2014年高考理科第五章数列5.3

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2014届高三数学总复习 5.3等比数列教案新人教A版

2014届高三数学总复习 5.3等比数列教案新人教A 版1. (必修5P 55习题2(1)改编)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 6＝32，则S 3＝________．答案：7解析：q 5＝a 6a 1＝32，q ＝2，S 3＝1×（1－23）1－2＝7.2. (必修5P 49习题1改编) {a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则{a n }的通项公式a n ＝________．答案：a n ＝2×3n －1解析：由a 2＝6，a 5＝162，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 4＝162，所以a 1＝2，q ＝3.3. (必修5P 49习题6改编)等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则a 3＋a 5＝________．答案：6解析：a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝(a 3＋a 5)2＝36，又a 1>0，∴ a 3，a 5>0，∴ a 3＋a 5＝6. 4. (必修5P 49习题7(2)改编)已知两个数k ＋9和6－k 的等比中项是2k ，则k ＝________．答案：3解析：由已知得(2k)2＝(k ＋9)(6－k)，k ∈N *，∴ k ＝3.5. (必修5P51例2改编)等比数列{a n }中，S 3＝7，S 6＝63，则a n ＝________．答案：2n －1解析：由已知得a 1＝1，q ＝2；∴ a n ＝2n －1.1. 等比数列的概念 (1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．(2) 符号语言：a n ＋1a n_＝q(n∈N ，q 是等比数列的公比)．2. 等比数列的通项公式设{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则第n 项an ＝a 1q n －1．推广：a n ＝a m q (n －m)．3. 等比中项若a ，G ，b 成等比数列，则G 为a 和b 的等比中项且G 4. 等比数列的前n 项和公式(1) 当q ＝1时，S n ＝na 1．(2) 当q≠1时，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q1－q．5. 等比数列的性质(1) a n ＝a m q n －m．(2) 等比数列{a n }中，对任意的m 、n 、p 、q∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ．特殊的，若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p ．(3) 等比数列{a n }中依次每m 项的和仍成等比数列，即S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、…仍成等比数列，其公比为q m(q≠－1)．[备课札记]题型1 等比数列的基本运算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1) 求{a n }的公比q ； (2) 若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1) ∵ S 1，S 3，S 2成等差数列，∴ 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 1＋a 2， ∴ 2a 3＝－a 2，∴ q ＝a 3a 2＝－12.(2) a 3＝a 1q 2＝14a 1，∴ a 1－14a 1＝3，∴ a 1＝4，∴ S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝83－83⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.变式训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n∈N )． (1) 求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式； (2) 解不等式∑i ＝1n3a i>S n (n∈N )．解：(1) ∵ 2a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝3，∴ a 2＝32.∵ 2a 3＝S 2＋2＝a 1＋a 2＋2＝92，∴ a 3＝94.∵ 2a n ＋1＝S n ＋2，∴ 2a n ＝S n －1＋2(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＝S n －S n －1.∴ 2a n ＋1－2a n ＝a n .则a n ＋1＝32a n (n≥2)．∵ a 2＝32a 1，∴ a n ＋1＝32a n (n∈N )．∵ a 1＝1≠0，∴ a n ＋1a n ＝32，即{a n }为等比数列，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.(2) 3a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n 是首项为3，公比为23的等比数列．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n 的前5项为：3，2，43，89，1627.{a n }的前5项为：1，32，94，278，8116.∴ n ＝1，2，3时，∑i ＝1n3a i >S n 成立；而n ＝4时，∑i ＝1n3a i ≤S n ；∵ n ≥5时，3a n＜1，a n ＞1，∴ ∑i ＝1n3a i≤S n .∴ 不等式∑i ＝1n3a i>S n (n∈N )的解集为{1，2，3}．题型2 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，3S n ＝a n －1(n∈N )． (1) 求a 1，a 2；(2) 求证：数列{a n }是等比数列； (3) 求a n 和S n .(1) 解：由3S 1＝a 1－1，得3a 1＝a 1－1，∴ a 1＝－12.又3S 2＝a 2－1，即3a 1＋3a 2＝a 2－1，得a 2＝14.(2) 证明：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．