高三数学棱柱和棱锥的概念和性质

• 【解析】 ①错，必须是两个相邻的 侧面．②正确．③错，可以是一个斜 四棱柱．④正确，对角线两两相等， 则此两对对角线组成的平行四边形为 矩形．
• 【答案】 ②④
棱柱、棱锥中的平行与垂直
如图所示，在直三棱柱 ABC— A1B1C1 中，∠ACB＝90°，AB＝2， BC＝1，AA1＝ 3. (1)证明：A1C⊥平面 AB1C1； (2)若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE∥ 平面 AB1C1？证明你的结论．
(2)∵CD∥AB， ∴∠MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的 角(或其补角)． 作 AP⊥CD 于点 P，连结 MP， ∵OA⊥平面 ABCD，∴CD⊥M 2，∴cos∠MDP ＝MDPD＝12， ∠MDC＝∠MDP＝π3. ∴AB 与 MD 所成角的大小为π3.
• (3)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多
边
中心
形，并且顶点在底面的射影是底面的
_这_样__的_，棱锥叫做正棱锥．有如下相性等质：
• ①正棱锥直角各三侧角棱形相等，各侧面都是全等
的等
直角三角形
腰三角形，各等腰三角形底边上的高
_____．
• ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的
• 1．棱柱成为直棱柱的一个必要非充分条件 是( )
【思路点拨】 (1)AE⊥BC，AE⊥BB1 AE⊥ 平面 BCC1B1 平面 DB1E⊥平面 BCC1B1 (2)作出异面直线所成角 利用余弦定理求角
得异面直线所成角
(3)作 C1H⊥B1E 于 H △B1HC1∽△EBB1 CB1BH1＝BB11CE1 求出 C1H 得点 C1 到平面 DB1E 的距离
【解析】 设正四棱柱高为 h，则 h2＋12＋12＝2，
∴h2＝2，h＝ 2， ∴ 表 面 积 S ＝ 2 ×1×4 ＋ 1×1×2 ＝ 2 ＋ 4 2.
【答案】 2＋4 2
5．若正四棱锥的底面边长为 2 3cm，体 积为 4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面 角的大小是________．
【解析】 (1)如图所示，作 BC 边中点 M， ∵△VBC 为等腰三角形， ∴VM⊥BC， 过 V 作 VO⊥底面 ABCD， ∴VO⊥MO，MO⊥BC， ∴∠VMO 为其侧面与底 面所成二面角的平面角．
2.了解棱锥的概念，掌握正棱锥的 性质，会画正棱锥的直观图.
1.以客观题考查棱柱、棱锥的概念 热点 和性质.
提 2.以棱柱、棱锥为载体的解答题综 示 合考查线面位置关系以及角、距
• 1．棱柱
• (1)定义
每• 相如其邻果余一个多面体有两个面互相平行， ______两个面的交线互相平行，这样 的多 面体底叫面边做数棱柱．
• [教师选讲]下面是关于四棱柱的四个 命题：
• ①若有两个侧面垂直于底面，则该四 棱柱为直四棱柱；
• ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于 底面，则该四棱柱为直四棱柱；
• ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱 为直四棱柱；
• ④若四棱柱的四条对角线两两相等， 则该四棱柱为直四棱柱．
• 其中，真命题的编号是
3特殊的四棱柱棱柱底面是平行四边形四棱柱侧棱与底面平行六面体平行六面体底面是平行四边形底面是正方形正四棱柱长方体正方体侧棱与底面垂直直平行六面体底面是矩形棱长都相等?4长方体对角线的性质?长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的
第六节 棱柱、棱锥的概念和性质
考纲 点 击
1.了解棱柱的概念，掌握棱柱的性 质，会画直棱柱的直观图.
∵平面 DB1E⊥平面 BCC1B1，
C1H⊂平面 BCC1B1，
∴C1H⊥平面 DB1E，
∴C1H 的长即为点 C1 到平面 DB1E 的距离．
∵△B1HC1∽△EBB1，∴CB1BH1＝BB11CE1，
∴C1H＝BB11CE1×BB1＝8
3
3 .
故点
C1
到平面
DB1E
的距离为8
3
3 .
