2020届浙江省杭州市高三下学期4月统测模拟数学试题

2020年4月杭州市统测模拟数学

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ）

A. {|3}x x >-

B. {|3}x x <-

C. {|3}x x ≤-

D. {|23}x x ≤<

2.复数5i z i =+上虚部为（ ） A. 526 B. 526

i C. 526- D. 526i - 3.已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩

，则2z x y =+的最小值为（ ）

A. 1-

B. 1

C. 5-

D. 5 4.已知公比为q 等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 5.一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 6

B. 203

C. 7

D. 223 6.已知函数f （x ）＝sin x x ωω（0ω＞，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为

2π的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移3

π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ）

A. 函数g （x ）是奇函数

B. g （x ）的图象关于直线6x π

=对称

的的

C. g （x ）在33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，上是增函数 D. 当66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣

⎦，时，函数g （x ）的值域是[0，2] 7.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C 区域涂色不相同的概率为( )

A. 17

B. 27

C. 37

D. 47 8.下列函数图象中，函数()()||x f x x e Z αα=∈的图象不可能的是（ ）

A. B.

C. D.

9.设点M 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，点P 在面BCC 1B 1所在的平面内，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则点P 到点C 1的最短距离是（ ）

A. B. 2 C. 1 D. 3

10.函数()4ln 3f x x ax =-+在两个不同的零点12,,x x 函数2()2g x x ax =-+存在两个不同的零点

34,,x x 且满足3124,x x x x <<<则实数a 的取值范围是（ ）

A. (0,3)

B.

C. 1

44)e - D. 1

4(3,4)e -

二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）

11.已知直线l 1：ax +2y ﹣3＝0和直线l 2：

（1﹣a ）x +y +1＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为_____；若l 1∥l 2，则实数a 的值为_____．

12.随机变量X 的取值为0、1、2，P （X ＝0）＝0.2，DX ＝0.4，则P （X ＝1）＝_____；若Y ＝2X ，则DY ＝_____．

13.已知()()51210ax x a x ⎛⎫+

+≠ ⎪⎝⎭

，若展开式中各项的系数和为81，则a =______，展开式中常数项为______． 14.已知椭圆22

221(0)x y M a b a b

+=>>：∈双曲线22221x y N m n -=：∈若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点∈则椭圆M 的离心率为__________∈双曲线N 的离心率为__________∈

15.已知单位向量,,i j k r r r 两两的夹角均为(0θθπ<<，且2πθ≠），若空间向量a r 满足(,,)a xi yj zk x y z R =++∈r r r r ，

则有序实数组(,,)x y z 称为向量a r 在“仿射”坐标系O-xyz （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=r

有下列命题： ①已知(1,3,2),(4,0,2)a b θθ=-=r r ，则a r ·b r =0；

②已知3

3(,,0),(0,0,)a x y b z ππ==r r 其中xyz≠0，则当且仅当x=y 时，向量a r ，b r 的夹角取得最小值；

③已知111222121212(,,),(,,),(,,);a x y z b x y z a b x x y y z z θθθ==+=+++r r

r r 则 ④已知

333

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),OA OB OC πππ===u u u r u u u r u u u r

则三棱锥O —ABC 的表面积S =

其中真命题有 （写出所有真命题序号）

16.已知a v 、b v 、2c v 是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则

4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________ 17.设a ∈R ，若不等式331148x x ax x x x

++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 三、解答题：（本大题共5小题，共74分.）

18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin B ＝b sin （A 3

π-

）． （1）求A ；

（2）D 是线段BC 上的点，若AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ADC 的面积．