(3) 解：由(2)可得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .备选变式（教师专享）在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1) 求证：数列{a n －n}是等比数列； (2) 求数列{a n }的前n 项和S n ；(3) 求证：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n∈N *皆成立．(1) 证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，公比为4的等比数列．(2) 解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n－13＋n （n ＋1）2.(3) 证明：对任意的n∈N *，S n＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n－13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)≤0，所以不等式S n ＋1≤4S n对任意n∈N *皆成立．题型3 等比数列的性质例3 已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＋1<a n .(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．解：(1) q 6＝a 8a 2＝1232＝164， a n ＋1<a n ，所以q ＝12.以a 1＝a 2q ＝3212＝64为首项，所以通项公式为a n ＝64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝27－n(n∈N )．(2) 设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－n＝7－n.所以{b n }是首项为6，公差为－1的等差数列．T n ＝6n ＋n （n －1）2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋1698.因为n 是自然数，所以n ＝6或n ＝7时，T n 最大，其最大值是T 6＝T 7＝21.备选变式（教师专享）已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n∈N *)的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323解析：∵a 5＝a 2q 3，∴14＝2×q 3，∴q ＝12，∴a 1＝a 2q ＝4，∴a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝23－n ，∴a k a k ＋1＝12k －3·12k －2＝122k －5，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝12＋12＋…＋12＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋…＋14n ＝32×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫8，323.题型4 等比数列的应用例4 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x 2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln(x)．其中是“保等比数列函数”的是__________．(填序号) 答案：①③解析：验证：① f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2；③ f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1||a n |＝|q|. 备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n≥3时，c n ＋1<c n .(1) 解：a 1＝S 1＝4，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n(n ＋1)－2(n －1)n ＝4n.又a 1＝4适合上式，∴a n ＝4n(n∈N *)．将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，∴T 1＝b 1＝1. 当n≥2时，T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ， ∴b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ， ∴b n ＝12b n －1，∴b n ＝21－n.(2) 证明：证法1：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n，得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n≥3时，1＋1n ≤43<2，即c n ＋1<c n .证法2：由c n ＝a 2n ·b n ＝n 2·25－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1<c n.1. (2013·大纲版)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和为________．答案：3(1－3－10)解析：q ＝－13，a 1＝4，则S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．2. (2013·新课标1)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n＝________．答案：a n ＝(－2)n －1解析：S n ＝23a n ＋13，S n －1＝23a n －1＋13(n≥2)，相减得a n ＝23a n －23a n －1，即a n ＝－2a n －1(n≥2)．又S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.3. (2013·新课标Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________．答案：19解析：有条件得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得q ＝±3，a 1＝19.4. 