ∈+ 12141
22sin sin sin cot cot .x x x
x x n
n +++=-… 6. 在∆ABC C A A B C a b c b c a b
中，若，且、、的对边分别是、、，求证。

=<-<232
7. 已知圆的半径为，在其内接中有（）成立O R ABC R A C a b b ∆2222sin sin ()sin -=-,求∆ABC S 的面积的最大值。

8. 已知∆∆ABC a b c A B b a ABC 的三边、、且：：，试判断的形状。

cos cos =
[参考答案]
1.
F F ()cos cos()cos()
(cos cos )cos (sin sin )sin cos cos ,
sin sin ,cos()cos(),sin()cos()cos(θθθαθβαβθαβθθθαβαβαβαβαβαβα=
+++++++=+++-+++=+=⎧⎨
⎩
++-=+-=⎧⎨
⎩-12212221222
321212221
2
22212202201201021所以，要（）的值与无关，必须且只须成立即（）（）
由（）知βαβαβπαβπαβαβπαβπαβαβαβπαββπαπ
απβπ
θθ),sin(),,.
cos()sin()cos(),≠+=≤≤≤∴≤+≤+=+===.±=∴+=+=-==
===020002020110112
233
323
所以由（）知要若或，则必有或这时，（）式不能成立，
当时，只有，代入（）得只要，，即符合要求。

所以，存在，使（）的值与无关。

F
2.
y A A
B C B C A B C B C
A B C y A B C y y =+
-++-=+
+=++cot sin cos()cos()cot sin()
sin sin cot cot cot .
222因为是关于、、的轮换式，所以任意交换两角，值都不变。

但不是定值。

[
)
120211
422
22
1222
2222322332
2
+≥+-=>∴≥+
+=+
=
-+=+≥+∞
cos cos cos()sin sin ,
cot sin cos tan sin
cos cos tan
tan
tan cot tan .A A B C B C y A A A A
A A A A
A A A A y 即的取值范围为
3. f x x x x ()(cos sin )sin =+-352222 []=++-=+-31212223323222(cos )sin cos sin x x x x
=+-=++
≤≤∴≤+≤3343
233426
47
24232634
sin(
)
cos(),
,.π
π
π
ππππx x x x
由[]0，上余弦函数为减函数，π
所以，当时，最小。

cos cos()cos ,
()232634
2634πππ
ππ
≥+≥∴+=x x f x
此时，x f x ==-724
3322π
().min
4. z z i i 124535
-=++-=
-(sin sin )(cos cos ).αβαβ 由复数相等可知：
sin sin cos cos (sin cos )(sin cos )cos()sin(),
sin cos sin sin ,tan cos(),
sin(),
αβαβααββαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=-=-⎧
⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪⋅=+-+=--+-+-=-+-=-÷-=-=-=∴45135212224
5322223
54432347
25
24
2512（）（）又由（）得，（）
由（）得（）（）（）得，由万能公式得z z i i i z 12121272524
25
1
24
7⋅=-+∴⋅=⋅=-z i z z z z ，arg()arctan .
π
5.
1
2222212sin (cos )cos sin k
k k k
x
x x
x
=
--
=-∴
=-=-=--cot cot ,
sin cot cot ,sin cot cot ,sin cot cot ,221
221
4241
24213
3k k x x x x x x x x x x x ……
1
2221sin cot cot .n n n x
x x =-- 上面几个式子两边相加得原等式成立。

（本题还可用数学归纳法证明）
6. A B C C A B A 、、为三角形的内角且，=∴
=-22232π, cos
sin sin sin .sin sin sin cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin sin ,
.sin sin ,sin ,B A A A c a b C A B A C C A B
B A B B A A A A A
C A A A A A 2323242
22222222223242
1342
0303026
02612042
13322==--=-=+-==-=-<+=<∴<<<<<<=<<由正弦定理有
，
， ππππ ∴<-<<-<<-<∴<-<23423131342
12131232
22
sin sin ,,A ，即成立。

A c a b b c a b
7. 由2222R A C a b B (sin sin )()sin -=- ⇒-=⋅--=⋅-⇒-=-=-⇒+-=⇒=+-=⇒=()(sin sin )sin ()
sin sin sin ()
()cos 222222222222
2224
22222222
222222R A C R B a b R A R C R B a b a c b a b ab b a b c ab C a b c ab C 即（）（）π
[][]⇒==⋅==⋅⋅=-+--=----S ab C ab ab R A R B R A B A B R C A B 1212424
242222
2222sin sin sin sin cos()cos()cos cos()π
=
+-⎡⎣⎢⎢⎤⎦
⎥⎥22222R A B cos() 故当cos()A B A B -=⇒-=10 ⇒==+=+A B ABC S R R 时，的面积有最大值且∆max ().2222121222
8. 由题意已知：cos cos ,A B b a ：：=
由正弦定理可知：或，即或。

故三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。

cos cos sin sin sin cos sin cos sin sin A B B A
A A
B B A B A B A B A B A B AB
C =⇔=⇔=∴==-=+=2222222
ππ。