高中数学必修一1.2 集合间的基本关系复习检测(人教A版,含解析)(37)

1.2 集合间的基本关系
一、单选题
1．已知集合{}2
1,A x =，则下列说法正确的是（ ） A ．1
A
B ．1A ⊆
C ．1A -∉
D ．1A -∈
2．若集合{}
3,,A x x m n m n Q ==-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．A Q ⊂ B ．A Q ⊃ C ．A Q = D ．A Q ⊆ 3．满足条件∅⫋ M ⫋a ，b ，c}的集合M 共有（ ） A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 4．已知集合{1,1}A =-，下列选项正确的是（ ）
A ．A ∅∈
B ．1A -∉
C ．0A ∈
D ．1A ∈
5．已知集合,2
k A x x k Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩
⎭
，4
k B x x Z ⎧⎫
==∈⎨⎬⎩
⎭
，则()
A ．A
B ⊆ B ．B A ⊆
C ．A B =
D ．A 与B 的关系不确定
6．对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算
，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m
n m n =+ ；当,m n 不全为正奇数时，m n mn =，则在此定义下，集合
(){,|M a b a
=16,*,*}b a N b N =∈∈的真子集的个数是（ ）
A ．721-
B ．1121-
C ．1321-
D ．1421- 7．设集合{}()|,,2A x x a B =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2a ≥
B ．2a >
C ．2a ≤
D ．2a <
8．若集合{}2
0A x x x =-=，则A 的真子集个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 9．已知集合{|1}P x R x =∈≥，{2,3}Q =，则下列关系中正确的是
A ．P Q =
B ．P
Q
C ．Q
P
D ．P Q R =
10．设集合1|,2
4
k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩
⎭
，1|,4
2
k N x x k Z ⎧⎫
==+∈⎨⎬⎩
⎭
，则（ ）
A ．M N
B ．M N
C ．M
N D ．M N ⋂=∅
二、填空题
1．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，又可表示成{}2,,0a a b +，则a b +=_________. 2．集合{}2020M x R x =∈≤，有下列四个式子：①M π∈；②{}M π⊂；③M π⊂；④{}M π∈，其中正确的是_____（填序号）
3．已知集合{}1,2A a =+-，{},2B b =，若A B =，则a b +=________.
4．设集合2{|210}A x ax ax a =++-=，若A =∅，则实数a 的取值范围是_________. 5．已知集合A=2，3}，则集合A 的真子集的个数是______． 三、解答题 1．已知集合
，集合
，集合
其中
．
（1）写出集合的所有子集； （2）若，求
的值．
2．函数满足
（1）求
的解析式
（2）集合A=，写出集合A 的所有子集
3．已知集合A ＝x|－1≤x≤6}，B ＝x|m －1≤x≤2m＋1}，且B ⊆A. （1）求实数m 的取值集合；
（2）当x∈N 时，求集合A 的子集的个数.
4．已知集合
，
，
，
，且
，求实数的值．
5．如图，()111,P x y ，()222,P x y ，…，(),n n n P x y 是曲线C ：()2
102
y x y =
≥上的点，()11,0A a ，()22,0A a ，…，(),0n n A a 是x 轴正半轴上的点，且011A A P ∆，122A A P ∆，…，1n n n A A P -∆均为斜边在
x
轴上的等腰直角三角形（0A 为坐标原点）.
（1）写出1n a -、n a 和n x 之间的等量关系，以及1n a -、n a 和n y 之间的等量关系； （2）猜测并证明数列{}n a 的通项公式； （3）设1
2
3
21
111
n n n n n
b a a a a +++=+
+
++
，集合{}123,,,,n B b b b b =⋅⋅⋅，{}
22|210,A x x ax a x R =-+-<∈，若A B =∅，求实常数a 的取值范围.
参考答案
一、单选题 1．C
解析：利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接判断即可． 详解：
