2024年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案及评分标准

2024年深圳市高三年级第二次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
本试卷共4页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12． 5 13． 8π 14．
3
π
；+∞,)（注：第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）
如图，三棱柱-ABC A B C 111中，侧面⊥BB C C 11底面ABC ，且=AB AC ，=A B A C 11．（1）证明：⊥AA 1平面ABC ；
（2）若==AA BC 21，∠=︒BAC 90，求平面A BC 1与平面A BC 11夹角的余弦值．证明：（1）取BC 的中点M ，连结MA 、MA 1．
因为=AB AC ，=A B A C 11，所以⊥BC AM ，⊥BC A M 1．由于AM ，⊂A M 1平面A MA 1，且1AM
A M M =，
因此⊥BC 平面A MA 1．…………………………………………………2分
因为⊂A A 1平面A MA 1，所以
⊥BC A A 1．又因为A A //1B B 1，所以⊥B B BC 1，
因为平面⊥BB C C 11平面ABC ，平面BB C C 11平面=ABC BC ，
且⊂B B 1平面BB C C 11，所以⊥B B
1平面ABC ．
因为A A //1B B 1，所以⊥AA 1平面ABC ．…………………………………………………………6分解：（2）（法一）因为∠=︒BAC 90，且=BC 2，所以==AB AC A B
C
A 1
B 1
C 1
M
以AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0,0,2)1
，B
，C
，C 1．
所以1(2,0,2)A B =-，1(0,2,2)A C =-，11(0,2,0)A C =． ………………………………………8分
设平面A BC 1的法向量为m =x y z (,,)111，则
110
0A B A C ⋅=⋅
=m m ⎩
⎪
⎨
⎪⎧，可得⎩⎪-=⎨⎪-=⎧y x 0011
11，令=z
11，则m =， 设平面A BC 11的法向量为n =x y z (,,)222，则
11100A B A C ⋅=⋅=
n n ⎩
⎪⎨
⎪⎧，可得⎩⎪=⎨⎪-=⎧y x 00
2
22，令=z 12，则n =，……12分 设平面A BC 1与平面A BC 11夹角为θ，
则m n m n =
==⋅θ||||cos ||，
所以平面A BC
1与平面A BC 11． …………………………………………13分 （法二）将直三棱柱-ABC A B C 111补成长方体-ABDC A B D C 1111．
连接C D 1，过点C 作⊥CP C D 1，垂足为P ，再过P 作⊥PQ A B 1，垂足为Q ，连接CQ .
因为⊥BD 平面CDD C 11，且⊂CP 平面CDD C 11， 所以⊥BD CP ．
又因为⊥CP C D 1，由于BD ，⊂C D 1平面A BDC 11，且1BD C D D =
，
所以⊥CP 平面A BDC 11．
由于⊂A B 1平面A BDC 11，所以⊥A B CP 1. 因为CQ ，⊂PQ 平面CPQ ，且CQ PQ Q =，
所以⊥A B 1平面CPQ ．
因为⊂CQ 平面CPQ ， 所以⊥CQ A B 1．
则∠CQP 为平面A BC 1与平面A BC 11的夹角或补角，
………………………………………………11分 在△A BC 1中，由等面积法可得=
CQ ． 因为==PQ A C 11∠==CQ CQP PQ cos 因此平面A BC 1与平面A BC 11． ………………………………………………13分
16．（15分）
已知函数(f x =+ax x )(1)e ，'f x ()是f x ()的导函数，且()()2e f x f x -='x ． （1）若曲线()=y f x 在=x 0处的切线为=+y kx b ，求k ，b 的值； （2）在（1）的条件下，证明：f x kx b +()
．
C 1
A
B
B 1
C
A 1
y
M
C 1
A
B
B 1
C A 1
P
Q D
D 1
解：（1）因为()(1)e x f x ax =+，所以()(1)e x f x ax a '=++， …………………………………………2分 则()()e x f x f x a '-=．
因为()()2e x f x f x '-=，所以2a =． …………………………………………4分 则曲线()y f x =在点0x =处的切线斜率为(0)3f '=．
又因为(0)1f =，
所以曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为31y x =+，
即得3k =，1b =． ………………………………………………………………………………………6分 （2）证：设函数()(21)e 31x g x x x =+--，x ∈R ，
则()(23)e 3x g x x '=+-． ………………………………………………………………………………8分
设()()g x h x '=，则()e (25)x h x x '=+， ………………………………………………………10分 所以，当5
2
x >-时，()0h x '>，()g x '单调递增．
又因为(0)0g '=，
所以，0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增；
5
02
x -
<<时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又当5
2
x -时，()(23)e 30x g x x '=+-<，
综上()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ……………………………………13分 所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g =， 即(21)e 310x x x +--，
所以，当x ∈R 时，()
31f x x +． ……………………………………………………………15分
17．（15分）
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
设事件A =“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B =“该大型企业把零件交给甲工厂生产”．已知0()1P B <<，证明：(|)(|)P A B P A B >．
解：（1）设甲工厂试生产的这批零件有m 件，乙工厂试生产的这批零件有n 件，
事件M =“混合放在一起零件来自甲工厂”， 事件N =“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件C =“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则()m
P M m n =
+，()n P N m n
=+， ()(|)()(|)(94%98%97%)m n
P C P C M P M P C N P N m n m n
=+=+=+⨯
⨯+， ………………………2分 计算得3m n =． 所以1
()4
m P M m n =
=+．…………………………………………………………………………………3分 X 的可能取值为0，1，2，3，1
(3,)4
X B ， …………………………………………………5分
13
()344
E X =⨯=， …………………………………………………6分
00331327(0)()()4464P X C ===，112
31327(1)()()4464
P X C ===，
2213139(2)()()4464P X C ===，330
3131(3)()()4464
