新人教A版必修二 平面向量数量积的坐标表示 学案

2019-2020学年新人教A版必修二平面向量数量积的坐标表示学案

【学习目标】

学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

【重点难点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用

【学法指导】

预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。了解向量的模、夹角等公式。

【知识链接】

1.平面向量数量积（内积）的坐标表示

2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：

(1)向量模的坐标表示：

能表示单位向量的模吗？

(2)平面上两点间的距离公式：

向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)

AB=

(3)两向量的夹角公式cos =

3. 向量垂直的判定（坐标表示）

4.向量平行的判定（坐标表示）

三、提出疑惑

【学习过程】

（一）创设问题情景，引出新课

a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？

（二）合作探究，精讲点拨

探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？

a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2

教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0

探究二：探索发现向量的模的坐标表达式

若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？

若A(x1,x2), B(x2,y2)，如何计算向量AB的模两点A、B间的距离呢？

例1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量AB的坐标.

--则

变式：已知a+b=2i-8j,a b=8i+16j,a b

探究三：向量夹角、垂直、坐标表示

设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定a⊥b或计算a与b的夹角<a,b>呢？

1、向量夹角的坐标表示

2、a⊥b<=> <=>x1x2+y1y2=0

3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0

6365

例2 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.

变式：已知，(1,2),(3,2)a b ==-，

当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？ （2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？

【学习反思】

【基础达标】

1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）

A.60° B .30° C.135° D.４５°

2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3

π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12

3、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的 数量积

4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角

5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a 与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?

【拓展提升】

1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（ ）

A.23

B.57

C.63

D.83

2.已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（

）

A. B. 3.()a=2,3,b=(2,4),-则()()

a+b a-b =⋅__________。 4.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，

且则λ＝__________。

43(,)554355--（），433C.555-4（，）或（-，）5433)(,)5554（，或--55.a=(4,7);b=(5,2)-则a b=⋅_______ ()()

a =_____ 2a 3

b a+2b =-⋅_______

6.与()a=3,4垂直的单位向量是__________ A. B. D.

7.a=(2,3),b=(-3,5)则a b 在方向上的投影为_________

8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ABC 为( )

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不等边三角形

9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为（ ）

A.正方形

B.菱形

C.梯形

D. 矩形

10.已知点A （1，2），B(4,-1),问在y 轴上找点C ，使∠ABC ＝90º若不能，说明理由；若能，求C 坐标。