2020年级-量子力学试卷及答案B

2020级学年第1学期考试试题及答案 （B ）卷
课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟
一、填空题（20分）
1、(2分)微观粒子的波粒二象性是指 。

2、(2分)电子被200V 的电压加速，则电子的德布罗意波长为 。

(电子的质量为kg 31101.9-⨯，电子的电量为1910602.1-⨯库仑)
3、(4分)自由粒子平面波函数为()x p i
ce
x 0
=ψ的动量不确定度
=∆p ，坐标的不确定度=∆x 。

4、(4分)设在球坐标中，粒子波函数为(),,nlm r ψθφ，则在球壳(r,r+dr)中找到粒子的概率为 ；在()ϕθ,方向的立体角
Ωd 中找到粒子的概率为 。

5、(2分)设算符dx
d
ie A ix
-=，算符ix e B =，则[]B A ,= 。

6、(3分) 波函数的标准条件为： 、 、 ；
7、（3分）设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E 1和E 2，相应的本征矢量为1n 和2n 。

则在能量表象中，体系哈密顿量的矩阵表示是 。

二、简答题(10分)
1、(5分)简述力学量和算符之间关系的一般假定。

2、(5分)简述波函数的物理意义。

三、证明题(15分)
1、(7分)证明：若算符F 和算符G 有一组共同的本征函数φ,，且φ,组
成完全系，则算符F 和G 对易。

2、(8分)证明：()()ϕθϕθψ33sin ,,i e r f r =为2ˆL 和z
L ˆ的共同的本征函数，并求出相应的征值，说明当体系处于此状态时，x
L ˆ和y L ˆ没有确定值。

已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L
四、计算 (55分)
1、（10分）一粒子在一维方势阱()⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
〈〈〈〈-〉〈∞=a x a a x U a x x x U 2
,020,,0,0中运动，如图所
示。

把U(x)=-U 0当作对无限深势阱中运动粒子的微扰，计算在一级近似下粒子的基态能量。

2、(15分)一维无限深方势阱中的粒子，设初始时刻(t=0)处于
()()()[]2/0,21x x x ψψψ+=，()x 1ψ和()x 2ψ分别为基态和第一激发态，求(a) ()()()()x x t x t x ψψωψ*
=,,,；(b)能量平均值E ；(c)能量平
方平均值2E 。

3、（15分）设已知在z L L ˆˆ2和的共同表象中，算符x
L ˆ的矩阵为 ⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=010******** x L
求它的本征值和归一化的本征函数。

4、（15分）粒子在半壁无限深势阱()()⎪⎩⎪
⎨⎧>><<<∞=a x U a x x x U 0000
中运动，求
粒子束缚态能量（0<E<U 0）所满足的方程。

《量子力学》试卷B 答案及评分标准
一、填空（共20分）
1、粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运动的性质就是微观
粒子的波粒二象性。

（2分) 2、0.870
A (2分) 3、0，∞ (4分)
4、()2
2nl R r r dr ；()2
,lm Y d θφΩ (4分)
5、ix e 2（2分）
6、有限性、连续性、单值性（3分）
7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E （3分）
二、简答题（共10分） 1、（5分）
答：力学量F 由算符F 表示，当微观体系处于算符F 的本征函数u n (x)所描述的状态时，力学量F 有唯一确定值，该值为算符F 的第n 个本征值λn ；当体系处于一般任意态ψ时，对力学量F 进行测量，只能得到一系列的可能值，这些值位于算符F 的本征值值谱中，力学量F 的值为第n 个本征值的概率恰好是展开式()∑=n
n n x u a ψ中第n 个展开系数a n 模的平方。

2、（5分）
答：量子力学中用一个复数函数即波函数来描述微观粒子的运动状态，波
函数为空间坐标和时间的函数，即()t z y x ,,,ψ，波函数模的平方表示了在某一时刻t 粒子在空间某一点(x,y,z)处出现的概率。

