人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析

中考专题——与圆有关的证明和计算
纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。

考查的类型：
（1）线段、角以及切线的证明；
（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.
例题精讲：
1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．
3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
补充练习：
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)
2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
(1)求证：直线DF与⊙O相切；
(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．
4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.
6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；
3，求DE的长；
（2）若AO=6，DC=3
3，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3
答案解析
例题精讲：
1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，
∴S阴影=S扇形EOD==．
2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．
（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．
在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．
在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．
3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，∴BC==4，
∴△ABC外接圆的半径=×4=2．
4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，
∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，
在Rt△AOD中，AD=OD=，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF
=2××1×﹣=﹣．
5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；
（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．
补充练习：
1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线
（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4
∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形
∴OD=CE=BD=CD=2
∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ3
2-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影
2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径
∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC
（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°
∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°
设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴2
2)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212π
π=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影
3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。

∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C ，∴∠ODC=∠B ，∴OD ∥AB.∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF ，∵点D 在⊙O 上，∴直线DF 与⊙O 相切
（2）∵四边形ACDE 是⊙O 的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD.∵∠B=∠B ，∴△BED ∽△BCA ，∴
BC BE BA BD =，∵OD ∥AB ，AO=CO ，∴BD=CD=21BC=3，又∵AE=7，∴6
73BE BE =+，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9 4、（l ）证明：连接OD ，∵D 为弧BC 的中点，∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,∴∠CAD=∠ADO,∵DELAC,∴∠E=90°，∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，∴OD ⊥EF ，∴EF 为半圆O 的切线；
（2）解：连接OC 与CD ，∵DA=DF,∴∠BAD=∠F,∴∠BAD=∠F=∠CAD,
又∵∠BAD+∠CAD -∠F=90°,∴∠F=30°,∠BAC=60°,∵OC=OA,∴△AOC 为等边三角形，∴∠A0C=60°,∠COB=120,∵OD ⊥EF,∠F=30°,∴∠DOF=60°,
在Rt △ODF 中，DF=63,∴OD=DF ·tan30°=6,在Rt △AED 中，DA=63，∠CAD=30°，∴DE=DA ·sin30=33,EA=DA ·cos30°=9,
∵∠COD=180°-∠AOC -∠DOF=60°,由CO=DO,∴△COD 是等边三角形，
∴∠OCD=60°,∴∠DCO=∠AOC=60°,∴CD ∥AB,故S △ACD=S △COD
∴ππ6-2
327360660-339212=⨯⨯=-∆=COD S AED S S 扇形阴影
5、（1）证明：连接OC ，如图，∵∠A=∠CBD,∴BC=DC,∴OC ⊥BD, ∵CE ∥BD,∴OC ⊥CE,∴CE 是⊙O 的切线；
（2）证明：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∵CF ⊥AB,∴ACB=∠CFB=90°, ∴∠ABC=∠CBF,∴∠A=∠BCF ∵∠A=∠CBD ∴∠BCF=∠CBD
∴CG=BG ∵∠DBA=30°，CF ⊥AB ，∴GF=2
1BG ，BF=3GF ，∵CG=BG,CG=8,∴GF=4,BF=43
∵CE ∥BD,∴∠E=∠DBA=30°,∴EF=3CF=123.∴BE=EF -BF=123-43=83.
6、（1）证明：连接OC ，如图1，∵AC 平分∠EAB，∴∠1=∠2,∵OA=OC, ∴∠2=∠3,∴∠1=∠3∴OC ∥AD,∵AD ⊥CD,∴OC ⊥CD,∴DC 是⊙O 切线；
（2）解：连接BE 交OC 于H ，如图1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90° ∵OC ∥AD,∴∠OHB=90°∴EH=BH ，四边形
CDEH 为矩形，∴CD=EH=33,CH=ED, ∴BH=33，在Rt △OBH 中，OH=333-622=）（∴CH=6-3=3，∴DE=3；
（3）解：连接OC ，如图2，设⊙O 的半径为r ，∵AC 平分∠BAD，CD ⊥AD ，CF ⊥AB ，∴CD=CF ，∴AD=AF=AO+OF,∵AD-OA=1.5,∴AO+OF-OA=1.5，即OF=1.5， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°∴∠CAF=∠BAC,∴△ACF ∽△ABC ∴AC AF AB AC =，即3
35.1233+=r r ，解得：r=29-（舍去），r=3
在Rt △OCF 中，cos ∠COF=3
5.1=OC OF ∴∠C0F=60，∴CF=3OF=233, ∴图中阴影部分面积=4
3923233321360360-2-=⨯⨯-=∆ππOCB S BOC S 扇形。