第二章非线性方程的解法

第三节 迭代法的一般知识
一、迭代法的基本思想及几何意义
迭代法的基本思想
设法将方程 f(x)=0 化为 x=g(x) 然后按该式构造迭代公式 Xk=g(xk-1) ，k=1 , 2 , … 若该迭代公式收敛, 则从给定的初始近似根 X0 出发,依次确定出 X0 , X1 , X2 , … , Xk 直到 |Xk–Xk-1|<ε 时,取 Xk作为方程f(x)=0的近似根。这种求根法 就称为迭代法，或称逐次逼近法。 我们称 X0 , X1 , X2 , … , Xk 为迭代序列，而称X=g(x)式中的g(x)为迭代函数。称 Xk=g(xk-1) ，k=1 , 2 , … 为迭代公式或迭代格式。当由该式产生的迭代序列收敛时，就 称迭代法或该迭代公式是收敛的，否则就称为是发散的。
二分法具体计算过程
第一次二分,取初始近似根x0=(a+b)/2,将区间(a,b)分为两个长 度相等的子区间(a,x0)和(x0,b) ，计算f(a)与f(x0 )，若f(a)f(x0)<0 则根x*∈(a,x0),令a1=a,b1=x0；否则，令a1= x0,b1=b。从而得到新的 有根区间(a1 , b1 ), 其长度为区间（a,b）长度的一半。 第二次二分，对有根区间(a1 , b1 ) 施行同样的手续，即取中点 x1=(a1+ b1)/2 ，再将(a1 , b1 )分为两个子区间(a1,x1)和(x1, b1)，计算 f(a1)与f(x1 )，若f(a1)f(x1)<0则x*∈(a1,x1),令a2= a1,b2=x1；否则令 a2= x1 ,b2= b1 。这样又确定了一个有根区间(a2 , b2 ) ，其长度是区 间(a1 , b1 )长度的一半。 如此反复二分 k 次(k的值由预先给定的精度决定) , 便得到一 系列有根区间： (a, b) ⊇ (a1, b1) ⊇ (a2, b2) ⊇ … ⊇ (ak, bk)。 最后，取 xk=(ak+bk)/2 作为方程 f(x)=0 根 x* 的近似值。
A0(x0,g(x0))
A1′ (g(x0),g(x0))
0
x0
x1
x2 …
x*
x
二、迭代法的收敛条件及误差估计式
一般说来，一个方程的迭代公式并不是唯一的，且迭代也不 总是收敛的。如例3的方程 f(x)=x-10x+2=0 也可改写成 x=10x – 2 得迭代公式 Xk=10xk-1 – 2 仍取 x0=1 算得 8-2≈108, X =10108 -2 , … X1 =10-2=8, X2=10 3 其迭代值越来越大, 不可能趋向于某个极限,因此迭代是发散的。 所以，我们需要讨论什么样的迭代函数才收敛，即迭代法的收 敛条件是什么。 迭代法的收敛性解决以后,我们还需讨论迭代法的误差情况, 以确定近似值达到预先给定的精度所需的迭代次数、估计所求 得的近似值与准确值之间的误差。
二分法求方程f(x)=0近似根的例子 近似根的例子 二分法求方程
例2 求方程 f(x)=x3-x-1=0 在区间(1, 1.5）内的根，要求用四位小数计 算，精确到10-2 (即误差不能超过小数点后第二位小数的半个单位)。 解 这里 a=1, b=1.5, ε=0.5×10-2, 我们先估计所要二分的次数， 按 | x*–xk | ≤ (b-a)/2k+1 K 应满足 (b-a)/2k+1 ≤ ε ( 即 (1.5-1)/2k+1≤ 0.5×10-2 ) 求得 k+1=7，即只要二分七次便可达到所要求的精度。计算过程如下： K值
方程的初始近似根逐步精确化的方法
用逐步扫描法得到方程 f(x)=0 的某个初始近似根后，就可以通过某种过程使之逐 步精确化。常用的方程初始近似根逐步精确化的方 法(数值解法)有： (1) 二分法(对分法） (2) 迭代法 (3) 牛顿迭代法 (4) 弦截法 (5) 埃特金迭代法等。
第二节 二分法
x k值
x0=1.25 x1=1.375 x2=1.3125 x3=1.3438 x4=1.3281 x5=1.3203 x6=1.3242
0 1 2 3 4 5 6