因为{}2
1,A x =，所以1A -∉，故1A -∈错误，
而{}1是集合，不是A 中的元素，故1
A 错误，
1为A 中元素，故1A ⊆是错误.
故选：C. 点睛：
本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，是基础题，注意元素与集合之间的关系用属于或不属于，集合与集合之间一般用包含或不包含． 2．B
解析：根据集合A 的描述，讨论0n =、0n ≠时集合A 中元素所属数域，即可知正确选项. 详解：
由{}
,,A x x m m n Q ==∈，知：
当0n =时，A Q =；当0n ≠时，A 是含无理数的数集； ∴综上，A Q ⊃. 故选：B 点睛：
本题考查了集合间的包含关系，应用了分类讨论的方法，属于简单题. 3．B
解析：利用真子集定义、列举法能求出满足条件∅⫋M ⫋a ，b ，c}的集合M 的个数. 详解：
解：满足条件∅⫋ M ⫋a ，b ，c}的集合M 有： a}，b}，c}，a ，b}，a ，c}，b ，c}.共6个， ∴满足条件∅⫋M ⫋a ，b ，c}的集合M 共有6个.
故选：B. 4．D
解析：利用元素与集合的关系和集合的基本关系判断. 详解：
因为集合{1,1}A =-，
所以A ∅⊆，故A 错误；1A -∈，故B 错误；
0A ∉，故C 错误，1A ∈，故D 正确；
故选：D 5．A
解析：对于集合2:,2
4
k k
A x k Z ==
∈，当分母为4时，分子为2k ，能取遍全体偶数，而对于集合:,4
k
B x k Z =
∈，当分母为4时，分子为k ，能取遍全体整数，显然，“全体偶数”是“全体整数”的子集，即A 是B 的子集（也是真子集），故选A. 6．C 详解：
由题意，当m n ， 都是正奇数时，m n m n =+※ ；当m n ，不全为正奇数时，m n mn =※ ； 若a b ， 都是正奇数，则由16a b =※ ，可得16a b += ，此时符合条件的数对为
（115313151⋯，），（，），（，） 满足条件的共8个；
若a b ，不全为正奇数时，m n mn =※ ，由16a b =※ ，可得16ab = ，则符合条件的数对分别为
116284482161（，），（，），（，），（，），（，） 共5个；
故集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（
，）※，， 中的元素个数是13， 所以集合**{|16}M a b a b a N b N ==∈∈（，）※，，的真子集的个数是1321-．
故选C ．
点睛：本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，
7．D
解析：分析：由已知A B ⊆，结合子集的概念，可以确定参数的取值范围. 详解：因为(,](,2)a -∞⊆-∞，所以2a <，故选D.
点睛：该题考查的是有关子集的概念，以及根据包含关系，确定有关参数的取值范围的问题，可以借助数轴来完成.
8．B
解析：先解得{}0,1A =,进而求解即可. 详解：
因为集合{}0,1A =,
则A 的真子集个数为2213-=, 故选:B 点睛：
本题考查已知集合元素个数求真子集的个数,属于基础题. 9．C
解析：由2,3均大于等于1,即可判断集合P 与Q 的关系. 详解：
因为21≥,3≥1,所以Q P,
故选:C 点睛：
本题考查集合之间的关系,属于基础题. 10．B
解析：将集合M 、N 中表达式化为214k +、2
4
k +，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M 、N 的包含关系 详解：
对于集合M ：121
2
4
4
k k x +=+=，k∈Z， 对于集合N ：12
4
24
k k x +=+=
，k∈Z， ∵2k+1是奇数集，k+2是整数集 ∴M
N 故选：B 点睛：
本题考查了集合的包含关系，由集合中元素的描述确定包含关系
二、填空题
1．-1 详解：
（1）当0a = 时，b a
无意义，所以 0a ≠；
（2）当0b a
=时， 0b =，集合可化为 {,0,1}a 和 2{,,0}a a ， 21a =，则1a =±，而 1a =时，元素重复，故 1a =-．
2．①②
解析：利用元素与集合、集合与集合之间的关系符号表示即可求解. 详解：
由{}2020M x R x =∈≤，①M π∈，正确； ②{}M π⊂，正确； 故答案为：①② 3．1-
解析：根据集合相等，列出方程求解，得出1,
2,
a b =⎧⎨=-⎩，从而可得出结果.
详解：
因为集合}
1,2A =
-，{},2B b =，A B =，所以12,
2,
b ==-⎪⎩
解得1,
2,
a b =⎧⎨=-⎩从而1a b +=-.
故答案为：1-.
4．{}0a a ≤
解析：集合A 是方程的解集，要先讨论最高次项系数是否为0的情形。