若数列{a n }满足lga n ＋1＝1＋lga n ，a 1＋a 2＋a 3＝10，则lg(a 4＋a 5＋a 6)＝________．答案：4解析：由条件知：a n ＋1a n＝10，即数列{a n }是公比为10的等比数列，所以lg(a 4＋a 5＋a 6)＝lgq 3(a 1＋a 2＋a 3)＝4.1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n 和公比q 的值．解：解法1：在等比数列{a n }中，a 1a n ＝a 2a n －1＝128.又a 1＋a n ＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a n ＝66，a 1a n ＝128，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2，∴q ≠1.由a n ＝a 1qn －1和S n ＝a 1（1－q n）1－q＝126，得⎩⎪⎨⎪⎧2q n －1＝64，2（1－q n ）1－q ＝126或⎩⎪⎨⎪⎧64q n －1＝2，64（1－q n ）1－q ＝126，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，q ＝12.解法2：当q ＝1时，经检验不合适，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋qn －1）＝66， ①a 21q n －1＝128， ②a 1（1－q n）1－q ＝126， ③由②可得qn －1＝128a 21，代入①，得a 1⎝⎛⎭⎪⎫1＋128a 21＝66，化简得a 21－66a 1＋128＝0，解得a 1＝2或a 1＝64.当a 1＝2时，代入①，得q n －1＝32，将a 1＝2和qn －1＝32代入③，得2（1－32q ）1－q＝126，解得q ＝2.又qn －1＝32，即2n －1＝32＝25，∴n ＝6.同理，当a 1＝64时，可解得q ＝12，n ＝6.综上所述，n 的值为6，q ＝2或12.2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1，设b n ＝a n ＋1－2a n .证明：数列{b n }是等比数列．证明：由于S n ＋1＝4a n ＋1，① 当n≥2时，S n ＝4a n －1＋1.② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1. 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又b n ＝a n ＋1－2a n ，所以b n ＝2b n －1.因为a 1＝1，且a 1＋a 2＝4a 1＋1，即a 2＝3a 1＋1＝4.所以b 1＝a 2－2a 1＝2，故数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列．3. (2013·辽宁)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．答案：63解析：因为等比数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则q ＝2，故S 6＝1×（1－26）1－2＝63.4. 已知数列{a n }的首项a 1＝2a ＋1(a 是常数，且a≠－1)，a n ＝2a n －1＋n 2－4n ＋2(n≥2)，数列{b n }的首项b 1＝a ，b n ＝a n ＋n 2(n≥2)．(1) 证明：{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列；(2) 设S n 为数列{b n }的前n 项和，且{S n }是等比数列，求实数a 的值； (3) 当a>0时，求数列{a n }的最小项．(1) 证明：∵ b n ＝a n ＋n 2，∴ b n ＋1＝a n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋(n ＋1)2－4(n ＋1)＋2＋(n ＋1)2＝2a n ＋2n 2＝2b n (n≥2)．由a 1＝2a ＋1，得a 2＝4a ，b 2＝a 2＋4＝4a ＋4，∵ a ≠－1， ∴ b 2≠0，即{b n }从第2项起是以2为公比的等比数列．(2) 解：由(1)知b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（4a ＋4）2n －2，n ≥2. S n ＝a ＋（4a ＋4）（2n －1－1）2－1＝－3a －4＋(2a ＋2)2n，当n≥2时，S nS n －1＝（2a ＋2）2n－3a －4（2a ＋2）2n －1－3a －4＝2＋3a ＋4（a ＋1）2n －1－3a －4. ∵ {S n }是等比数列， ∴ S n S n －1(n≥2)是常数，∴ 3a ＋4＝0，即a ＝－43.(3) 解：由(1)知当n≥2时，b n ＝(4a ＋4)2n －2＝(a ＋1)2n，∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1，n ＝1，（a ＋1）2n －n 2，n ≥2， ∴ 数列{a n }为2a ＋1，4a ，8a －1，16a ，32a ＋7，…显然最小项是前三项中的一项．当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，最小项为8a －1；当a ＝14时，最小项为4a 或8a －1；当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，最小项为4a ；当a ＝12时，最小项为4a 或2a ＋1；当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，最小项为2a ＋1.1. 重点是本着化多为少的原则，解题时，需抓住首项a 1和公比q.2. 运用等比数列求和公式时，要对q ＝1和q≠1进行讨论．3. 解决等比数列有关问题的常见思想方法：①方程的思想：等比数列中有五个量a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组求关键量a 1，q ；②分类的思想：当a 1>0，q>1或者a1<0，0<q<1时，等比数列{a n}递增；当a1>0，0<q<1或者a1<0，q>1时，等比数列{a n}递减；当q<0时，等比数列为摆动数列；当q＝1时，等比数列为常数列；③函数的思想：用函数的观点来理解和掌握等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．4. 巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．请使用课时训练（A）第3课时（见活页）.。

