【配套K12】2019年高考数学一轮复习专题4.3 简单的三角恒等变换(测)

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2019届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第4讲简单的三角恒等变换课件文新人教版

2 2.
[答案] π；3－2 2
题型一三角函数式的化简与求值(基础保分题，自主练透)
例1 (1)化简：( 1 α－tanα2)·(1＋tan α·tanα2)． tan2
[解] ( 1 α－tanα2)·(1＋tan α·tanα2) tan2
＝(csoinsα2α2－csoinsα2α2)·(1＋csoins
上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式．
(2)求S的最大值及相应的θ角．
[解] (1)分别过P，Q作PD⊥OB于D.QE⊥OB于E. 则四边形QEDP为矩形
在Rt△PDO中，PD＝sin θ，OD＝cos θ 在Rt△OEQ中，
OE＝
33QE＝
4．观察角的关系，尽量异角化同角，合理拆分角． 5．观察三角函数的名称的关系，常用弦切互化，异名化同名． 6．观察结构特征，明确变形方向，遇到分式要通分，整式要因式分解．
【针对补偿】
1．化简 2＋cos 2－sin21的结果是( )
A．－cos 1
B．cos 1
C. 3cos 1
D．－ 3cos 1
1．半角公式
[知识梳理]
2．公式的常见变形
(1)1＋cos α＝ 2cos2α2 ；
1－cos α＝ 2sin2α2 ；
(2)1＋sin α＝sin
α2＋cos
α22；
1－sin α＝sin
α2－cos
α22.
(3)tan
α2＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
3．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝ a2＋b2 sin(α＋φ)或f(α)＝ a2＋b2 cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．

2019版高考数学(理)一轮复习：简单的三角恒等变换含解析

选 C.原式=
=
=
2
=
.
3.(2016·浙江高考)设函数 f(x)=sin x+bsin x+c,则 f(x)的最小正周期
( A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.
7.(2018·烟台模拟)已知函数 f(x)=
为偶函数,且函数 y=f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为 ,则 f A. B. C. D.
=
【解析】选 A.因为 f(x)=2sin 所以φ- =kπ+ ,k∈Z, 又 0<φ<π,所以φ= .
为偶函数,
又因为 f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 , 所以 T=π,故ω=2.
169+130sin(α+β)+25=306,所以 sin(α+β)= 答案: 4.(12 分)已知函数 f(x)=
.
sin 2x+a·cos 2x(a∈R).
(1)若 f
=2,求 a 的值. 上单调递减,求 f(x)的最大值. = sin +a·
(2)若 f(x)在【解析】(1)因为 f cos =2,
答案: 【变式备选】计算:cos 【解析】原式=-cos ·cos cos · cos =________.
cos
=
=- .
答案:-
1.(5 分)已知 f(x)= 简为 ( A.2sin α C.-2sin α )
,当α∈
时,式子 f(sin 2α)-f(-sin 2α)可化
B.-2cos α D.2cos α =