函数值 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.3125)<0 f(1.3438)>0 f(1.3281)>0 f(1.3203)<0 f(1.3242)<0
迭代法求方程f(x)=0近似根的例子
例3 求方程f(x)=x-10x+2=0的一个根。 解 因为 f(0)=1>0, f(1)=-7<0 , 所以此方程在(0,1)中 必有一实根，现将原方程改写成等价形式 x=㏒10(x+2) ㏒ 由此得迭代公式 xk=㏒10(xk-1+2) ㏒ 取初始值x0=1，可逐次算得 x1=0.4771, x2=0.3939, … , x6=0.3758, x7= 0.3758 因为x6和x7已趋于一致(也就是说明该迭代公式收敛，并 迭代公式收敛， 且|Xk–Xk-1|<ε) , 所以取x7=0.3758作为原方程在(0,1)内的 一个根的近似值。
设函数在 [a, b] 上单调连续，且 f(a)f(b)<0 根据连续函数的性质，方程 f(x)=0 在区间(a,b)内有且仅有一个实根x* 。
二分法的基本思想
• 将含方程根的区间均分为两个小区 间，然后判断根在哪个小区间，舍去无 根的区间, 而把有根的区间再一分为二， 再判断根属于哪个更小的区间，如此周 而复始，直到求出满足精度要求的近似 根。
迭代法的收敛条件及误差估计定理
设方程 x=g(x) 在 (a,b) 内有根x*，如果 (1) 当x∈[a,b] ∈[a,b]时，g(x)∈[a,b] ∈[a,b] ∈ (2) g(x)可微,且存在正数q<1,使得对任意x∈[a,b] ∈[a,b] 都有 |g´(x)|≤q<1 ´ ≤ 则x=g(x)在(a,b)内有唯一的根；且迭代公式 xk=g(xk-1) 对(a,b)内任意初始近似根x0均收敛于方程的根x*；还有 误差估计式 |x*- xk| ≤| k-xk-1|q/ 1-q)≤| 1-x0|qk/(1-q) ≤|x |q/(1 ≤| ≤|x 1
迭代法的几何意义
把方程f(x)=0求根的问题改写成x=g(x),实际上是把求根问题 转化为求两条曲线y=x和y=g(x)的交点A*,其A*的横坐标就是方程 f(x)=0的根(如下图)。 y=x y y=g(x) A2(x2,g(x2)) A*(x*,g(x*)) A1(x1,g(x1))
A2 ′(g(x1),g(x1))
二分法误差分析
设a0=a,b0=b, 经过k次二分后显然有 bk–ak =(b-a)/2k , ( k=0,1,2,… ) 而 |x*–xk|≤(bk–ak )/2=(b-a)/2k+1 (Xk为第k+1次二分所得的近似值) 所以 | x*–xk | ≤ (b-a)/2k+1 这就说明，经过k+1次二分后， 近似值xk与准确值x*的误差 不会超过 (b-a)/2k+1 。 假定我们要求用二分法求出的近似值xk与准确值x*的误差不 能超过ε ，也就是说， | x*–xk | ≤ ε，那么我们如何确定二分的次 数呢？ 要求|x*–xk|≤ε, 而|x*–xk|≤(b-a)/2k+1,若(b-a)/2k+1≤ε,则|x*–xk|≤ε。 于是我们可以利用(b-a)/2k+1 ≤ ε来确定需要二分的次数。 由于要求|x*–xk|≤ε, 而|x*–xk|≤(bk–ak)/2,所以在实际中也可用 (bk–ak)/2≤ε(也就是|bk+1–ak+1|≤ε)来控制需要二分的次数。
二分法的计算机实现
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二分法是计算机上一种常用的算法, 它具有简单 和易操作的优点。 注意到每个小区间左端点的函数 值f(ak)都与f(a)同号,因此f(xk)只需与f(a)比较符号 (不 需与f(ak)比较符号。这样就避免了每次确定有根区间 时需要计算f(ak)的麻烦, 从而减少了计算量 )即可, 故 二分法的计算步骤如下： (1) 输入有根区间的端点a,b及预先给定的精度ε, y=f(a)。 (2) x=(a+b)/2。 (3) 若f(x)==0, 则输出方程的根x, 结束;若yf(x)<0, 则b=x, 否则a=x。 (4) 若b-a<ε, 则输出方程满足精度的根x, 结束; 否则转向(2)。