2014年高考理科数学真题分类——数列

2014年高考数学真题汇编——数列一．选择题1. （2014大纲）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．2. (2014重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】.∴D 选要求角码成等差3. (2014北京)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件D试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则4. （2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14DC5. （2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】 ..0.00;00:.,1111111C d a d a d a a a a a a a n n n 选且或且分情况解得即递减由同增异减知，<∴><<><+二．填空题1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .2(2014安徽)数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= . 12．13(2014北京)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.4(2014广东)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则5 (2014天津)设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】21-【解析】解：12-依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.6. (2014上海)设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。

2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训：第5章数列第3讲 Word版含解析2014高考数学(

第五章第3讲(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则a 5＝( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8答案：A解析：∵a 2a 12＝16，∴a 27＝16，∴a 7＝4＝a 5×22，∴a 5＝1.2. [2013·安徽名校联考]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12B. －12合不可以期化学教案梦中时时见兄与褐甫抵掌化学教案今故酣嬉笑呼化学教案觉而怛C. 1D. －1或12答案：A解析：设数列的公比为q ，∵a 3＝32，S 3＝92，∴a 1q 2＝32，a 1(1＋q ＋q 2)＝92.两式相除得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或q ＝－12.3. [2013·泉州五校质检]在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( )A. 33 B. 72 C. 84 D. 189答案：C解析：由题意可知该等比数列的公比q ≠1，故可由S 3＝3×(1－q 3)1－q＝21，得q 3－7q ＋6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．所以a 3＋a 4＋a 5＝3×(22＋23＋24)＝84，故选C.4. [2013·合肥质检]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )A. 64 B. 32 C. 16 D. 8答案：B解析：∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.∵a 1＝1.∴a 1，a 3，a 5，a 7，a 9构成以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a 9＝16.又a 10·a 9＝29，∴a 10＝25＝32.5. [2013·衡阳三联]设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.334 B.314C.C. 172D.152步行走;“逛答案：B解析：依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q >0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有(1q ＋3)(1q －2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝4(1－125)1－12＝314，选B.6. [2013·湖南重点中学调研]若等比数列{a n }的公比q ＝2，且前12项的积为212，则a 3a 6a 9a 12的值为( )A. 24 B. 26 C. 28 D. 212答案：C解析：由等比数列定义知a 1a 4a 7a 10＝a 3·1q 2a 6·1q 2a 9·1q 2a 12·1q 2＝a 3a 6a 9a 12·128，a 2a 5a 8a 11＝a 3a 6a 9a 12·124，而a 1a 2a 3…a 12＝a 3a 6a 9a 12·128a 3a 6a 9a 12·124a 3a 6a 9a 12＝(a 3a 6a 9a 12)31212＝212，∴(a 3a 6a 9a 12)3＝224，∴a 3a 6a 9a 12＝28. 二、填空题7. 已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则等比数列{a n }的公比q ＝________.答案：12解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10a 4＋a 6＝a 1q 3(1＋q 2)＝54，解得q ＝12.8. [2013·金版原创]设等比数列{a n }的前n 项之和为S n ，已知a 1＝2011，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N*)，则S 2012＝________.答案：0解析：本题考查等比数列的基本知识．设公比为q ，则由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)得1＋2q ＋q 2＝0，∴q ＝－1.所以S 2012＝2011×(1－(－1)2012)1＋1＝0.9. [2013·南京模拟]记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.答案：4解析：因为{a n }为等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.三、解答题10. [2013·锦州模拟]设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求a 2的值；(2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1<a n (n ∈N *)，试求S n 的表达式．解：(1)由已知得：⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2.∴a 2＝2.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝12，q 2＝2(舍去，a n ＋1<a n (n ∈N *))．∵q ＝12，∴a 1＝4.故数列{a n }的前n 项和S n ＝8－23－n (n ∈N *)．11. [2013·湖州模拟]已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n )1－q 2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)．所以数列{b n }的前n 项和 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)，q ＝1n 2＋q (1－q 2n)1－q 2，q >0且q ≠1.12. [2013·浙江模拟]已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知(1a 2)2＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2，因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a . 故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n ，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a (12＋122＋…＋12n )＝1a ·12[1－(12)n ]1－12太傅谢安的二弟试卷试题父亲谢允化学教案曾任宣城内史试卷试题谢景仁年幼时谢安还在世化学教案谢安对他有所了解试＝1a [1－(12)n ]．从而，当a >0时，T n <1a 1；当a <0时，T n >1a 1.。

人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件第五章数列 5.3.1 第1课时等比数列的定义

(1)常数列一定是等比数列.( × )
(2)存在一个数列既是等差数列,又是等比数列.( √ )
(3)等比数列中的项可以为零.( × )
(4)若a,b,c三个数满足b2=ac,则a,b,c一定能构成等比数列.( × )
合作探究释疑解惑
探究一
等比数列的通项公式及应用
【例1】在等比数列{an}中,
1
由得 q=2,从而 a1=32,
①
②
1 -1
又 an=1,所以 32× 2
=1,
即26-n=20,所以n=6.
1
方法二:因为 a3+a6=q(a2+a5),所以 q= .
2
由a1q+a1q4=18,知a1=32.
由an=a1qn-1=1,知n=6.
反思感悟
1.已知等比数列的首项a1与公比q可求得数列中的任何一项.
出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,
毛有九色,问各几何?”该问题中的各种东西的数量构成的数列为
9,92,93,…,97 .
2.某人年初投资10 000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末
的本利和构成的数列为 10 000×1.05,10 000×1.052,…,10 000×1.055 .
2.在等比数列的通项公式中,已知a1,q,n,an四个量中的任意三个,可以求得
另一个量,即“知三求一”.
【变式训练1】在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
解:因为
5 -1 = 1 4 -1 = 15,①
4 -2 = 1 3 -1 = 6,②
4 -1 15
(1)a4=2,a7=8,求an;

2014--2017理科数学高考题：数列分章节分解

【答案】
第三部分递推关系与通项
（2015理科1）（17）（本小题满分12分）
为数列的前项和.已知，
（Ⅰ）求的通项公式：
（2015理科2）16．设是数列的前n项和，且，，则 ________．
【答案】
第四部分：特殊数列求和
（2014理科2）17.已知数列满足 =1， .
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
【答案】
（2016理科1）3.已知等差数列的前9项的和为27, ,则 ( )
A. 100B. 99C. 98D. 97
【解】选C.
（2016理科2）17.（本题满分 12分）
为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
（Ⅰ）求；
（2017理科1）4.记为等差数列的前项和，若，则的公差为（）
数列分章节
第一部分：等差数列
（2014理科1）17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
（2015理科2）16．设是数列的前n项和，且，，则 ________．
(2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
解：(1)由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
（Ⅱ）证明： .