2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换

2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换三角恒等变换经过点(a，b)．自查自纠1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( α±β)＝____________________.(2)cos(α±β)＝____________________.1．(1)sinαcosβ±cosαsinβ(2)cosαcosβ? sin (3)tan( α±β)＝____________________.αsinβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2 α＝______________．tanα±tanβ1?tanαtanβ(3)2．(1)2sinαcosα(2)cos2 α＝___________ ＝___________ ＝___________．(3)tan2.α＝2(2)cosα－sin2tanα(3)21－tan α2α2cos2α－1 1 －2sin α3．半角的正弦、余弦、正切公式α4．(1) sin2α±cos222α2cos22α2sin2(1)sin α＝±21－cosα2.1－cos2α(2)21＋cos2α2(3)tan(α±β)(1?tanαtan α(2)cos＝±＝±2α(3)tan2 1＋cosα2 .1－cosα1＋cosαsinα1－cosα＝.＝1＋cosαsinαβ)(4)a2＋b2ab2＋b2aba相同4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±sinα＝；(2015 ·全国卷Ⅰ)sin20 c°os10 °－cos160 °s in10 °1＋cosα＝；1－cosα＝＝( )．3311 A．－B.C．－D.222212解：原式＝sin20 °cos10°＋cos20°sin10 °＝sin30 °＝.2(2) 降幂公式：sin α＝；故选 D.2cos α＝．(2016 ·全国卷Ⅱ)若tanθ＝13，则cos2θ＝( )(3)tanα±tanβ＝______________________ ；tanαtanβ＝t anα－tanβtanα＋tanβ－1＝1－. tan（α－β）tan（α＋β）2＋b2sin(α＋(4)辅助角公式：asinα＋b c osα＝ a45151C.5451，所以cosθ＝3sinθ，根据同角3A．－B．－D.解：因为tanθ＝1.由倍12 2 2三角函数关系可得sin θ＋9sin θ＝1，sin θ＝φ) ，其中cosφ＝，sinφ＝ 2角公式，cos2θ＝1－2sinθ＝45.故选 D.，或tanφ＝，φ(2017 ·全国卷Ⅲ)函数f(x) ＝15πsin x＋3＋角所在象限与点(a，b)所在象限________，φ角的终边πcos x－6的最大值为( )***6 3A.＝＝5B ．1C.5D.1解： f(x)＝5sin x ＋ ππ ＋cos x － 361 1 3 5 sinx ·＋cosx ·2 2＋cosx · 3 1 ＋sinx · 2 235sinx ＋3 3 3 π ·2sin x ＋ 5 cosx ＝5 31 5cos10 °＋ 3sin10 ° ＝sin50 ×°cos10 ° 2×＝sin50 ×° 1 23cos10 °＋sin10 ° 2cos10 °＝ 2sin50 c°o s50 °sin100 °cos10 ° ＝＝1.故填 1.＝cos10 ° cos10 ° cos10 °＝ 6 5sin x ＋ π ，最大值为 36 5 .(3)( 福建漳州 2017 届八校联考 ) 已知 tan α ＝故选A .(2017 ·江苏)若 tan α － π 4 ＝ 16，则t an α ＝ 2(α∈(0，π )，)则c osA. 3 54 5 B.5 2π＋2α＝( )3 5 C ．－D ．－45________.π π解： tan α＝tan α－＋＝441 ＋1 6＝ 1 1－ 67 5 .故填7. 5(2016 上·海 )方程 3sinx ＝1＋cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ________．π πtan α－4 ＋tan4＝ ππ1－tan α－4 tan 422解：由 tan α＝2 得 sin α＝ 2cos α，sin α＋cos α＝1，2 α＋ cos 2 α＝ 1 ， cos 2 α＝ 1 得 4cos5， cos 5 π＋2α ＝ 2π 2＋2α＝－ sin2α＝－ 2sin αcos α＝－ 4cosα＝－25.cos 故选D .【点拨】解决非特殊角求值问题的基本思路有： (1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；(4)当有 α，2α， 3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将 α向 2α，3α(或 4α)向 2α转化，再求关于 2α 式子的值．***2x ，所以解： 3sinx ＝1＋cos2x ，即 3sinx ＝2－2sin1 或 s i n x ＝－ 2(舍去 )， 22sin2x ＋3sinx － 2＝0，解得 sinx ＝2x ＋3sinx － 2＝0，解得 sinx ＝所以在区间[0，2π]上的解为π5π或 6 .故填 6π 5π 或 . 6 62π 2π (1)(2016 ·四川 )cos －sin ＝________. 8 82π 2ππ 解：根据二倍角公式有cos－sin ＝cos ＝8842 . 2故填 2 .2类型一非特殊角求值问题(1)(2017 ·山东)已知 cosx ＝ 3 ，则c os2x ＝43tan12 －°3 (2)(2015长· 沙模拟)sin12 （°4cos 212°－2）________.＝ ( ) A ．－解：由 cosx ＝1411B. 4 C ．－83 42x －1＝2×得 cos2x ＝ 2cosD.3 41 82－1 解：＝ 3tan12 －°32 sin12 （°4cos 12°－2） 3（sin12 －° 3cos12 °） 2cos24 °s in12 c °o s12 ° ＝ 18.故选D .＝2 3sin （12°－60°）1 2sin48 °＝－ 4 3.故填－ 4 3.(2)( 教材复习参考题 )sin50 (°1 ＋ 3 tan10 )°＝ ________.(3)(2015 浙·江模拟)tan70 ＋°t an50 －° 3tan70 t °a n50 °解： sin50 °(1＋ 3tan10°) 的值等于 ()s in10 °cos10 °＝ sin50 1°＋ 3×A. 3B. 3 3C ．－ 3 3D ．－ 3***tan70 ＋°t an50 °＝－3，1－tan70 ·°tan50 °解：因为tan120°＝所以tan70 ＋°tan50 －°3tan70 ·ta°n50 ＝°－ 3.故选D.类型二给值求值问题(1)(2015 ·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β) ＝1，则t anβ的值为________．7αααcos ＋sin2 2ααcos －sin2 2ααcos sin＋2 21＋tan1－tan2＝α2＝ααcos ＋sin2 2ααααcos －sin2 cos ＋sin2 2 231－5＝－4－51＋sinα＝cosα1.故选A.2＝【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函tan（α＋β）－tanα解：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝1＋tan（α＋β）tanα数式的值，求另外一些角或式子的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)1＋27＝3.故填 3.21－7 ＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．另掌握常用的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；20，21，29)，可简化计算．(2) c o s 设α为锐角，若α ＋的值为 ________ ．解： c o s α＋s i n α＋，所以 sin 2α＋π 12 π π－＝sin 2 α＋ 6 4π 12π为锐角， 6π ＝6(1) tan( ) 1 tan( ) 已知 α＋ β＝－， α－ β＝sin2α 则的值为 ()sin2βA. 1 3 B ．－sin2α ＝sin2β s in[（α＋sin[（α＋解：sin （ α＋β）cos （ α－ β）＋ cos （ α＋β）sin （ α－ β）＝sin （ α＋ β） cos （α－ β）－ cos （ α＋ β） sin （ α－ β）1 3C ．3D ．－ 31 2 ，由二倍角公式得sin2cos2α＋α＋，7，25ππππ＝sin2 α＋cos －cos2 α＋sin6 4 6 4＝2425×2 7－×2 252＝217 250.故填17 250.＝t an（α＋β）＋tan（α－β）tan（α＋β）－tan（α－β）1＝3.故选A.45(3)(2016 ) cos沈·阳十一中联考若α＝－，α是第α1＋tan2三象限角，则＝( )α1－tan21 1A. －2 B. 2 C. 2 D. －24解：由cosα＝－，α是第三象限角，得sinα＝－5 ＝α＝3，则c osα＝( )(2)(2015 汕·头模拟)已知tan2A.45 B．－45 Cαα2 2解：cosα＝cos－sin ＝2 21－91＋9＝－45.故选B.αα2 2cos －sin2 2＝2α2αcos ＋sin2 221－tan21＋tan35，(3)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π，则c os(α－β)的值等于() 2A．－1 12 B.2 C．－1233 D.27因为π2<α<π，－1<tanα＝－13<0，解：因为α∈0，π，2α∈(0，π)，cosα＝213，所所以34π<α<π，32π<2α<2π.①2α－1＝－7以cos2α＝2cos ，sin2α＝1－cos22α＝9 又－π<β<0，tanβ＝－17<0，所以－π<β<0.②24 29π.而α，β∈0，，所以α＋β∈(0，π，)所以sin(α2＋β)＝1－cos2（α＋β）＝2 22（α＋β）＝2 23 .所以cos(α－β)＝由①②知，π<2α＋β<2 π.又tan(2α＋β)＝－1，所以2α＋β＝7π.故填47π.4cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－7913×－＋42×2 2 23＝.故选D.9 3 27类型四三角恒等变换与三角函数性质的综合应用类型三给值求角问题(2017·北京) 已知f(x)＝3cos 2x－π3－(福州外校2017 届高三适应性考试)已知2sinxcosx.2A2π5－15＝，且sinB3 103π5π7π4 B. 4 C. 4 D.7π612 cosA－32 sinA＝1－22 5，cosB5A，B 均为钝角，π<A＋B<2π，cosA＝－3 10 2 5，cos(A B) cosAcosB sinAsinB＋＝－＝－10 52>0，2 (1)求f(x)的最小正周期；π(2)求证：当x∈－，4π时，f(x)≥－41解：(1) f(x)＝32 cos2x＋32sin2x－sin2x2π＝π.2π，所以－4π＝－611.2π≤35π.6***＋cos A＋A，B 均为钝角，sin＝10，则A＋B＝( )10A.解：由题意知12(1－cosA)＋15，得sinA＝105，sinB＝510.10＝－3 1010 ×－－5×510＝10＝1sin2 x＋23 πcos2x＝sin 2x＋.2 3所以f( x)的最小正周期T＝(2)证明：因为－π≤x≤4π≤2x＋6所以sin 2x＋π≥sin －3ππ所以当x∈－时，f(x)≥－，4 4那么，3π7π<A＋B<2π，所以A＋B＝.故选C.2 4【点拨】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题．要求准确应用降幂【点拨】给值求角问题，可转化为“给值求值”公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y＝Asin(ωx 问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求角的＋φ)＋b 的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周范围及函数的单调性可求得角．期、最值等．π2<α<π，－π<1，则2α＋β等于________．7(2016·苏北四市调研)已知β<0，tanα＝－13，tanβ＝－解：tan2α＝2tanα＝21－tanα132×－11－－3＝－234，17＝(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin2－3cosx.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π，62π上的单调性．