P X C ===．
所以，X 的分布列为：
………………………………………………8分
证明：（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以(|)(|)P B A P B A >．………………………………………………………………………………10分 即
()()
()()
P AB P AB P A P A >． 因为()0P A >，()0P A >， 所以()()()()P AB P A P AB P A >．
因为()1()P A P A =-，()()()P AB P B P AB =-， 所以()1())(()())()P AB P A P B P AB P A ->-(．
即得()()()P AB P A P B >， ……………………………………………………………………12分 所以()()()()()()()P AB P AB P B P A P B P AB P B ->-．
即()(1())()(()())P AB P B P B P A P AB ->-． 又因为1()()P B P B -=，()()()P A P AB P AB -=， 所以()()()()P AB P B P B P AB >．
因为0()1P B <<，0()1P B <<， 所以
()()
()()
P AB P AB P B P B >． 即得证(|)(|)P A B P A B >． …………………………………………………………………………15分
18．（17分）
设抛物线2:2C x py =（0p >），直线:2l y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线2y =-于点M ．对任意k ∈R ，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．
（1）求C 的方程；
（2）若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN △
的面积不小于．
解：（1）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由题可知，当0k =时，显然有0AM BM k k +=； 当0k ≠时，直线OM 的方程为1
y x k
=-
，点(2,2)M k -． 联立直线AB 与C 的方程得2240x pkx p --=， 224160p k p ∆=+>，
所以122x x pk +=，124x x p =-， ………………………………………………………………………3分
因为直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列，
所以
121222
222y y k x k x k +++=--． 即
121244222kx kx k x k x k +++=--，122112(4)(2)(4)(2)
2(2)(2)
kx x k kx x k k x k x k +-++-=--， 化简得2122(2)(4)0k x x k ++-=． …………………………………………………5分
将122x x pk +=代入上式得22(2)(24)0k pk k +-=， 则2p =，
所以曲线C 的方程为24x y =． …………………………………………………………………………8分 （2）（法一）设直线:l y kx n '=+，联立C 的方程，得2440x kx n --=．
由0∆=，得2n k =-，点2(2,)N k k ， …………………………………………10分 设AB 的中点为E ，
因为
1222x x k +=，21212()4
2222y y k x x k +++==+，则点2(2,22)E k k +． ……………12分 因为222222
k k +-=，
所以点M ，N ，E 三点共线，且点N 为ME 的中点， 所以AMN △面积为ABM △面积的
1
4
． ……………………………………………………………14分 记AMN △的面积为S ，点(2,2)M k -到直线AB ：20kx y -+=
的距离2d =，
所以3
222
221212211(24)||1()4(2)22881
k S AB d k x x x x k k +=⨯=
+⨯+-⨯=++，
当0k =时，等号成立．
所以命题得证． ………………………………………………………………………………………17分
（法二）设直线:l y kx n '=+，联立C 的方程，得2440x kx n --=．
由0∆=，得2n k =-，则点2(2,)N k k ．
所以直线MN 与x 轴垂直． ……………………………………………………12分
记AMN △的面积为S ，
所以121||||22x x S MN -=⨯⨯1||4MN =⨯ …………………………………14分
21
|2|2
k =⨯+32
2
(2)22k =+
．
当0k =时，等号成立．
所以命题得证． ……………………………………………………………………………………17分
19．（17分）
无穷数列1a ，2a ，…，n a ，…的定义如下：如果n 是偶数，就对n 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ；如果n 是奇数，就对31n +尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ．
（1）写出这个数列的前7项；
（2）如果n a m =且m a n =，求m ，n 的值； （3）记()n a f n =，*n ∈N ，求一个正整数n ，满足
()(())n f n f f n <<<…2024(((())))f
f f f n <个……．
解：（1）11a =，21a =，35a =，41a =，51a =，63a =，711a =． ……………………………3分 （2）由已知，m ，n 均为奇数，不妨设n
m ．
当1n =时，因为11a =，所以1m =，故1m n ==； ……………………………5分 当1n >时，因为
31
4
n n m +<，而n 为奇数，n a m =，所以31
2
n m +=
． ………………6分 又m 为奇数，m a n =，所以存在*k ∈N ，使得31
2k
m n +=
为奇数． 所以3(31)95
231122
k
n n n m ++=+=
+=． 而95
462
n n n +<
<，所以426k n n n <<，即426k <<，*k ∈N ，无解． …………………………7分 所以1m n ==． ……………………………………………………………………………8分 （3）显然，n 不能为偶数，否则()2
n
f n n <，不满足()n f n <． 所以，n 为正奇数．
又1(1)1f a ==，所以3n
． …………………………………………………………………10分
设41n k =+或41n k =-，*k ∈N ．
当41n k =+时，3(41)1
()31414
k f n k k n ++=
=+<+=，不满足()n f n <； ……………12分 当41n k =-时，3(41)1
()61412
k f n k k n -+=
=->-=，即()n f n <． ……………14分 所以，取202521n k =-，*k ∈N 时，
202520242024
220233(21)13(321)1()321(())32122
k k n f n k f f n k -+⨯-+<==⨯-<==⨯-
2022320232
2023
3(321)1(((())))3212k f f f n k ⨯-+<<==⨯-………
202322024
2024
3(321)1(((())))3212k f f f n k ⨯-+<==⨯-……
即()(())n f n f f n <<<…2024(((())))f
f f f n <个……． ……………………………………………………17分
注：只要给出21m n k =-，并满足条件*,m k ∈N ，2025m 中的其一组,m k 的值，就认为是正
确的．。