三、证明题（15分）
1、（7分）证明：设λn 和μn 分别为 算符F 和G 的本征值，则
n
n n n n n G F φμφφλφ==ˆ,ˆ 将算符G 和算符F 分别作用在上述两式上，并相减：
()0ˆˆˆˆ=-n
F G G F φ
设ψ为任意波函数，则n n
n a φψ∑=
()()0ˆˆˆˆˆˆˆˆ=-=-∑n
n
n F G G F a F G G F φ
ψ
因ψ为任意波函数，故()
0ˆˆˆˆ=-F G G F
，即算符F 和算符G 对易。

2、（8分）证明：
()
()ψ
θθθθθθθψϕϕ23323222129sin sin 1cos sin 3sin sin 1ˆ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+⋅∂∂-=i i e e r f L 2212 =∴L
ψψϕψ 3ˆ2
2
2
=∂∂-=z
L 3=∴z L
z
y x L L L ˆ,ˆ,ˆ 三者之间相互不对易，因此三者没有共同的本征函数，当z L ˆ有
确定值时，y
x L L ˆ,ˆ没有确定值。

四、计算题（55分） 1、（10分）
解：在无限深方势阱中运动粒子的波函数和 能量本征值分别为
() 2,1,sin 2,22
2
22===n x a
n a x ma
n E n n πψπ（2
在微扰－U 0下，基态能量的一级修正值为
()
2
sin 20
2
2
011
11
U dx a
x
a
U H E a
-
=-='=⎰
π （4分） 因此，在一级近似下，粒子的基态能量为220
2
221U ma E -=π （4分）
2、（15分）
解：(a)()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=--t E i
t E i e x e x t x 212121, ψψψ ()()()
()⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧-++=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==--*t E E e e e e t x t x t x t E i
t E i
t E i
t E i
2121222121211cos 22121,,,2121 ψψψψψψψψψψω （5分） (b)()2122
212
12
1
E E E C E C E +=
+= （5分） (c)()
221
12
22
2212
122
1E E E C E C E +=
+= （5分）
3、（15分）
解：设x L ˆ的本征值为αλ22 =
，本征波函数为⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=c b a ψ于是，本征方程为λψψ=x L
即 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a c b a α2201010101022
或
01
01101=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---c b a ααα
（
3分）
久期方程行列式为零
⎪⎩⎪
⎨⎧-===⇒=+-⇒=---2
020201
110
13213αααααααα （3分）
当 21=
α 有
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧==⇒=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---22021012
1012b c b a c b a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=21121b ψ 1211212112
11*=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⋅⎪⎭⎫
⎝⎛⇒=+b b ψψ 2
12
1*=
=
b b b
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=12121121212
1ψ
对应的本征值
==112
αλ （3分） 当 02=α，有：
⎩⎨
⎧-==⇒=⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a c b c b a 00010101010 12101)1,0,1(101**
222==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=+a a a a a ψψψ
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=∴=
101212
12ψa
对应的本征值02
22==αλ （3分）
当23-=α，有： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=-=⇒=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛2
2
021
0121
01
2b c b a c b a ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=12123b ψ
2
11
2121)1,2,1(21**3=
∴==⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=+
b b b b b ψψ
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=∴121213ψ
对应的本征值为 -==
332
αλ （3分）
4、（15分） 解：①00
1=<ψx
0202
22
=+<<ψμψ E dx d a
x 令2
1
212⎪⎭
⎫
⎝⎛= E k μ x k B x k A 112cos sin +=ψ ()
舍去x
k x
k Ce
Ce
223-=ψ （
a x >
()022022
=--ψμψ E V dx d 令()2
12
022⎪⎭
⎫
⎝⎛-= E V k μ9分） 由x ＝0及x ＝a 处ψ及ψ'连续 x k Ce x k A 2
312sin -==ψψ （3分）
a
k a k Ce
k a k Ak Ce a k A 2
22111cos sin ---== 2
1
1k k a tgk -=⇒ 即E V E
E a tg --=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅02
2 μ （3分）。