3π2－x sinx－3cosx23(1 cos2x)＋2π－x sinx23－－41tan2 tanα＋β7 tan(2 )α＋β＝＝31 tan2 tan－αβ1－－×－4 解：(1) f(x)＝sin ＝cosxsin x－－1. ＝1sin2 x－23cos2x－232π3＝sin 2x－－，32因此f(x)的最小正周期T＝2π＝π，f(x)的最大值为2目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角1－3.2相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个π(2)当x∈，6π当0 2x≤－≤32ππ时，有0≤2x－≤π，从而3 3π时，即2π≤x≤65π时，f(x)单调递增；12函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．当π≤2x－2π5π≤π时，即≤x≤3 122π时，f(x)单调递减．3综上可知，f( x)在上单调递减．π5π，12 上单调递增，在65π2π，12 31(20161)cos．·韶关月调研1233A.B.C.D.2222165°－sin215°＝cos215°－sin215°＝cos30 °解：cos＝3.故选C. 21．深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，sin2α的值等于( ) 2．若tanα＝3，则2αcosA．2 B．3 C．4 D．6重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sinα±cosα) 2 有并项的功能，cos2α＝2 有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是2sinαcosαsin2α解：＝＝2tanα＝2×3＝6.故选D.2α2αcoscos3．(2016 ·全国卷Ⅱ)若cosπ－α＝3，则s in2α＝4 5( ) 同名不同角的正切函数的关系等．2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明 A. 72515B.C．－15D．－72过程以及和差倍半公式的推演方法是很有必要的．解：cos 2 π 2 π－α＝2cos －α－1＝2×4 4 352－13．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题＝－725，又cos 2π－α＝cos4π－2α＝sin2α，所以2有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，sin2α＝－7.故选D.25探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4．(传统经典题)已知sinα＝5，sin(α－β)＝－510，104．熟知一些恒等变换的技巧(1)公式的正用、逆用及变形用．(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12πB.3πC.4解：因为α，β均为锐角，所以－ππ＜α－β＜2.2πD.6如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3 是2α的半角，3α2α是4的倍角等．(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种π2α＋cos2α等．变形，例如：1＝tan ，1＝sin4(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降10又sin(α－β)＝－又sinα＝5 3 10×－5 10＝所以β＝，所以cos(α－β)＝105，所以cosα＝52 55，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)2 55×－1010＝2.2π.故选C.43 1010 .低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的5．(2016 ·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα***＝2cos2α，则s in α＋ π ＝( ) 3＝ 2 × － 2 2 5 5 ＋ 2 × 2 5 ＝－ 5 10 ， 10A.1＋3 5 8 1＋5 3B.8(2)由(1)知 sin2α＝2sin αcos α＝2× 5 × － 52 5 51－3 51－5 3 D.815，所以 sin α＋ 41 3 5 ＋. A. 故选 8π1 sin＋ β ，且 tan α＝， 2 cosβC.82α)，即解：由 7sin α＝2cos2α得 7sin α＝2(1－2sin2α＋7sin α－2＝0，所以 sin α＝－2(舍去 )或 sin α＝4sin 1π 1 ＝ 6.因为 α为锐角，所以 cos α＝ 341 2 ＋15 4× 3 ＝ 2×π6．设α∈ 0，，β∈ 0，2 则( )＝－4 5 ，23＝， 55 5 5 πππ－2cos α＝cos2 sin sin2 α＋ α 6 66 2α＝1－2×5cos2α＝1－2sin5所以 cos4 5331 2＝－× ＋ 5× －24＋3 3＝－. 10π 10．(2015 ·天津)已知函数 f(x)＝sin ，2x －sin 2 x －2x －sin 2 x －6***πA 3 ．α－β＝B 3 ．α＋β＝2πC．2α－β＝2 D．2α＋β＝π2π2x∈R.(1)f(x)求的最小正周期；(2)f(x)求在区间－，π上的最大值和最小值．4sinα1＋sinβ，即 sinαcosβ＝cosαcosβπ－α，因为－2π2<α－π. 故选2解：由条件得＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sinππππβ< ，0< －α< －α，2α－β＝，所以α－β＝2 2 2 2 ＝121－cos2x解：(1)由已知，有 f(x)＝－23 1 1π2x －sin22 sin2x－2cos2x ＝，62πf(x)的最小正周期T＝＝π.21－cos 2x－2π3C.7 (2016 ) [0 3 y ． ·江苏定义在区间， π]上的函数＝sin2x 的图象与y ＝cosx 的图象的交点个数是 ________．解：由 sin2x ＝cosx? cosx ＝0 或 sinx ＝ 1 2 ，因x ∈[0，3π，] 所以 x ＝ π ， 2 3π 5π ，， 2 2 π ， 6 5π 13π ，， 6 617π ， 6共 7 个．故填 7.π π(2)因为 f(x)在区间－，－上是减函数，在区间3 6π π π 1 1π π ＝－＝－－，上是增函数， f －，f －，f 6 4 3 4 6 2 4 3π π 3＝4 上的最大值为，最，所以 f(x)在区间－， 4341 小值为－2.在斜三角形 ABC 中， sin A ＝－ 28．(2017 武· 汉调研)若锐角 α，β满足(1＋ 3tancosB · cosC ，且 tanB · tanC ＝1－ 2，求角 A 的值．α)(1 ＋ 3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解：由题意知， sinA ＝－ 2cosB ·cosC ＝sin( B ＋C) 解：由 (1 ＋ 3 tan α)(1 ＋ 3 tan β) ＝ 4 ，可得＝sin B ·cosC ＋cosB ·s inC ，两边同除以 cosB ·c osC ，得tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ 3，即 tan(α＋ β)＝ 3.又 α＋β∈(0，π．)所以 α＋ β＝ π .故填 3π .3tanB ＋ tanC ＝－ 2 ，又 tan( π－ A) ＝tan( B ＋ C) ＝ tanB ＋tanC ＝1－tanB t anC － 2 1－（1－ 2）＝－ 1，得 tanA ＝1，所以 9．已知 α∈ π ，π，sin α＝ 2 5.5π A ＝ .4(1)求 sin π ＋α的值； 4 (2)求 cos 5π －2α 的值． 6解： (1)因为 α∈ π ， π，sin α＝ 2 5 ， 51．(2017 山·东)函数 y ＝ 3sin2 x ＋cos2x 的最小正2α＝－2 5 所以 cos α＝－ 1－sin5 .所以 sin π π π ＋ α＝sin4 c os α＋cos4sin α4周期为 ( )π A. 22π B. 3C ．πD ．2ππ解：因为y＝3sin2x＋cos2x＝2sin 2x＋6 ，所以37.故选C.2π其最小正周期T＝＝π.故选C.2 6．(2017 ·四川泸州四诊)已知sinπ－α＝314，则2．(2015 陕·西)“sinα＝c osα”是“cos2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件cosπ＋2α＝( )357A. B．－88π解：由题意sin－α＝sin3C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2α－sin2α＝0，所以sinα＝cos 解：因为c os2α＝cos14＝，则cos－1＝－π＋2α＝cos2373.故选B.π＋α＝2cos62(π＋α)6α或sinα＝－cosα，则“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”7．(2017 ·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sin x 的最大的充分不必要条件．故选A.值为________．cos85 °＋sin25 c°o s30 °等于( )3．化简cos25 °A．－32B.2212C.D．1解：原式＝3sin25°2sin5 ＋°cos25 °22 sin(x ＋解：f(x) ＝2cosx ＋sinx ＝ 2＋12 2φ)≤ 2 ＋1 ＝5，其中tanφ＝2.故填 5.8．(2016 ·瑞安八校联考)已知tan3π＋α＝3，则4sinα3α＝________.tanα＝________，cos3sin（30°－25°）＋2 sin25 °cos25 °＝＝12cos25 °1＝.故选C. cos25 °24．(2017 ·杭州二次质检)函数f(x)＝3sin2x4cos2( x∈R)的最大值等于( ) x x2cos ＋22cos＋3πtan ＋tanα3π4解：已知tan＋α＝3，得＝3，即43π1－tan tanα4－1＋tanα＝3，解得tanα＝－2.sinα＝－2cosα，代入1＋tanα2α＋cos2α＝1 得5cos2α＝1，cos2α＝1sin，所以5sinα＝3αcos92 A．5 B. 解：由题意知f(x)＝52C.1＋cosx32sin x＋4×＝22sin x＋4×＝D．232 sinx＋－2cosα2＝－＝－10.故填－2；－10.3α2αcoscos9．(2017 ·浙江)已知函数f( x)＝sin2x－cos2x－2 32x－cos2x－232cosx＋2≤5．(2016 揭·阳模拟)已知tan x＋π＝2，则s in2x4s inxcosx( x∈R)．(1)求f2π的值．3(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．＝( ) 2 2解：(1) f(x)＝sinx－cos x－2 3sin x c osx＝310 35 C.5 D．11 tanx＋＝2tanx，所以1 tanx－A．－5 B.π解法一：因为t an x＋＝41 2x＋sin2x＝1，得sin2x＝1＝－cos2x－3sin2xπ＝－2sin 2x＋6 .2π则f＝－2sin34π＋3π＝2.，cosx＝3sinx，由cos，3 106 (2) f(x)的最小正周期为π.则sin2 x＝6sin .2x＝32x＝35π≤2x＋令2kπ＋2π3π≤2kπ＋，k∈Z，6 2＝1＋tanx1－tanxπ解法二：因为t an x＋＝2，所以tanx＝41 2sin x cosx 2tanx，所以sin2x＝2sinxcosx＝＝＝3 2x＋cos2x 2xsin 1＋tanZ.π2π得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.6 3π函数f( x)的单调递增区间为kπ＋，kπ＋62π3 ，k∈****** 10．(2016 北·京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f( x)的单调递增区间．解：(1)因为f(x)＝2sinωx c osωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin 2ωx＋π4 ，所以f(x)的最小正周期T＝2π＝2ωπ.ω依题意，π＝π，解得ω＝1. ω(2)由(1)知f(x)＝2sin 2x＋π4 .π≤2x＋由2kπ－2 ππ≤2kπ＋，k∈Z，4 23ππ得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.8 8所以 f (x)的单调递增区间为kπ－3ππ，kπ＋88 (k∈Ζ)．(2016 ·河南六市联考)设a＝12cos2 °－322tan14 °，c＝sin2 ，°b＝1－tan214°1－cos50 °，则有() 2A．a<c<b B．a< b<c C．b<c<a D．c<a<b解：利用三角公式化简得a＝12cos2 °－32 sin2 ＝°cos(60 ＋°2°)＝cos62 °＝sin28 ，°b＝tan28 ，°c＝sin225°＝sin25 .°因为s in25 <s°i n28 <t°a n28 ，°所以c<a<b.故选D.***2019 年高考数学一轮复习第9 页共9 页***。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练23简单的三角恒等变换理北师大版