高中数学高考高三理科一轮复习资料第5章 5.3 等比数列及其前n项和

因为 q＜1，解得 q＝－1 或 q＝－2. 当 q＝－1 时，代入①得 a1＝2，－通项公式 an＝2×(－1)n 1； 1 当 q＝－2 时，代入①得 a1＝2， 1 通项公式 an＝2×(－2)n－1.
点评：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用．尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
高中数学
5．3 等比数列及其前n项和
考纲点击 1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.等比数列的定义如果一个数列从第二项起，①____________等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ② ______.公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 2．通项公式与前 n 项和公式． (1)通项公式：③__________，a1 为首项，q 为公比． (2)前 n 项和公式：当 q＝1 时， ④__________；当 q≠1 时， ⑤______________.
解析：由等比数列的性质知：a1· a19＝16＝a8· a12＝a2 10，∴ a10＝4，则 a8· a10· a12＝a3 10＝64，故选 B. 答案：B
1n 3．若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝3( ) ＋m(n∈N*)，则 2 实数 m 的取值为( ) 3 A．－ B．－1 2 C．－3 D．一切实数n－1 Nhomakorabea1 －2

(安徽专用)2014届高考数学第五章第一节数列的概念与简单表示法课件文新人教A版

变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式． (1)3，5，7，9，„； 1 3 7 15 31 (2) ，，，，，„； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1，，－，，－，，„. 2 3 4 5 6
【解】 (1)各项减去 1 后为正偶数，∴an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22， 23，24，„. 2n－1 ∴an＝ n . 2
【答案】
A
5．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
【解析】当 n＝1 时，a1＝S1＝2；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1] ＝n2－(n－1)2＝2n－1.
2 ∴an＝ 2n－1
（n＝1），（n≥2）.
【答案】
3 ∴an＝ 2n
（n＝1），（n≥2）.
(2)∵log2(2＋Sn)＝n＋1， ∴2＋Sn＝2n＋1，即 Sn＝2n＋1－2，＋ ①当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n 1－2)－(2n－ 2)＝2n， ②当 n＝1 时，a1＝S1＝22－2＝2＝21，故 a1＝2 满足 an＝2n. ∴an＝2n.
2 （n＝1） 2n－1 （n≥2）
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，„； (2)0.8，0.88，0.888，„； 1 1 5 13 29 61 (3) ，，－，，－，，„. 2 4 8 16 32 64 【思路点拨】归纳通项公式应从以下四个方面着手：
1 将本例(2)中“an＋1＝an＋ln(1＋ )”改为“an＋1＝an n 1 ＋ ” ，如何求解？ n（n＋1）

2014届高考数学(文)一轮复习：第五章数列(回扣主干知识+突破热点题型+提升学科素养,289张ppt含解析)

(2)法一：由(1)知，Sn＝32n－n2＝－(n－16)2＋256， ∴当 n＝16 时，Sn 有最大值 256. 法二：由(1)知，
a ＝31＋n－1· －2＝－2n＋33≥0， n an＋1＝31＋n· －2＝－2n＋31≤0
(n∈N*)，
31 33 解得 ≤n≤ ， 2 2 ∵n∈N*，∴n＝16 时，Sn 有最大值 256.
[自主解答]
(1)两式相减，可得 3d＝－6，d＝－2.由已知
可得 3a3＝105，a3＝35，所以 a20＝a3＋17d＝35＋(－34)＝1. (2)设等差数列{an}的公差为 d，
a ＝1， 1 由已知得 a3＝a1＋d2－4， a ＝1， 1 解得 d＝± 2. a ＝1， 1 即 1＋2d＝1＋d2－4，
[答案] (1)1
(2)2n－1
nn＋1 (3)1 4
—————
————————————
等差数列运算问题的通法----方程思想
确定等差数列的关键是确定首项和公差，等差数列的
通项公式、前n项和公式中联系着五个量：1 , d , an , sn , n a 根据方程思想可知三求二。
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已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－
1)d(n≥1，n∈N*)．
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)知an＝3－2n，
3 答案： 4