有根区间 (1, 1.5） （1.25,1.5） (1.25,1.375) (1.3125,1.375) (1.3125 , 1.3438) (1.3125 , 1.3281) (1.3203 , 1.3281) (1.3242 , 1.3281)
故原方程在区间(1,1.5)内的根x*≈ x6 ≈ 1.3242 ≈ 1.32。
求一元非线性方程根的三个步骤
• （1）判断根的存在性。方程有没有根？如果 有根，有几个根？ • （2）确定根的初始近似值（称之为初始近似 根）。 • （3）根的精确化。根据根的初始近似值按某 种方法逐步精确化，直至满足预先要求的精度 为止。
一元非线性方程根初始近似值的求法
设f(x)在区间[a,b]上 连续,且f(a)f(b)<0。 根据 连续函数的性质知f(x)=0在 ( a,b ห้องสมุดไป่ตู้内至少有一个实根。 若再设f(x)在[a,b]上单调, 那么f(x)=0在(a,b)上有且仅 一个实根(如右图)。根据这 个道理, 我们可以采用下面 介绍的逐步扫描法求根的初 始近似值。 y
逐步扫描法确定方程初始近似根的计算步骤
• (1) x0= a ; • (2) 若 f(x0)f(x0+h)<0, 则x*必在(x0, x0+h) 中，故取x0或x0+h作为初始近似根,否则转(3); • （3）x0=a+h, 转(2)。
逐步扫描法确定方程初始近似根的例子
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例1 考虑方程 f(x)=x3-x-1=0 由于 f(0)<0, f(∞)>0,故方程至少有一正实根。 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右计算,将各个点上的函数 值的符号列于下表。因为 f(1)<0, f(1.5)>0, 又f(x)在区间(1,1.5) 上单调连续, 可知在区间 (1, 1.5) 内有且仅有一个实根, 故可取 x0=1.0或x0=1.5作为初始近似根。 x f(x) 0 – 0.5 – 1 – 1.5 +
迭代法的收敛性判别
• 有两种方法 • （1）利用迭代法的几何意义 利用迭代法的几何意义 如P26图2-1, 如果点列{Ak }趋向于点A,则迭代序 列收敛到所求的根x*，亦即迭代法收敛, 见图 2-1(a) 和(b)；否则迭代法发散, 见图2-1 (c)和(d)。 • （2）利用定理 利用定理 • 利用迭代法的几何意义进行判断 , 不仅要画图 (麻烦),而且也很不准确,通常利用下面的定理来进行 判断。
第二章 非线性方程的数值解法
第一节 引言
• 在科学技术和生产实践中，我们经常会遇到求 解高次代数方程或超越方程的问题。例如高次代数 方程 X5-3X+7=0 或超越方程 e-x-cos(лx/3)=0 这些方程看似简单，但却不易求其准确根。而在实 际问题中，只要能获得满足一定精确度的近似根就 可以了，所以研究适用于实际计算的求方程近似根 的数值方法，具有重要的现实意义。 • 方程的形式很多，我们主要讨论一元非线性方程， 也即 f(x)=0 其中f(x)为非线性函数，若有数x*使f(x*)=0,成立，则 称x*为方程f(x)=0的根。或称x*为函数f(x)的零点。
f(x) a x* b x
求根初始近似值的逐步扫描法 方程 f(x)=0的根的分布可能很复杂,一般我们可用试探的办法 或根据函数的图象,确定出根的分布范围,即将函数f(x)的定义域分 成若干个只含一个实根的区间。于是，我们总可以假设在某个区 间内有且仅有一个单实根x*(如上图)。 若数值b–a较小, 那么我们可在(a,b)上任取一点作为方程的初 始近似根。 一般若有根区间(a,b)为已知,我们可从左端x0=a出发,按某个预 选的步长h一步一步地向右跨,每跨一步进行一次根的 “扫描” ， 即 检查每一步的起点x0和终点x0+h的函数值是否异号,如果发现 f(x0) 与f(x0+h)异号,即f(x0)f(x0+h)<0,那么所求的根x*必在区间(x0, x0+h) 中, 这时可取x0或x0+h作为初始近似根。