课时分层训练(二十三) 简单三角恒等变换(对应学生用书第242页)A 组根底达标一、选择题1．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 最小正周期为( )A.π2 B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π.应选C.]2．(2021·东北三省三校二联)函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，32 C [由于f (x )＝sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin x ＋cos x cos π6－sinx sin π6＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3∈[－1,1]，应选C.] 3．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )【导学号：79140128】A ．1B ．3 C. 2 D ．2C[原式＝cos 220°－sin 2 20°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，应选C.]4．sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＜2α＜π，tan ()α－β＝12，那么tan(α＋β)等于( )A ．－2B ．－1C ．－211D ．211A [由题意，可得cos 2α＝－45，那么tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan(α－β)1＋tan 2αtan(α－β)＝－2.]5．(2021·济南一模)公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派研究过正五边形与正十边形作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2si n 18°.假设m 2＋n ＝4，那么m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1C [由题意得n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，那么m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝2sin 18°×2cos 18°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2，应选C.]二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们终边关于y 轴对称．假设sin α＝13，那么cos(α－β)＝________.－79 [由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )， sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.]7．cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，那么tan αtan β值为________．13 [因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16. ①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13. ②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.]8．(2021·石家庄质检(二))在平面内将点A (2,1)绕原点按逆时针方向旋转3π4，得到点B ，那么点B 坐标为________.【导学号：79140129】⎝⎛⎭⎪⎪⎫－322，22 [由题意得|OB |＝|OA |＝5，设射线OA 与x轴正半轴夹角为θ，那么易得sin θ＝15＝55，cos θ＝25＝255，那么x B ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋3π4＝5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤255×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－55×22＝－322.y B ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋3π4＝5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤55×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＋255×22＝22，所以点B 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－322，22.] 三、解答题9．tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)值，并求出α＋β值．[解] 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴π2＜α＋β＜3π2， ∴α＋β＝5π4.10．(2021·合肥调研)函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)当f (x )＝2时，求sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3值； (2)假设g (x )＝f (2x )，求函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上值域． [解] (1)依题意，sin x ＋cos x ＝2⇒(sin x ＋cos x )2＝2⇒sin 2x ＝1， ∴cos 2x ＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝12.(2)g (x )＝f (2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4， ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1. ∴函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上值域为[－1，2]．B 组能力提升11．(2021·南宁、钦州第二次适应性考试)假设α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，那么3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α，那么sin 2α值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718D [由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α，得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，得cos α－sin α≠0，所以cos α＋sinα＝26，两边平方可得1＋sin 2α＝118，那么sin 2α＝－1718，应选D.]12．(2021·银川质检)关于函数f (x )＝2cos 2x2＋3sin x (x ∈[0，π])，以下结论正确是( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值2，最小值－2C ．有最大值3，最小值0D ．有最大值2，最小值0C [由题意得f (x )＝2cos 2x2＋3sin x ＝cos x ＋1＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋1，因为0≤x ≤π，所以π6≤x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6≤1,0≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6f (x )最大值为3，最小值为0，应选C.]13．0＜θ＜π，tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1.∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.] 14．(2021·广东湛江一模)函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图像相邻两条对称轴距离为π2，且f (0)＝1.(1)求函数f (x )解析式；(2)设α、β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)值.【导学号：79140130】[解] (1)∵函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图像相邻两条对称轴距离为π2，∴T 2＝πω＝π2，∴ω＝2，又f (0)＝1，∴12A ＝1，∴A ＝2，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3－π3＝2cos(2α－π)＝－2cos 2α＝－1013，∴cos 2α＝513，sin 2α＝1－cos 22α＝1213，那么tan 2α＝sin 2αcos 2α＝125.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β＋π6＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫β＋π6－π3＝2cos 2β＝65， ∴cos 2β＝35，∴sin 2β＝1－cos 22β＝45，那么tan 2β＝sin 2βcos 2β＝43.∴tan(2α－2β)＝tan 2α－tan 2β1＋tan 2α·tan 2β＝125－431＋125×43＝1663.。

