高中数学解三角形题常见误区

解三角形题常见误区[错解剖析]
文章来源：现代教育报·思维训练作者：窦桐斌点击数：913 更新时间：2007-3-9 16:20:27
三角形与全等三角形是初中数学的基础知识，是中考必考的内容.我们在应用时常会出现以下几方面的错误，希望能从中吸取教训，避免以后出现类似错误.
1.对三角形高线概念理解不清
【例1】画钝角△ABC边AC上的高BE.
错解：如下图，有两种画法：
【错解分析】不理解高的定义，首先要明白三角形的高线是线段，其次要知道三角形一边上的高线是过此边相对的顶点的垂线.
正解：从B点向对边AC画垂线，垂足为E，如图所示.
2.不能正确找出全等三角形的对应边和对应角
【例2】如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，说出对应角和另外一组对应边.
错解：∠DCA与∠BCA，∠DAC与∠BAC，∠D与∠B是对应角，另一组对应边AC和AC.
【错解分析】识图能力差，未能将两个全等三角形分离；对全等三角形的表示法理解不透.
正解：对应角是∠D与∠B、∠BAC与∠DCA、∠BCA与∠DAC，另一组对应边是AC和CA.
3.忽略三角形全等所要求的条件，一方面没有按照条件中的顺序来逻列条件，二方面对条件理解不透，三方面对“对应”二字理解不深，不透
【例3】如图所示，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=
∠CAE.
错解：在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC .
∴∠BAE=∠CAE.
【错解分析】本题错在判定△AEB≌△AEC时，用了“边边角”的判定法，这是不正确的，因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
正解：在△BEC中，∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB.
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB. ∴AB=AC.
在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC.
∴∠BAE=∠CAE.
【例4】已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，说明这两个三角形是否全等.
错解：这两个三角形全等
【错解分析】对“ASA”全等识别法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.
正解：这两个三角形不一定全等.如图所示，Rt△ABC和Rt△EDC，
在Rt△EDC中，CD=AB，∠1=∠2，∠C=∠C=90°，
显然△ABC与△EDC不全等.
4.判断全等三角形有几对，由于观察方法不对经常出现重复或遗漏的错误
【例5】如图所示，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点（不是中点），且AD=BE=CF，图中全等三角形组数为（）.
Ａ. 3组
Ｂ. 4组
Ｃ. 5组
Ｄ. 6组
错解：A.
【错解分析】没有灵活运用所给条件，只是直接运用了已知条件就做出判断.全等三角形共有6组，分别是：△ABE≌CAD，△ABE≌BCF，△CAD≌BCF，△ABF≌CAE，△ABF≌BCD，△CAE≌BCD.
正解：C.
【点评】对这类问题平时学习要多观察多总结，充分地用上所给条件，逐步找出所有的全等三角形.
5.对“三线合一”的误用
【例6】如下图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC垂足为D，∠A=40°，求∠DBC.
错解：∵△ABC中AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=（180°-40°）÷2=70°.
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC=∠ABC=35°.
【错解分析】误认为在等腰三角形中每条边上的“三线”都重合.其实在不是等边三角的等腰三角形中，只有底边上的“三线”才是重合的.
若三角形ABC的三边为a、b、c，f(x)=b^2*x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2,则f(x)的图像
A.与x轴相切
B.在x轴上方
C.在x轴下方
D.与x轴交于两点
最佳答案此答案由提问者自己选择，并不代表爱问知识人的观点
(b^2+c^2-a^2)^2-4*b^2*c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)*(b^2+c^2-a^2-2bc)
=[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]
因a、b、c为三角形ABC的三边，所以有b+c>a而(b-c)的绝对值<a
[(b+c)^2-a^2]>0
[(b-c)^2-a^2]<0
所以[(b+c)^2-a^2]*[(b-c)^2-a^2]<0
f(x)与x轴交于两点
高一数学解三角形问题.谢谢!
回答：3 浏览：101 提问时间：2006-08-12 15:02
设角A=60度,
则(1/2)bcsin60=10√3,bc(√3/2)=20√3,bc=40
a+b+c=20
a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc
a=20-(b+c)
a^2=(b+c)^2-40(b+c)+400=(b+c)^2-120
-40(b+c)=-520,b+c=13
b=5,c=8或b=8,c=5
此三角形三边
a=7,b=5,c=8或a=7,b=8,c=5
[大师]
设三边为a,b,c,∠B=60`
acsin60`/2=10√3,即ac=40
又因为b^2=a^2+c^2-2accos60`=a^2+c^2-ac==a^2+c^2-40
a+b+c=20
三式联立可得,a=5,b=7,c=8或a=8,b=7,c=5
回答：2006-08-12 15:14
评论
qqqq
[神]
设三条边分别为a、b、c，a、b的夹角为A=60度，则a+b+c=20，由b边正对的角作垂直于b的垂线，垂线长度为a*SINA，三角形面积S=b*a*SINA/2=10*3^(1/2)，得出ab=40。

由垂线a*SINA、（b-a*COSA）及c边组成的直角三角形，得出c^2=(a*SINA)^2+（b-a*COSA）^2，整理得a^2+b^2=c^2+ab=c^2+40，由a +b+c=20，得a+b=20-c，两边平方，得a^2+b^2+80=c^2-40c+400，将a^2+b^2=c^2+40代入，得c=7，a=5，b=8。