3.两数和乘以这两数的差

§13.3.1两数和乘以这两数的差
【教学目标】
知识与技能：
通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维；引导学生发现乘法公式与整式的乘法之间的关系，会推导并掌握两数和乘以它们的差公式，向学生渗透数学中相互转化的思想；通过乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算加深对公式的理解，了解两数和乘以它们的差公式的几何背景，体会数形结合的数学思想方法。

过程与方法：
经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这个公式来源于整式乘法，又能够用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能使用公式实行简单的计算。

情感与态度：
形成自主探究、合作交流的意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感和符号感。

【教学重点】
对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练使用两数和乘以它们的差公式实行简单计算。

【教学难点】
理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理水平的培养。

【教学准备】多媒体课件
【教学过程】
一、情境屋，请君入内
问题：王军同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王军就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。

售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王军同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。

”你知道王军同学用的是一个什么样的公式吗?
（设计意图：通过创设问题情景，让学生主动参与，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。

让学生明白看似单调、僵死的数学它就来源于身边的生活，从而拉近数学教学与生活的距离，诱导学生养成学数学、用数学的好习惯。

）
二、探究园，任你驰骋
1.议一议：
T：我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？
S：学生举例回答以上问题。

T：请你计算以下问题并思考后面的问题：
（1）(a＋b)(a－b)；（2）（x＋3）(x－3)；（3）（2a－3）(2a＋3)
①等式左边的两个多项式有什么特点？
②等式右边的多项式有什么规律？
③你能用上面的规律直接计算下列各式吗？
Ⅰ.(a＋2)(a－2) Ⅱ.(3a＋1)(3a－1)
④你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？
⑤你有什么不清楚的问题想问老师吗？
S：学生根据教师交给的问题，分组讨论，尝试探究，并由小组长做好记录。

学生反馈问题：每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报。

并提出自己小组存有的问题。

T：教师与学生共同归纳出平方差公式：（a+b）(a-b)= a2–b2
这就是说：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。

T：利用这个两数和与这两数差的乘法公式,能够直接计算两数和乘以这两数的差.那么公式中的a,b能够表示什么？
S：在教师引导下说出公式中a,b能够表示数，单项式，多项式甚至更复杂的代数式。

（设计意图：目的让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左、右两边的结构特征，为下一步使用公式实行简单计算打下基础。

）
2.试一试：
T：你能用以下图解释两数和乘以它们的公式吗？（见教材29页的图）
图13.3.1
先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：
＝－．
S：动手，动脑。

采用拼图的方法：把图1沿虚线剪开，用剪开后的两个长方形拼成图2的形状，得出面积相等推得两数和乘以它们的差公式。

（设计意图：在教材中，安排了图形的面积运算来验证“两数和乘以这两数的差”，让学生加深对“两数和乘以这两数的差”这个公式的理解，用面积相等来证明两数和乘以它们的差公式的准确性，体现了数形结合的数学思想方法。

同时培养学生的动手水平及协作水平。

）
3.做一做：
T：我们已经验证了（a+b）(a-b)= a2–b2准确性，以后在计算此类的多项式相乘时，能够使用公式直接得到结果，下面我们就来看公式在具体例题中的应用。

例1．计算：（1）（a＋3）（a－3）（2）（2a＋3b）（2a－3b）（3）（1＋2c）（1－2c）（4）（－2x－y）（2x－y）
T：在上面的几个问题中，哪一部分相当于公式中的“a”，哪一部分相当于公式中的“b”？能用公式的直接使用公式,注意计算到最后结果。

S：学生独立思考，完成练习。

T：请观察：（－2x＋y）（），在括号内填入怎样的代数式，才能使用两数和乘以它们的差公式实行计算？由此你想到了什么规律？
S：对于第（4）小题提出把（－2x－y）中的“－”号提出，变为－（2x+y）,然后运用两数和乘以它们的差公式进行计算。

（设计意图：要给学生充足的时间去观察、思考、探讨，然后在讲解。

通过此例突出重点，突破难点，让学生理解公式的特征。

讲解时要向学生强调注意（2a）2中括号的添加。

）T:前面我们感受了公式（a+b）(a-b)= a2–b2在整式乘法中的应用，它还能简化某些数与数的相乘，下面我们来看这一问题：
例2．计算：1998×2002
分析：这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式进行计算。

T:现在你能揭开王军快速答出9.8×10.2的秘密吗？（先让一名学生口头回答，然后再板书具体的解答过程。

）
（设计意图：通过揭秘让学生感受了生活中的数学，体会数学的应用价值。

）
例3.街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米。

问改造后的长方形草坪的面积是多少?
解：（a+2）(a-2)=a2-4(平方米)
答：改造后的长方形草坪的面积是（a2-4）平方米。

（设计意图：让学生用所学的数学知识去解答生活中的问题，从生活中来到生活中去，数学来源于生活，生活离不开数学。

）
三、快乐房，练中生趣
1.填一填：
①(2+3x）(2-3x)=( )2-（）2= - ;
②(3x+6y)(3x-6y)=( )2-（）2= - ;
③(m3+5)(m3-5)=( )2-（）2= - ;
2.辨一辨：
①（2x-3）(2x+3)=2x2-9
②(x+y2)（x-y2）=x2-y2
③(a+b)(a+2b)=a2-b2
3.说一说：
下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式？哪些不能？若能用平方差公式计算，请你说出结果。

①(2a－3b)(3b－2a) ②(－2a+3b) (2a+3b) ③(－2a－3b)(2a－3b)
④(2a－3b)(2a+3b) ⑤(2a+3b)(－2a－3b) ⑥(2a－3b)(－3b+2a)
4.比一比：(学生独立完成，看谁又快又准。

)
①（5+6x）(5-6x）②（3m-2n）(3m+2n）③（ab+8）(ab-8）
④（2x＋y）(－2x＋y) ⑤（－4a－0.1）(4a＋0.1）⑥(m+n) (m-n)+3n2
（设计意图：检查学生对本节课知识的掌握情况，让学生通过观察、计算来体会如何直接应用乖法公式，简化计算两数和乘以这两数差，感受整式的乘法与乘法公式转换过程，培养学生的观察能力和计算能力，从而达到熟练应用两数和乘以这两数的差的目的。

）
四、沉思阁，反思感悟
1.谈一谈：让学生自由发言，谈出本节课的收获，解答此类问题的关键。

⑴平方差公式是特殊的多项式乘法，要理解并掌握公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减互为相反数的项的平方。

⑵在混合运算中，用平方差公式直接计算所得的结果可以写在一个括号里，以免发生符号错误。

⑶注意：一定要记住公式的特点，及灵活运用。

2.评一评：说说对自己的评价、对同学的评价、对老师的评价。

（设计意图：首先让学生进行总结，回顾知识，强化对新知识的感知，锻炼学生的归纳能力和表达能力。

）
五、作业坊，各有所获
1.必做题：教材P30练习第2题，教材P33习题13.3第1题。

2.选做题：①化简求值：(x-2y)(2y+x)-(2x+y)(y-2x),其中x=1,y=-2；
②解不等式：（3x＋4）（3x－4）＜9（x－2）（x＋3）。

3.思考题：从前有一个狡猾的地主，他把一块长为x米的正方形土地租给张老汉种植，有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.同学们，你能告诉张老汉他吃亏了吗？
（设计意图：根据新课标的要求，分层设计练习有利于提高学习效率，使不同层次的学生均有所提高，有利于因材施教，让不同的学生在数学上得到不同的发展。

）。