2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题19简单的三角恒等变换(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝ba 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式4. 重要结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．高频考点一三角函数式的化简与求值例1、(1)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 【答案】D(2)4cos50°－tan40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1 【答案】C【解析】4cos50°－tan40°＝4sin40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin 100°－sin40°cos40°＝＋－sin40°cos40°＝2×32cos40°＋2×12sin40°－sin40°cos40°＝ 3.【变式探究】(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝__________________.【答案】(1)12cos2x (2)2683cosα，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋2α－sin 2α＝268. 【感悟提升】三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一． (3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54 B ．－54C.43D ．－43【答案】(1)A (2)D高频考点二三角函数的求角问题例2、(1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β.解 ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314. ∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【变式探究】(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4【答案】(1)C (2)B 【解析】(1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a1－a ＋＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0，∴tan α＜0且tan β＜0. ∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4.【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4【答案】(1)C (2)A＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三三角恒等变换的应用例3、 [2017·浙江高考]已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【变式探究】已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．【答案】(1)1 (2)π1.（2018年全国III 卷）若，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】，故答案为B. 2. （2018年浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】 (1).(2). 3【解析】由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.3. （2018年全国卷Ⅱ）已知，则__________．【答案】【解析】，解方程得。

2019年高考数学一轮复习专题4.6简单的三角恒等变换(练)

π
2
1
【解析】 sin θ － 4 ＝ 10 ，得 sin θ － cos θ＝ 5，①
π
24
7
4
θ∈ 0， 2 ，①平方得 2sin θ cos θ ＝25，可求得 sin θ ＋ cos θ ＝ 5，∴ sin θ＝ 5，
3
4
2tan θ
24
cos
θ ＝ 5，∴ tan
θ＝ 3， tan 2
θ ＝1－ tan 2
为 S.
(1) 求 S 关于 θ 的函数关系式； (2) 求 S 的最大值及相应的 θ 角．
5
6
α ＝－
. 5
1
π
1
3
由 tan
β＝ 3， 0<β < 2 得 sin
β＝
， cos β＝ 10
. 10
所以 sin( α － β ) ＝sin α cos β － cos α sin β＝
25 －5
3 10
－
－
5 5
1
2
10 ＝－ 2 .
3π
π
又由 π <α< 2 ， 0<β < 2 可得
－π2
<－
【基础巩固】一、填空题 1．sin 20 °cos 10 °－ cos 160 °sin 10 °＝ ________.
1 【答案】 2 【解析】 sin 20 °cos 10 °－ cos 160 °sin 10 °＝ sin 20 °cos 10 °＋ cos 20 °sin 10 °
1 ＝sin 30 °＝ 2. 2． (1 ＋tan 17 °)(1 ＋tan 28 °) 的值是 ________．【答案】 2 【解析】原式＝ 1＋tan 17 °＋ tan 28 °＋ tan 17 °· tan 28 ° ＝1＋ tan 45°(1 －tan 17 °· tan 28 °) ＋tan 17 °· tan 28 ° ＝1＋ 1＝ 2.

【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换增分练

第5讲简单的三角恒等变换板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.79答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A. 2．[2017·山东高考]函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π 答案 C解析 y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π.故选C. 3．[2018·武汉模拟]计算tan15°＋1tan15°的值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.4．[2018·重庆质检]计算sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值为( )A ．0B ．1C ．－1 D.12答案 C解析原式＝sin20°cos(180°－70°)＋cos(180°－20°)·sin70°＝－sin20°cos70°－cos20°sin70°＝－(sin20°·cos70°＋cos20°sin70°)＝－sin90°＝－1.故选C.5．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4答案 A解析由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3，即tan(A ＋B )＝－ 3.又tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，0＜C ＜π，∴C ＝π3. 6．[2018·大连模拟]若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α等于________．答案 34解析 sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除以cos α，得tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 7．已知sin α＝cos2α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________. 答案－33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32. ∴tan α＝－33. 8．[2017·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 9．已知f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6的值．解 (1)∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝65，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35，又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＜0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45. 10．[2018·宝鸡模拟]已知α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2. (2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6 ＝43＋310. [B 级知能提升]1．[2018·天水模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35 B.45 C.74 D.34答案 D 解析因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又因为cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D. 2．[2017·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15答案 A解析解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A. 解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A. 3．[2016·全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.答案－43解析因为θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－2sin 2x 2. (1)若f (x )＝233，求sin2x 的值； (2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值与单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝1＋sin x －(1－cos x )＝sin x ＋cos x ，又∵f (x )＝233，∴sin x ＋cos x ＝233， ∴sin2x ＋1＝43，∴sin2x ＝13. (2)F (x )＝(sin x ＋cos x )·[sin(－x )＋cos(－x )]＋(sin x ＋cos x )2＝cos 2x －sin 2x ＋1＋sin2x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，F (x )取得最大值，即F (x )max ＝2＋1.令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， ∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，从而函数F (x )的最大值为2＋1，单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 5．[2018·四川检测]已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，14. 所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.。

