04 函数的概念、定义域及解析式(考点+解析)

1．函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：y =f (x )，x ∈A 。

注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；
（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
3．两个函数的相等：
定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示
5．映射的概念
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

记作“f ：A →B ”。

6．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系
) A .f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln x B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2
C ．f (x )＝1－x 2，g (x )＝1－|x |，x ∈【－1,1】
D ．f (x )＝log a a x (a >0且a ≠1)，g (x )＝3
x 3
【分析】 对于两个函数y ＝f (x )和y ＝g (x )，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y ＝f (x )和y ＝g (x )才表示同一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然．
【解析】 A 定义域不同，B 值域不同，C 对应法则不同，故选D.
【拓展练习】1．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①32)(x x f -=与x x x g 2)(-=， ②x x f =)(与2)(x x g =，
③0)(x x f =与1)(=x g ，
④12)(2--=x x x f 与12)(2--=t t t g A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 【解析】：①定义域不同 ③定义域不同
0)(x x f = k 中0≠x ②④中两个函数定义
域，解析式，值域相同，是相同函数 答案：C
【例2】(RJA1第22页题改编)以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？
(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1
1
+x ；
(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ； (3)A ＝{α|0°≤α≤180°}，B ＝{x |0≤x ≤1}．f ：求余弦；
(4)A ＝{平面α内的矩形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：作矩形的外接圆．
【分析】 应该这样思考，什么是映射？映射这个概念应满足什么要求？然后作出判断．
【解析】 (1)当x ＝－1时，y 值不存在，所以不是映射．
(2)不是映射，如A 中元素x ＝1时，在f 作用下，B 中有两个元素±1，不具备惟一性．
(3)不是映射，例如当α＝180°时，在B 中没有元素与之对应．
(4)由于平面内每一个矩形只有一个外接
要点 梳 理 考点剖析
相同函数判断问题 判断是否是映射问题 第4讲
函数的概念、定义域及解析式
圆与之对应，所以这个对应是从集合A 到B 的一个映射． 【点评】 欲判断对应f ：A →B 是否是从A 到B 的映射，必须做两点工作： ①明确A 、B 中的元素．
②根据对应判断A 中的每个元素是否在B 中能找到惟一确定的对应元素． 【拓展练习】2.已知A ＝{1，－1}，映射f ：A →A ，则对于x ∈A ，下列关系中一定错误的是( )
A ．f (x )＝x
B ．f (x )＝－1
C ．f (x )＝x 2
D ．f (x )＝x ＋2
【解析】 对于对应法则：f (x )＝x ＋2，当x ＝1时，x ＋2＝3∉A ＝{1，－1}；而对应法则f (x )＝x ，f (x )＝－1，f (x )＝x 2能使“若x ∈A ，则f (x )∈A ”成立，故选D.
【例3】(2015全国1文12)设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )
（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4
【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a
=--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C.
【考点】函数对称；对数的定义与运算
【名师点睛】对已知两个函数的关系及其中一个函数关系式解另一个函数问题，常用相关点转移法求解，即再所求函数上任取一点，根据题中条件找出该点的相关点，代入已知函数解析式，即可得出所求函数的解析式.
【拓展练习】3.(2015全国1文10)已知函数
12
22,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则
(6)f a -=（ ）
（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）1
4
-
【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，
1()223a f a -=-=-，
则121a -=-，此等式显然不成立，
当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，
∴(6)f a -=(1)f -=117
224
---=-，故选A.
【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解
析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解. 4.(2016·山东文9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，
f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f 12x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭＝
f 12x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.则f (6)＝( )
A.－2
B.－1
C.0
D.2
【解析】 当x ＞12时，f 12x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭＝
f 12x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，
∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，
∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.
【例4】(2015湖北文6)函数
256
()4||lg
3
x x f x x x -+--的定义域为（ ）
A ．(2,3)
B ．(2,4]
C ．(2,3)(3,4]
D ．(1,3)(3,6]- 【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：
256
4||0,03
x x x x -+-≥>-，解之得44≤≤-x ,
2>x 且3≠x ，即函数()f x 的定义域为(2,3)
(3,4]，故应选C .
【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.
【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性. 【拓展练习】 5.(2014·山东文3) 函数f (x )
＝1log 2x －1
的定义域为( )
A ．(0，2)
B ．(0，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
【解析】 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2. C
求函数解析式 函数的定义域
6.(2014山东理)函数f (x )＝
1
log 1
2
2-）（x 的定义
域为( )
A.⎪⎭⎫
⎝⎛210， B ．(2，＋∞) C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，∪(2，＋∞) D.⎥⎦
⎤
⎝⎛210，∪[2，＋∞)
【解析】 (log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－
1，解得x >2或0<x <1
2，故所求的定义域是⎪⎭
⎫
⎝⎛210，∪(2，＋∞)． 7.(2016全国2文10）. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是
（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D
）y =
【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．
8.(2014江西理) 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )
A ．(0,1)
B ．[0,1]
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【解析】由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 9.(2015重庆文3)函数22(x)log (x 2x 3)f 的定义域是（ ）
(A) [3,1] (B) (3,1)
(C)(,3][1,)-∞-+∞(D) (,3)(1,)-∞-+∞ 【解析】由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ，故选D.
【考点定位】函数的定义域与二次不等式. 【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解.
本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零.
.
【例】已知22
1
)1(x
x x x f +=+ ,求)1(-x f .
【错解】 由已知得 2)1()1(2-+=+x
x x x f , ∴2)(2-=x x f
∴122)1()1(22--=--=-x x x x f . 【错解分析】 在使用直接配凑法或换元法求函
数解析式时,没有考虑定义域的变化而致错.也就是说在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换
【正解】 由已知得
2)1
()1(2-+=+x x x x f ,
但x
x 1
+≥2,则2)(2-=x x f (|x |≥2),从而
122)1()1(22--=--=-x x x x f (x ≥3或x ≤-1).
1．(2013·安徽文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.
【解析】当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，
由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－1
2x (x ＋1)．
【点评】本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．
2．a 、b 为实数，集合M ＝{b
a ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋
b 的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
【解析】 ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b
a )
＝1，则有b
a ＝1，与集合元素的互异性矛盾，
∴f (b
a )＝0，∴
b ＝0，∴a ＋b ＝1.
3.(2013·安徽文11) 函数y ＝
1
ln(1+)x
+________．
【解析】 实数x 满足1
1+x
>0且21x －≥0.
不等式11+x >0，即1
x x
+>0，解得x >0或
x <－1；不等式21x －≥0的解为－1≤x ≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．
4.函数()f x 对于任意实数x 满足条件
()()1
2f x f x +=，若()15,f =-则
()()5f f =___； 【解析】：由()()12f x f x +=得
()()
1
4()2f x f x f x +==+，
所以(5)(1)5f f ==-，则
()()5(5)11(1)(12)5
f f f f f =-=
-==-
-+。