• 多年来高考题中经常以棱柱、棱锥为 载体，进行条件构造、设计来考查柱 体、锥体的概念、性质及空间想象能 力．题型有两个方面：一是考查相关 几何体的有关概念和性质，面积、体 积的计算等；二是将棱柱、棱锥作为 载体考查立体几何的综合问题，如线 面位置关系的论证，空间角与距离的 求解，折叠与展开问题，最值与定值 问题等，考查方式十分灵活．
(3)∵AB∥平面 OCD，∴点 B 和点 A 到平面 OCD 的距离相等，连结 OP，过点 A 作 AQ⊥OP 于点 Q. ∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面 OAP， ∵AQ⊂平面 OAP，∴AQ⊥CD. 又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面 OCD，线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离．
• 【思路点拨】 (1)充分挖掘已知条件， 利用线面垂直的判定定理；
• (2)利用线面平行的判定定理或面面平 行的性质定理．
【自主解答】 (1)证明：因为∠ACB＝90°， 所以 BC⊥AC. 因为三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱， 所以 BC⊥CC1， 因为 AC∩CC1＝C，所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 A1C⊂平面 ACC1A1，所以 BC⊥A1C. 因为 BC∥B1C1，所以 B1C1⊥A1C. 在 Rt△ABC 中，AB＝2，BC＝1，
• ②棱柱的两个底面与平行于底面的截 面是对
• 2．棱锥
• (边1)定义：如果一一个个公多共面顶体点的一个面是多 形，其余各面是有____________的三 角形， 那么这个多面相体似叫做棱锥．
• (2)棱锥的性质定理
• 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那 么所 得的截面与底面____，截面面积与底面
• 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面 面的平行与垂直的证明，除了要正确 使用判定定理与性质定理外，对几何 体本身所具有的性质也要正确把 握．如正棱锥、正棱柱的特性，特殊 三角形、特殊梯形的使用等，其次还 要注意各种平行与垂直之间的相互转 化，如将线线平行转化为线面平行或 面面平行来解决．
1．(2008 年安徽)如图所示，在 四棱锥 O—ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，
• A．棱柱有一条侧棱和底面垂直 • B．棱柱有一条侧棱和底面的两边垂直 • C．棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直 • D．棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直 • 【解析】 A是充要条件；C是非必要条件；
D是充要条件． • ∴正确答案是B. • 【答案】 B
• 2．棱锥的侧棱都相等，所有的侧面 上的高也相等，则这个棱锥的底面是
长__方__体__―底―面―是―正―方―形→正四棱柱―棱―长―都―相―等→ _正__方__体_
• (4)长方体对角线的性质
• 长点方上体三平一方条和对角线的平方等于一个顶 • 条(5)棱棱长柱的的_性__质___．平行四边形矩形 • ①棱柱的各个侧面都是___________，
所有侧 棱都相等；直全棱等柱多的边各形 个侧面都是 _____；正 平棱行四柱边的形各个侧面是全等的矩形．
【解析】 (1)证明：连结 AE. ∵AB＝AC，且 E 为 BC 的中点， ∴AE⊥BC， ∵BB1⊥平面 ABC， ∴AE⊥BB1， ∵BC∩BB1＝B， ∴AE⊥平面 BCC1B1， ∵AE⊂平面 DB1E， ∴平面 DB1E⊥平面 BCC1B1.
(2)取 AE 中点 F，连结 DF、BF.
• ③假．如当底面是正方形时，底面四 边形存在外接圆，但顶点在底面上的 射影不是底面中心时，这个四棱锥显 然不是“等腰四棱锥”；
• ④假．理由同③；
• ⑤真．因为由①知底面存在外接圆， 故等腰四棱锥的各顶点必在同一球面 上，球心在该棱锥的高上．故填①⑤.
• 【答案】 ①⑤
• 本题要注意“等腰四棱锥”的定义， 并会研究其简单的性质与判定方 法．掌握“侧棱都相等，则侧棱与底 面所成的角都相等”，“侧棱都相等， 则底面多边形有外接圆”，“棱锥各 侧面三角形的高相等，且顶点在底面 上的射影在底面多边形内，则侧面与 底面所成的角都相等”等一些常用结 论．
∵D 是 AB1 的中点 ∴DF∥B1E ∴∠BDF 是 A1B 和 B1E 所成角． 在△BDF 中
BF＝ BE2＋EF2＝ 10
DB＝12A1B＝2 2
DF＝ 22＋( 2)2＝ 6
∴cos∠BDF＝(2
2)2＋( 2×2
6)2－( 10)2 2× 6
＝
1＝ 12
3 6
(3)作 C1H⊥B1E 于 H，
• 【自主解答】 ①真．因为“等腰四 棱锥”四条侧棱长都相等，故在底面 上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心， 所以腰与底面所成的角都相等；
• ②假．如当底面是矩形(不是正方形) 时，且顶点在底面上的射影是底面中 心时，这个四棱锥是“等腰四棱锥”， 但它的侧面与底面所成的二面角显然 不都相等或互补．故是假命题．
∵OP ＝ OD2－DP2 ＝ OA2＋AD2－DP2 ＝
4＋1－12 ＝3 2 2， AP＝DP＝ 22，
2 ∴AQ＝OAO·PAP＝23·22 ＝23.