精品(浙江专版)2019年高考数学一轮复习专题4.3 简单的三角恒等变换(练)

第03节简单的三角恒等变换A 基础巩固训练1.【2018年全国卷Ⅲ文】若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由公式可得。

详解：故答案为B.2.【浙江高三模拟】已知，，则________．【答案】.【解析】∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.3.【2018湖北,部分重点中学7月联考】已知，则，= .【答案】【解析】由同角三角函数基本定理得解得，，，．4.【2018江西（宜春中学、丰城中学、樟树中学、高安二中、丰城九中、新余一中）六校上学期第五次联考】已知，，则__________．【答案】5.【浙江省杭州二中】已知,,，且，则________，_______. 【答案】，【解析】因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，因为，，所以，，所以，所以答案应填：，．B能力提升训练1. 若且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，，，所以，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选.2.【2018届重庆市第三次抽测】已知直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据直线的斜率得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函数的基本关系式把化为关于的关系式即可.详解：由题设有，.故选A.3. 已知，且，则的是（）A． B． C． D．【答案】C4.【2018安徽蚌埠市第二中学7月】已知，则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】根据二倍角公式，，即，所以，故选择A.5.【2018届湖北省黄冈中学5月第三次模拟】已知，是方程的两根，则（）A. B. 或 C. D.【答案】D【解析】分析：根据韦达定理，利用两角和的正切公式求得的值，根据二倍角的正切公式列过程求解即可.详解：，是方程的两根，，，，，，，，得或（舍去），故选D.C思维扩展训练1.已知，满足，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，得，∵，∴，，，即时等号成立，所以，所以．选B．2.【2017浙江台州4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A3.已知，则．【答案】-1【解析】注意观察求知角x和已知角的关系可发现求知角均能用已知角和特殊角表示出来，再用和差角公式展开即可求得结果．故答案为：-1．4.已知，则．【答案】5. 在平面直角坐标系中，已知向量.（1）若，求向量与的夹角；（2）当，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用两向量的夹角余弦等于两向量的数量积除以两向量的模的乘积即夹角公式即可；（II）利用向量的的有关知识化简函数得，再利用正弦函数的单调性求其最大值试题解析：（1）因为，，，，所以.（2）因为，所以，又所以，因，所以，所以，从而.。

高考数学一轮复习效果监测简单的三角恒等变换.pdf

简单的三角恒等变换【选题明细表】知识点、方法题号给角求值问题1、5给值求角问题6给值求值问题2、3、7综合问题4、8、9、10、11 一、选择题 1.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°等于(　B　) (A)-(B) (C)-(D) 解析:sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°=sin(180°-17°)sin(180°+43°)+sin(270°-17°)sin(270° +43°)=-sin 17°sin 43°+cos 17°cos 43°=cos(17°+43°)=cos 60°=. 故选B. 2.(2013保定调研)若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x上,则sin 2α+2cos 2α等于(　C　) (A)-(B)- (C)-2(D) 解析:因为点P在y=-2x上, 所以sin α=-2cos α, 所以sin 2α+2cos 2α=2sin αcos α+2(2cos 2α-1)=-4cos 2α+4cos 2α-2=-2.故选C. 3.( 2013浙江省第二次五校联考)若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为(　D　) (A)(B)-(C)(D)- 解析:cos 2α=sin=sin=2sincos 代入原式,得6sincos=sin, ∵α∈, ∴cos=, ∴sin 2α=cos=2cos2-1=-. 故选D. 4.已知tan α和tan是方程ax2+bx+c=0的两个根,则a、b、c的关系是(　C　) (A)b=a+c(B)2b=a+c (C)c=b+a(D)c=ab 解析:依题意有又tan=tan==, 所以1=, 即a+b=c.故选C. 5.化简等于(　C　) (A)-2(B)-(C)-1(D)1 解析:===-1. 故选C. 6.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β等于(　D　) (A)(B)(C)(D) 解析:依题意有sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=, 又0<β<α<, ∴0<α-β2)的两根为tan A、tan B,且A、B∈,则A+B=.? 解析:由题意知tan A+tan B=-3a7, ∴tan A<0,tan B<0, tan(A+B)===1, ∵A、B∈,tan A<0,tan B<0, ∴A、B∈, ∴A+B∈(-π,0), ∴A+B=-. 答案:- 9.(2012江南五校联考)设函数f(x)=sin x+cos x,f'(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f'(x),则=.? 解析:f'(x)=cos x-sin x, 由f(x)=2f'(x)得 sin x+cos x=2cos x-2sin x, ∴cos x=3sin x, 于是===-. 答案:- 三、解答题 10.(2013天津市新华中学月考)已知函数 f(x)=-1+2sin xcos x+2cos 2x. (1)求f(x)的单调递减区间; (2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标; (3)若角α、β的终边不共线,且f(α)=f(β),求tan (α+β)的值. 解:f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin, (1)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z) 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), ∴f(x)的单调递减区间为 (k∈Z) (2)由sin=0得2x+=kπ(k∈Z), 即x=-(k∈Z), ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是. (3)由f(α)=f(β)得 2sin=2sin, 又∵角α与β的终边不共线, ∴+=2kπ+π(k∈Z), 即α+β=kπ+(k∈Z), ∴tan(α+β)=. 11.(2013浙江省重点中学协作体高三仿真联考)已知函数f(x)=2cos2-sin x. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域; (2)若α为第二象限角,且f=, 求的值. 解:(1)因为f(x)=1+cos x-sin x=1+2cos, 所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为[-1,3]. (2)因为f=,所以1+2cos α=, 所以cos α=-.===, 因为α为第二象限角,所以sin α=. 原式===.。

2019届高考数学一轮复习：《简单的三角恒等变换》教学案(含解析)