详解：
0a =时，方程2210ax ax a ++-=为－1＝0，不成立，无解，
0a ≠时，方程2210ax ax a ++-=无解，则244(1)0a a a ∆=--<，0a <，
综上，0a ≤。

∴a 的取值范围是{|0}a a ≤ 故答案为：{|0}a a ≤。

点睛：
本题考查空集的概念，实质考查方程无实数解的条件，易错点在于不分类讨论即不考虑0
a=
的情形，直接由∆<0得结论。

5．3
解析：根据题意，集合A中有2个元素，则其真子集的数应为其全部子集个数减掉它本身。

详解：
由题意得，集合A中有2个元素，则其真子集的数应为2213
-=。

故答案为：3.
点睛：
本题主要考查集合子集个数的求解。

三、解答题
1．（1）；
（2）
解析：（1）解方程可得，集合，逐一写出A的子集即可；
（2）先求出集合，然后可得，再根据根与系数的关系列出式子，求出p、q的值.
详解：
（1）的解为，，集合的所有子集为：
（2）集合，，又，
，，和是方程两根，
，得.
点睛：
本题主要考查子集的定义，补集的运算以及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 2．（1）；（2）
解析：（1）利用换元法：，完成的求解，即可求解出的解析式；
（2）根据计算出集合中的元素，根据元素即可写出集合A的所有子集.
（1）令，所以，所以，
所以；
（2）因为，所以，
又因为，所以，所以或，
所以，所以集合的所有子集为：.
点睛：
本题考查确定集合的子集以及用换元法求函数解析式，难度较易.已知的解析式求解解析式的方法：令，求解出关于的表示形式，即可得到，从而可知.
3．（1）2
m m<-
∣或
5
2
m
≤≤}；（2）128.
解析：（1）B A
⊆，分B=∅和B≠∅两种情况分别解出m的取值范围；（2）列举法表示集合A，利用公式求集合A的子集的个数即可.
详解：
（1）①当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅符合题意.
②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.
由B⊆A，借助数轴(如图所示)，
得
11
216
2
m
m
m
-≥-
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥-
⎩
解得0≤m≤
5
2
.所以0≤m≤
5
2
.
综合①②可知，实数m的取值集合为2
m m<-
∣或
5
2
m
≤≤}.
（2）∵当x∈N时，A＝0，1，2，3，4，5，6}，∴集合A的子集的个数为27＝128.
点睛：
本题考查集合的子集，属于基础题.
解析：由和得，
，得关于a 的方程组，可求得a.
详解：
由题意知:
，，
,即
，解得
,
经检验知满足题意，所以实数的值为2.
故得解. 点睛：
本题考查集合间的包含关系的应用,注意求得参数的值后需代入集合验证，属于基础题.
5．（1）12n n n a a x -+=
，12n n n a a y --=；（2）()12
n n n a +=，证明见解析；（3）(]4,1,3⎡⎫
-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，12n n n a a x -+=
，12
n n n a a
y --=. （2）由2
12n
n y x =得2
111222n n n n a a a a
---+⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，即()211n n n n a a a a ---=+，猜测()12n n n a +=，再用数学
归纳法进行证明.
（3）用裂项法求得123
2111
1n n n n n b a
a a a +++=++++的值为2
123
n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由函数()12f x x x =+在区间[)1,+∞上单调递增，且lim 0n n b →∞
=，求得10,3n b ⎛⎤∈ ⎥
⎝
⎦
，再由{}(){}22|210,|1,1A x x ax a a R x x a a =-+-<∈=∈-+，由A B ϕ⋂=，有10a +≤，或1
13
a -≥，由此求
得实常数a 的取值范围. 详解：
（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，12n n n a a x -+=
，12
n n n a a
y --=. （2）由212n
n y x =得2
11122
2n n n n a a a a
---+⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，
即()2
11n n n n a a a a ---=+，猜测()
12
n n n a +=
. 证明：①当1n =时，可求得112
12
a ⨯==
，命题成立. ②假设当n k =时，命题成立，即有()
12
k k k a +=
， 则当1n k =+时，由归纳假设及()2
11k k k k a a a a ---=+，
得()()2111122k n k k k k a a ++++⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦
， 即()()()()()22111121022k k k k k k a k k a ++-++⎡⎤⎡⎤-+++⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 解得()()1122k k k a +++=，（()112
k k k k a a +-=<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立. 综上所述，对所有*n N ∈，()12n n n a +=
. （3）12321111n n n n n b a
a a a +++=++++ ()()()()()2221223221n n n n n n =
++⋅⋅⋅++++++ 22222112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝
⎭. 因为函数()12f x x x
=+在区间[)1,+∞上单调递增，且lim 0n n b →∞=， 所以10,3n b ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. {}(){}22|210,|1,1A x x ax a a R x x a a =-+-<∈=∈-+， 由A B ϕ⋂=，有10a +≤，或113
a -≥，
故(]4,1,3a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 点睛：
本题考查了数学归纳法在数列中的应用、利用函数的单调性求数列极限、利用集合的包含关系求参数的取值范围，综合性比较强，考查了学生审题、解题的能力，属于难题.。