【点评】通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。

5.已知2
(1)lg f x x +=，求()f x ；
【解析】令21t x +=（1t >），则2
1x t =-，
∴2()lg 1f t t =-，2
()lg (1)1
f x x x =>-。

【点评】用换元法
6.(2015·绵阳市一诊)已知函数f (x )＝3x －2
2x －1
，
则12310+11111111f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝_____.
【解析】 因为f (x )＝3x －2
2x －1
，所以f (1－x )＝
3（1－x ）－22（1－x ）－1＝3x －1
2x －1
，
所以f (x )＋f (1－x )＝3，所以所求＝3×10
2＝15. 7.(2016·衡水中学调研)下列函数中，与函数
y ＝31
x 的定义域相同的是( )
A.y ＝1sin x
B.y ＝ln x x
C.y ＝cos x
x D.y ＝x 3e x
【解析】 易知函数y ＝31
x
的定义域为{x |x ≠0}，
而函数y ＝1
sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，函
数y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，函数y ＝cos x x 的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝x 3e x 的定义域为实数
集R ，所以与函数y ＝31
x
的定义域相同的函数
是y ＝cos x
x ，故选C.
8.(2013·广东高考改编)函数y ＝lg(1)
1
x x +-的
定义域是________．
【解析】 要使函数有意义，需⎩
⎨⎧
x ＋1>0，
x －1≠0，解
得x >－1且x ≠1.[答案] (－1,1)∪(1，＋∞)
9．（2014·北京文2） 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )
A ．y ＝e －x
B ．y ＝x 3
C ．y ＝ln x
D ．y ＝|x |
【解析】 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. B
10．（2013·辽宁文7） 已知函数 2()=ln(193)+1f x x x +-，则f (lg 2)＋f （lg 1
2）＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
【解析】 由已知条件可知，22()+()
=ln(193)+1+ln(193)+1=2
f x f x x x x x -+-++，而l
g 2＋lg 1
2＝lg 2－lg 2＝0，故而
()lg 2f ＋1lg 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝2. 11.(2014·江西文4)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
a ·2x ，x ≥02－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( ) A.14 B. 1
2 C ．1 D ．2
【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝(1)2－－＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22
＝1，解得a ＝1
4.答案 A
12.(2015·陕西文4)设f (x )＝1,0,
2,0.
x
x x x ⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则f (f (－2))＝( )
A ．－1 B.14 C.12 D.3
2
【解析】∵f (－2)＝2－2＝1
4＞0，则f (f (－2))
＝14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
＝1141－12＝12，故选C.。