第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆) 1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2. sin2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2. sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tanα2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2. tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于( )A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f(x)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( ) A ．3 B ．6 C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α ＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2xcos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12－sin22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x. 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2.解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cosα2 ＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α.法二：原式＝1－tan2α2tanα2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2018·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________. [自主解答] (1)原式＝＋－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－s in 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋45×35＝0.又2α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π.[答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2018·广州一测)已知函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2018·四川高考)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．解：由(1)知f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z)，∴x ＝k π＋π4(k ∈Z)．故函数f(x)的零点的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f(x)＝2cos xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．解：(1)因为f(x)＝2cos xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin xcos x ＝3cos 2x ＋sin xcos x －3sin 2x ＋sin xcos x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f(α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan[π－(B ＋C)]＝－tan(B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan Btan C＝－－2＋131－－13＝1.故A ＝π4. 2.＋2α1＋cos 2α·cos 2α＋α等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α 解析：选D 原式＝－sin 2α2α＋cos 2α－sinα＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α. 3．(2018·深圳调研)已知直线l: xtan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2018·山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2018·河北质检)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.7．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3. 答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝＋2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，f′(x)是f(x)的导函数． (1)求f′(x)及函数y ＝f′(x)的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2(x)的值域．解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x －sin x ＝－2·s in ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，所以y ＝f′(x)的最小正周期为T ＝2π. (2)F(x)＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin xcos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. ∴函数F(x)的值域为[0,1＋ 2 ]． 11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．解：(1)∵tanα2＝12， ∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2β－α＝ 1－⎝⎛⎭⎪⎫2102＝7210，于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f(x)的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f(x)＝x 1＋2x 2.1．(2018·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 10°等于( ) A.12 B.22 C ．2D.32 解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210° ＝3－210°－2－cos 210°＝－cos22－cos 210°＝2.3．(2018·江西重点高中模拟)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f(x)的最大值为1.(1)求m 的值，并求f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f(B)＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f(x)＝2sin 2x·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－m. 又f(x)max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1.由－π2＋2k π≤2x＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z) 得到k π－5π12≤x≤k π＋π12(k ∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)． (2)由f(B)＝3－1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6. 又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ，3sin A ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α. 证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α＝右边．故原式得证．2．已知f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f(α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f(x)的取值范围．解：(1)f(x)＝(sin 2x ＋sin xcos x)＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x)＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x)＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f(α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f(x)＝12(sin 2x ＋cos 2x)＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则0≤f(x)≤2＋12，所以f(x)的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。

2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第3节简单的三角恒等变换课时跟踪检测理含解

第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第一课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]．因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43，故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos (α＋β)＝－55，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2，可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章三角函数、解三角形第三节简单的三角恒等变换第二课时简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________．解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第六节简单的三角恒等变换课件文

cos 2x
解析
θ θ θ θ 2 θ 2sin cos 2cos sin cos 2 2 2 2 2 (1)原式= θ 4cos 2 2 2θ 2 θ θ sin cos cos cos θ θ 2 2 2 =cos · = . θ θ 2 cos cos 2 2 θ 因为0<θ<π,所以0< < , 2 2 θ 所以cos >0,所以原式=-cos θ. 2
α α 1-sin α= sin cos . 2 2 α sin α 1 cos α (3)tan = = . 2 1 cos α sin α
2.辅助角公式
2 2 asin x+bcos x= a b sin(x+φ)(φ为辅助角),其中sin φ=③
α 2 2 6 α α ∴cos <0,故cos =- . 2 2 3
1 3
α 2
1 3
α 2 2 3
, 又∵α∈(π,2π),∴ ∈ ,
2sin 2 35 1 2. 的值为 ( D ) cos10 3 sin10 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 2 2
b
a 2 b2
,
cos φ=④
a
a 2 b2
.
α 1 1.已知cos α= ,α∈(π,2π),则cos 等于 ( 2 3 3 3 6 6 A. B.- C. D.- 3 3 3 3
B )
答案 B 由cos α= ,得2cos2 -1= , 即cos2 = .
1 2
(2)原式=

2cos 2 x(cos 2 x 1)
2 tan x cos 2 x 4 4

2019-2020年高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换测

2019-2020年高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换测一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【xx 甘肃省天水一中上学期开学】sin75sin15cos75cos15+o o o o 的值为（） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C【解析】()sin75sin15cos75cos15cos 7515cos60+=-=︒o o o o o o =. 故选：C2.【xx 山东，文4】已知,则A. B. C. D. 【答案】D3.已知10,2sin cos a R αα∈-=，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】条件中的式子两边平方，得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=，即233sin 4sin cos 2ααα-=，所以22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα-=+，即，解得或，所以，从而得.4.函数的最小值与最大值的和等于( )A .-2B .0C .D .【答案】C5.已知，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=，故选C. 6. 已知，且满足，则⎪⎭⎫⎝⎛+--απαα4sin 21sin 2cos 22值（）A ．B ．－C ．D ．【答案】C【解析】22tan tan 21tan ααα==--2tan 0αα-=, 解得或．因为,所以．22cos sin 1cos sin 2sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++1tan 31tan αα-===+．故C 正确． 7．【xx 河北内丘中学8月】若)sin sin 2cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则（） A. B. C. D. 【答案】C8. 已知，，那么（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为)4()(4πββαπα--+=+，所以223)4tan()tan(1)4tan()tan()]4()tan[()4tan(=-++--+=--+=+πββαπββαπββαπα，答案选C. 9.设，函数2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-满足．则的单调递减区间为（）A. )Z ](6,3[∈+-k k k ππ B. )Z ](65,6[∈++k k k ππππ C. )Z ](3,65[∈--k k k ππππ D.)Z ](65,3[∈++k k k ππππ 【答案】D【解析】2()cos (sin cos )cos ()sin 2cos 222af x x a x x x x x π=-+-=-，由得：，∴， ∴()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-，由3222262k x k πππππ+≤-≤+得：， ∴的单调递减区间为：)Z ](65,3[∈++k k k ππππ. 10. 已知中，，则等于A ．或B ．C ．D ．【答案】D11.已知函数23()3sin cos 3f x x x x ωωω=+其中.若在区间上为增函数，则的最大值为（）A ．B ．1C ．D ．2 【答案】B【解析】因为在每个区间[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈上为增函数，故23()3sin cos 33)(0)6f x x x x x πωωωωω=+=+>在每个闭区间[,]()36k k k Z ππππωωωω-+∈上为增函数，依题意知：[,][,]3636k k ππππππωωωω-⊆-+对某个成立，此时必有，于是3366ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得，故的最大值为1. 12.若，则3cos()10sin()5παπα-=-（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos2tan sin105102tan cos sin555ππππππ+=-33coscos2sin sin510510sin cos55ππππππ+=＝155(cos cos)(cos cos)21010101012sin25πππππ++-3cos103cos10ππ==，选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换讲