2 ∴点 B 到平面 OCD 的距离为23.
棱柱、棱锥中的角与距离
在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AA1＝AB ＝ AC ＝ 4 ， ∠BAC ＝ 90°， D 为 侧 面 ABB1A1 的中心，E 为 BC 的中点． (1)求证：平面 DB1E⊥平面 BCC1B1； (2)求异面直线 A1B 与 B1E 所成的角； (3)求点 C1 到平面 DB1E 的距离．
• ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都 相等；
• ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二 面角都相等或互补；
• ③底面四边形存在外接圆的四棱锥是 等腰四棱锥；
• ④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱 锥；
• ⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面 上．
• 其中真命题为________(写出所有真 命题的序号)．
• 【思路点拨】 根据定义进行判断
• (2)分类
• 分类方法有两种：
• ①按_________可分为：三棱柱、四
②按侧__棱__与__底__面__是否垂直分为：直棱柱、斜棱
柱，直棱柱又可按底面是不是正多边形分为： 正棱柱、其他直棱柱． (3)特殊的四棱柱
四棱柱―底―面―是―平―行―四―边―形→__平__行__六__面__体__
侧―棱―与―底 ――面―垂→直直平行六面体―底―面―是―矩―形→
• B．至多只能有一个是直角三角形
• C．至多只能有两个是直角三角形
• D．可能都是直角三角形
• 【解析】 例如三棱锥P—ABC中， 若PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四 个侧面均为直角三角形．
• 【答案】 D
4．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长 为 1 cm ， 那 么 该 棱 柱 的 表 面 积 为 ________cm2.
因为 E、F 分别为 AB、BB1 的中点， 所以 EF∥AB1. 因为 AB1⊂平面 AB1C1. EF⊄平面 AB1C1， 所以 EF∥平面 AB1C1.
同理可证 FD∥平面 AB1C1.因为 EF∩FD＝F， 所以平面 EFD∥平面 AB1C1. 因为 DE⊂平面 FED， 所以 DE∥平面 AB1C1.
所以 AC＝ 3.
因为 AA1＝ 3， 所以四边形 ACC1A1 为正方形． 所以 A1C⊥AC1. 因为 B1C1∩AC1＝C1， 所以 A1C⊥平面 AB1C1，
(2)存在．当点 E 为棱 AB 的中点时，DE∥
平面 AB1C1. 如图所示，取 BB1 的中点 F，连结 EF，FD， DE，
()
• A．直角三角形
B．菱形
• C．正多边形
D．矩形
• 【解析】 由侧棱相等知顶点在底面 上的射影为底面多边形的外心，又侧
面上高都相等知顶点在底面上的射影
为底面多边形的内心，因此底面为正 多边形．
• 【答案】 C
• 3．一个三棱锥，如果它的底面是直 角三角形，那么它的三个侧面( )
• A．必然都是非直角三角形
∠ABC＝π4，OA⊥底面 ABCD， OA＝2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点．
• (1)证明：直线MN∥平面OCD； • (2)求异面直线AB与MD所成角的大小； • (3)求点B到平面OCD的距离．
• 【解析】 (1)证明：取OB中点E，连 接ME，NE
• ∵ME∥AB，AB∥CD • ∴ME∥CD • 又∵NE∥OC • ∴平面MNE∥平面OCD • ∴MN∥平面OCD.
∵V 锥＝13SABCD·VO， ∴4＝13·(2 3)2·VO，∴VO＝1. 又∵OM＝223＝ 3，VO⊥MO， ∴∠VMO＝30°， ∴侧面与底面所成的二面角为 30°.
【答案】 30°
棱柱、棱锥的概念与性质
•
如果四棱锥的四条侧棱长都相
等，就称它为“等腰四棱锥”，四条
侧棱称为它的腰，以下5个命题中：