高考数学(浙江版,理)课件：5.3 等比数列及其前n项和

a1 a2
an 2
答案 (1)D 解析 (1)不妨设公比为q,则 a32 = a12q4,a1·a9=a 12 q8,a2·a6= a12 ·q6,当q≠±1时,A、 B均不正确;又 a42 = a12 q6,a2·a8=a 12 q8,同理,C不正确;由a 62 =a 12 q10,a3·a9=a 12 q10,知D 正确.
检验知n=12时,212-1>211;n=13时,213-1<218,故满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最
大正整数n的值是12.
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个基本量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)在使用等比数列的前n项和公式时,应根据q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.
(2)①由an+1=3an+1得an+1+ 12 =3
an

1 2

.
又a1+ 12 = 23 ,所以 an

1 2

是首项为 3 ,公比为3的等比数列.
2
所以an+ 1 = 3n ,因此{an}的通项公式为an= 3n 1.
22
2
②证明:由①知 1 = 2 . an 3n 1
+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1=3n-1.
(2)设等比数列的公比为q,则q>0,
由a1 q4 a1 q5
1, 2
a1 q6

3,得a1= 312 ,q=2.
( n 1)( n 10 )

2014数列理科高考题答案

2014数列理科高考题1、[2014·福建卷] 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( C)A．8 B．10 C．12 D．142、[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n}的公差为d.若数列{2a1a n}为递减数列，则( C)A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>03、[2014·全国卷] 等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和等于( C)A．6 B．5 C．4 D．34、[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是(D)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列5、[2014·安徽卷] 数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝___1__.6、[2014·北京卷] 若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝___8___时，{a n}的前n项和最大．7、[2014·天津卷] 设{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为__－12_．8、[2014·广东卷] 若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝___50__．9、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n b n＋1－a n＋1b n ＋2b n＋1b n＝0.(1)令c n＝anbn，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n.解：(1)因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0(n∈N*)，所以a n＋1b n＋1－a nb n＝2，即c n＋1－c n＝2，所以数列{c n}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故c n＝2n－1.(2)由b n＝3n－1，知a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，所以S n＝(n－1)3n＋1.10、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．11、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n －1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12、[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．13、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.14、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n ＝（－1）2n ＋122n.④ 由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n 2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 15、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）.16、[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋117、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.18、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q －q n －1＝－1<0，所以s <t .19、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.20、[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n .解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)(i)由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)．所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．(ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4.2014高考文科数列真题1、设n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 124,,S S S 成等比数列，则1a （）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ，选D . 2、等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -3、（辽宁卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >C4、（江西卷）在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围___【答案】718d -<<-【解析】因为170a =>，当且仅当8n =时n S 取最大值，可知0d <且同时满足890,0a a ><，所以，89770780a d a d =+>⎧⎨=+<⎩，易得718d -<<-5、（广东卷）等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++ ＝ 5 .6、（安徽卷）数列{}n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ，*N n ∈（Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n b ={}n b 的前n 项和n S（Ⅰ）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n +-=+.所以{}n a n 是以111a=为首项，1为公差的等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1(1)1n a n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3nn b n =⋅1231323333nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅① 234+13132333-133n n n S n n =⨯+⨯+⨯++⋅+⋅（）②①－②得：1321333332+⋅-++++=-n n n n S1331)31(3+⋅---⨯=n n n 233)21(1-⋅-=+n n所以+1(21)334n n n S -⋅+=7、（北京卷）（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得 344112012843b a q b a --===--，解得2q =．所以()11112n n n n b a b a q ---=-=．从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×．所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．8、（福建卷）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. （1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .9、 (本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足.222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈（1）求1a 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-10、（湖北卷）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.答案（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.11、（湖南卷）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.12、（江西卷）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 解析：（1）当1n =时111a S == 当2n ≥时 ()22131133222n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-检验当1n =时11a = 32n a n ∴=-（2）使m n a a a ，，1成等比数列. 则21n m a a a = ()23232n m ∴--=即满足()2233229126m n n n =-+=-+所以2342m n n =-+则对任意1>n ，都有2342n n N *-+∈所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.13、（全国大纲卷）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.14、（山东卷）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .15、（全国1卷）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

【金版教程】2014届高考数学总复习第5章第4讲数列的求和课件理新人教A版

a3＋a7＋…＋a2011＝1＋1＋…＋5013个＝503； a4＋a8＋…＋a2012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2012＋1)＝ 503×52＋2013＝503×1009；故 S2012＝503－503×1005＋503＋503×1009 ＝503×(1－1005＋1＋1009)＝3018.
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S40＝
________.
(2)数列{an}中，an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项和
Sn＝9，
则项数 n 等于________．
4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
＝n2＋1－21n.
(2)2n－21n
提示：S2n＝1·11－－22n＋1211－－1221n＝2n－21n.
2．填一填：(1)12 提示：∵f(x)关于(12，1)对称，则有 f(x)＋f(1－x)＝2，
∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6) S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋…＋f(－4)＋f(－5) ∴2S＝2×12，∴S＝12.
(1)数列 112，314，518，7116，…的前 n 项和 Sn＝________. (2)数列 1，12，2，14，4，18，…的前 2n 项和 S2n＝________.
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的． (2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如， Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97) ＋…＋(2＋1)＝5050.