2019-2020年高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换讲【考纲解读】【知识清单】1. 两角和与差的三角函数公式的应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；)4sin(2cos sin πααα±=±.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．对点练习：【xx 广西南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于( ) A. 7 B. C. 1 D. 0 【答案】A本题选择A 选项.2. 二倍角公式的运用公式的应用二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 变形公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α21＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2对点练习：【xx 浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x – sin x cos x （x R ）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．【解析】（Ⅱ）由与得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f所以的最小正周期是由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ所以的单调递增区间是．【考点深度剖析】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【xx 江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（） A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选D.【1-2】【xx 河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C 点坐标为 .【1-3】已知：，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则=_______. 【答案】【解析】334,,cos sin 444545ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=∴-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,()3541233cos cos 4451351365ππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+--=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． 2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．【触类旁通】【变式一】已知均为锐角，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- ==．【变式二】已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，由周期,22163221ωπππππ==∴=-=T ，T . 当时，，可得，因为，所以．. 由图象可得的单调减区间为.考点2 二倍角公式的运用公式的应用【 2-1】【xx 浙江ZDB 联盟一模】已知，，则__________， __________．【答案】【解析】因为，，所以cos tanαα===因为，所以，因此3== . 【2-2】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．【答案】【2-3】已知，且，则的值为__________. 【答案】【解析】因为，所以，，sin cos 0422x x x π⎛⎫-=-<⎪⎝⎭，又因为22116sin (1sin 2)4225x x x x π⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以.【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【触类旁通】【变式一】已知，（1）求的值；（2）求的值．【变式二】已知2cos 2sin (2sin 1)5ααα+-=，，则的值为（） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由二倍角公式得52s i n s i n 22c o s 2=-+ααα，整理得52s i n s i n 2s i n 2122=-+-ααα，因此，由于，，，4tan tan 14tantan 4tan παπαπα-+=⎪⎭⎫⎝⎛+，故答案为A ．考点3 三角恒等式的证明【3-1】求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.【解析】∵左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．∴原式成立．【3-2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos (α＋β).【3-3】已知，，且，. 证明：.【解析】，即)2sin()sin(3βααβα+=-+，αβααβααβααβαsin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(3+++=+++， αβααβαsin )cos(4cos )sin(2+=+，，又，212tan 1tan 2tan 2=-=ααα，，，， .【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等【触类旁通】【变式一】求证：ααπαcos 1)24tan(1tan =++. 【解析】左边＝sin αcos α＋)24sin()24cos(απαπ++故原式得证．【变式二】已知，证明：)2sin 1lg()]4cos(2lg()2sin 21tan lg(cos 2x x x x x +=-+-+π. 【解析】左边)]4cos(2lg[)2sin 21cos sin lg(cos 2π-+-=⋅=x x x x x )4sin sin 24cos cos 2lg()cos lg(sin ππx x x x +++=右边. 故原命题成立.考点4三角函数的综合应用【4-1】【xx 湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是________．【答案】[，2]【4-2】【xx浙江温州二模】已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）∴函数的最小正周期是（2）∴，，∴，又.∴ ∴，∴.【4-3】【xx江苏海安上学期第一次测试】已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．【答案】(1) ;(2) 当时，取到最大值3；当时，取到最小值..【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：解：（1）因为，，，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【触类旁通】【变式一】【xx 浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数()2sin(0,0)2f x πωϕ=><<的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y 轴交于点,与x 轴交于点B,C, 且的面积为．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若,求的值.【答案】( Ⅰ) ；(Ⅱ) .【解析】试题分析：试题解析：( Ⅰ)因为, 所以周期，，由,得,因为,所以,所以； (Ⅱ)由,得,所以.【易错试题常警惕】易错典例：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝15，温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

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第03节简单的三角恒等变换
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为（）
A. B. C. D.
【答案】C
2.【2018届浙江省台州市高三上期末】已知为锐角，且，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，故选D.
3.【2017山东，文4】已知,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得,故选D.
4.已知，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
5.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知，则=（ )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：首先根据差角公式将题中所给的式子拆开，化简得到，之后将其平方，求得，利用正弦的倍角公式求得结果.
详解：因为，所以，
将式子两边平方得，
所以，故选B.
6. 已知，且满足，则值（）
A． B．－ C． D．
【答案】C
【解析】,整理可得,
解得或．因为,所以．
．故C正确．
7．【2018河北内丘中学8月】若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：，
据此整理可得：，
则：.
本题选择C选项.
8.【2018届四川省成都市第七中学高考模拟一】已知，则=（）
A. B. C. D.
【答案】B
9.【2018届河北省石家庄二中三模】设，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即和化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确答案。

（2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过的变换化简，确定正确答案。

详解：方法一：
即
整理得
，∴
整理得
方法二：
，∴
整理得
故选B
10.【2018届安徽省江南十校二模】为第三象限角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得
，
由同角三角函数基本关系式，得
，
解得
又因为为第三象限角，
所以，
则．
二、填空题：本大题共7小题，共36分．
11.【2018年全国卷II文】已知，则__________．
【答案】
12. 【2017课标II，文13】函数的最大值为 . 【答案】
【解析】
13.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知，，则
__________．
【答案】
【解析】分析：由，，可得，利用二倍角公式化简，代入即可的结果.
详解：因为，，所以，
，故答案为.
14．【2018届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）高三上学期9+1联考】设
，，则__________；__________.
【答案】
【解析】∵，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：，
15．【2018届四省名校第三次大联考】已知，且满足，则
_______．
【答案】
【解析】分析：由已知条件求得的值，再将所求的式子化简，将
的值代入化简后的式子，求出值。

详解：因为，所以
，则
，而。

16.【2018年【衡水金卷】模拟】已知，，则
__________．
【答案】
17.【2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研】已知，满足
，则的最大值为______.
【答案】.
【解析】分析：由求得，化为，利用三角函数的有界性可得结果.
详解：由，
得
化为
，
，
，
的最大值为，
故答案为.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【2018江苏南京溧水高级中学期初】已知, , ,
.
(1) 求的值；
(2) 求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据的范围，确定，直接利用二倍角的余弦，求
的值；（2）根据（1）求出，再求出，通过
，求的值.
试题解析：(1)∵cos =
又∵∴cos=
(2)由(Ⅰ)知：sin=
由、得（）（）
cos（）=-
sin=sin(-)=sin()cos-cos()sin
=×-× = .
19. 【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
20.【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若，且，求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，直接化简函数，再利用三角函数的周期公式求解. (2)第（Ⅱ）问，先解方程得到的值，再求的值.
试题解析：（Ⅰ）.
即.
所以的最小正周期.
（Ⅱ）由，得，
又因为，
所以，即.
所以.
21.【2018届江苏省盐城中学仿真模拟】在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角
的终边经过点.
(I)求的值；
(Ⅱ)求的值.
【答案】(1)； (2).
【解析】分析：（1）由于角其终边经过点，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可；
（2）直接利用公式即可.
(2) .
则，
.
22．【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在中，求的值.
【答案】（1）.
（2）或.
，所以,
因为A+B=,所以,
所以
或. 所以B=或，.
所以或.。