2014理数——数列

2014年全国各省市高考理数——数列1.北京理5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件2.福建理3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D3.辽宁理8. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >4.大纲理10. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．35.重庆理2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（） 139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列6.安徽理（12）数列{}n a 是等差数列，若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= .7.北京理12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.8.广东理13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则=+++n a a a 221ln ln ln 。

9.上海理8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若)(431lim n n a a aa +++=∞→ , 则q = .10.天津理（11）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.11.江苏7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .参考答案：1. D2.C3.C4.C5.D6. 17. 88.509.21510.12-11. 4。

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a11－qn －a1qn a1 解析：由题意可知 q≠1，Sn＝＝＋， 1－q 1－q 1－q 1 a1 比较系数得，q＝2，m＝＝－3. 1－q 答案：C
(
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则 an＝ ) －－ A．(－2)n 1 B．－(－2n 1) C．(－2)n D．－(－2)n 解析：设等比数列{an}的公比为 q. ∵|a1|＝1，∴a1＝1 或 a1＝－1. ∵a5＝－8a2＝a2q3，∴q3＝－8，q＝－2. 又 a5＞a2，即 a2q3＞a2，∴a2＜0. 而 a2＝a1q＝a1· (－2)＜0， ∴a1＝1，∴an＝(－2)n－1. 答案：A
解析：本题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力． n＋2 (1)证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ n Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. Sn＋1 Sn ∴ ＝2 n . n＋1 Sn 故数列{ n }是等比数列．
Sn＋1 Sn－1 (2)证明：由(1)知＝4· (n≥2)，于是 Sn ＋1 ＝4(n＋ n＋1 n－1 Sn－1 1)· ＝4an(n≥2)． n－1 又 a2＝3S1＝3，故 S2＝a1＋a2＝4＝4a1. 因此对于任意正整数 n≥1，都有 Sn＋1＝4an.
题型探究题型一等比数列中基本量的计算例 1 设等比数列{an}的公比 q＜1，前 n 项和为 Sn.已知 a3 ＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
a11－qn 解析：由题设知 a1≠0，Sn＝， 1－q a1q2＝2 ① a11－q2 则a11－q4 ② 1－q ＝5× 1－q 由②得 1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0， (q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
答案：(1)A (2)70 (3)32
点评：①等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前 n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．②巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
变式探究 3 在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比 q∈ (0,1)，且 a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3 与 a5 的等比中项为 2，求数列{an}的通项公式．
变式探究 1 等比数列{an}同时满足下列三个条件： 32 2 4 2 (1)a1＋a6＝11；(2)a3·4＝ 9 ；(3)三个数3a2、a3、a4＋9依 a 次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．
32 解析：由等比数列的性质知 a1a6＝a3a4＝ 9 ，
a1＋a6＝11， ∴ 32 a a1·6＝ 9 ， a ＝1， 1 3 解之得 a6＝32 5 a ＝32， 1 3 或 a6＝1 3
题型二等比数列的判定与证明例 2 设数列{an}中 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设 bn＝an＋1－2an，求证{bn}是等比数列． (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解析：(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2， ∴Sn＋2－Sn＋1＝an＋2＝4an＋1－4an， ∴an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)， ∴bn＋1＝2bn，{bn}为等比数列． (2)解：∵Sn＋1＝4an＋2， ∴a2＝3a1＋2＝5， ∴b1＝a2－2a1＝3， 31－2n ∴Tn＝＝3·n－3. 2 1－2
3．等比中项如果⑥__________成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒⑦ ________________.
4．等比数列的主要性质 (1){an}是等比数列⇒{c·n}是等比数列(c≠0)． a an (2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·n}、b 是等比数列． b n am (3){an}为等比数列，则 a ＝⑧__________. n (4)若 m、n、p、q∈N*且 m＋n＝p＋q，则 am·n＝ap·q.特 a a 别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…. (5)等间隔的 k 项和(或积)仍成等比数列． (6)非零常数列既是等差数列，也是等比数列．
(7)等比数列{an}的单调性 a ＞0， a ＜0， 1 1 当，或时， {an} 为递增数列，当 q＞1 0＜q＜1
a ＞0， 1 0＜q＜1， a ＜0， 1 或 q＞1
时，{an}为递减数列．
答案：①每一项与它前一项的比 ②公比 ③an＝a1qn 1 a11－qn a1－anq ④Sn＝na1 ⑤Sn＝＝ ⑥a，G，b ⑦G2＝a· b 1－q 1－q ⑧qm－n
a ＝32， 1 a ＝， 1 3 1 3 ⇒ 或 q＝2 q＝1. 2
1 n－1 1 6 －n ∴an＝ · 或 an＝ · . 2 2 3 3 1 n －1 若 an＝ · ， 2 3 2 4 32 32 2 则3a2＋a4＋9＝ 9 ，2a3＝ 9 . 2 4 2 ∴3a2，a3，a4＋9成等差数列， 1 6 －n 2 4 2 若 an＝3· ，3a2＋a4＋9≠2a3(舍去)． 2 1 n－1 ∴通项公式为 an＝3· . 2
题型三等比数列的性质及应用例 3(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5， a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝( ) A．5 2 B．7 C．6 D．4 2 (2)已知数列{an}是等比数列，且 Sm＝10，S2m＝30，则 S3m ＝__________(m∈N*)． (3)在等比数列{an}中，公比 q＝2，前 99 项的和 S99＝56，则 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝__________.
解析：由等比数列的性质知：a1·19＝16＝a8·12＝a2 ，∴ a a 10 a10＝4，则 a8·10·12＝a3 ＝64，故选 B. a a 10 答案：B
1n 3．若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn＝3( ) ＋m(n∈N*)，则 2 实数 m 的取值为( ) 3 A．－ B．－1 2 C．－3 D．一切实数
解析：因为 a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，所以 a2＋2a3a5＋a2＝25. 3 5 又 an＞0，所以 a3＋a5＝5. 又 a3 与 a5 的等比中项为 2，所以 a3a5＝4，而 q∈(0,1)，所以 a3＞a5. 1 所以 a3＝4，a5＝1，q＝，a1＝16. 2 1 －所以 an＝16×2n 1＝25－n.
新题速递 1.(2012· 安徽卷)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数，且 a3a11＝16，则 a5＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8
解析：∵公比为 2 且 a3a11＝16，∴a1×22×a1×210＝16， ∴a2×212＝16，又 an＞0，∴a1×26＝4，而 a5＝a1·4， 2 1 ∴a5＝1. 答案：A
•失误与防范 1．特别注意 q＝1 时，Sn＝na1 这一特殊情况． 2．由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. 3．在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1 分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特殊情形而导致解题失误． 4．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度.
点评：定义证明等比数列是最基本的方法．本题首先由 Sn 与 an 的关系转化为 an 的递推关系，再构造 bn 的形式．本题若是先求 an，则较麻烦．
变式探究 2 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an n＋2 ＋1＝ n Sn(n＝1,2,3，…)，证明： Sn (1)数列{ n }是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
1 5．在等比数列{an}中， a1＝， 4＝4，若 a 则公比 q＝______； 2 a1＋a2＋…＋an＝________.
1 3 解析：a4＝a1q ，得 4＝2q ，解得 q＝2，a1＋a2＋…＋an
3
1 1－2n 2 1 n－1 ＝＝2 －2. 1－2 Nhomakorabea答案：2 2
n－1
1 －2
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．
3．等比数列的前 n 项和 Sn (1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．－ (2)等比数列的通项公式 an＝a1qn 1 及前 n 项和公式 Sn＝ a11－qn a1－anq ＝ (q≠1)共涉及五个量 a1，an，q，n，Sn，知 1－q 1－q 三求二，体现了方程的思想的应用． (3)在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果不确定 q 与 1 的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况.
归纳总结 •方法与技巧 1．等比数列的判定方法有以下几种： an＋1 (1)定义：＝q(q 是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． an (2)通项公式：an＝cqn－1(c、q 均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an} 是等比数列． (3)等比中项法： 2＋1＝an·n＋2(an·n＋1·n＋2≠0， an a a a n∈N*)⇔{an}是等比数列． 2．方程观点以及基本量(首项和公比 a1，q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在 a1，q，n，an，Sn 五个量中，知三求二．
5．3 等比数列及其前n项和
考纲点击 1.理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系