电磁装置多目标优化设计的改进矢量进化算法研究

浙江理工大学学报,第24卷,第1期,2007年1月
Journal of Zhejiang Sci2Tech University
Vol.24,No.1,Jan.2007
文章编号:167323851(2007)0120052205
电磁装置多目标优化设计的改进矢量进化算法研究
聂　曼,夏海霞,杨仕友,倪光正
(浙江大学电气工程学院,杭州310027)
摘　要:在电磁装置设计中,通常需要同时优化几个相互冲突的目标函数。

在传统的优化方法中,一般首先采用标量化技术将多目标函数转化成单目标函数,然后求解。

因此需要预先设定不同目标函数的优先级或权因子,而这种方法通常每次只能搜索到一个Paret o解,不能得到完整的Paret o曲面。

有鉴于此,本文提出了多目标优化设计的一种改进矢量进化算法,以实现通过一次搜索即可得到平滑、完整的Paret o曲线的目标。

典型数学函数和无芯螺线管线圈优化设计问题的实例计算结果,验证了本文算法的有效性和正确性。

关键词:最优化设计;进化算法;多目标最优化;Paret o最优解
中图分类号:T M154.4 文献标识码:A
0　引　言
一般而言,工程中的综合设计问题几乎全属多(冲突)目标函数的全局优化问题。

由于缺乏有效、可靠的矢量优化算法和工具,对于矢量优化问题,长期以来都是先将其转化成标量优化问题,然后再行求解。

转换方法主要有两种:a)将不同目标函数乘以不同的权因子后求和,以形成新的单一目标函数;b)选择最主要的目标为目标函数,而将其余的作为约束条件。

这种处理方法的不足之处在于权因子(或目标的选择)具有很大的人为因素,因而优化结果有很大的主观性。

此外,随着使用场合和时间的变化,人们关心的重点也会略有不同。

如在某些场合人们可能会比较侧重装置的性能,而在另一些场合,人们则更关心装置的成本。

因此,需要优化算法能给出从成本或性能不同角度考虑的优化方案;其次,有些因素在设计前是不清楚的,只有通过优化设计才能进一步确定。

因此,将矢量优化转化为标量优化的优化技术远不能满足工程实际的要求。

显然,矢量优化问题的理想优化算法应能给出侧重不同目标函数的不同优化方案,以满足工程上根据运行条件、应用场合以及不同用户要求等做出灵活、合理选择的需求。

为此,人们把侧重不同目标函数矢量优化问题的一系列解称为Paret o解。

就目标函数的优、劣评价,任何一个Paret o解都不会比其它Paret o解好。

由于进化算法对优化目标函数无需连续、可微等苛刻的条件,并且其本身具有较强的鲁棒性和适应性,目前已经广泛应用于大型复杂工程优化问题的分析和计算,取得了明显的社会和经济效益。

尤其值的说明的是,进化算法自身的结构非常适于解决多目标函数优化设计问题。

因此,近年来人们开始研究多目标函数优化的矢量进化算法。

尽管如此,进化算法在多目标函数优化设计中的应用,远没有其在单目标函数优化领域中应用的成熟,仍有许多问题需要解决。

为此,本文提出了一种改进的进化算法以解决电磁装置设计中的矢量优化问题。

其中改进工作主要包括:a)设计了一个简单的适值共享函数,b)提出了一种新的适值计算方法,c)引入了一种新的局部搜索方法。

最后,通过对数学问题和一个实际电感形状参数优化问题的分析和计算,证明了本文算法不仅能搜索到矢量优化问题的Paret o解,同时还能保证搜索到的最优解能均匀地分
收稿日期:2006-04-24
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50277036)
作者简介:聂　曼(1982-　),女,湖北广水人,硕士研究生,主要从事多目标进化算法研究及其应用。

布于Paret o 表面。

1　矢量优化问题
对于极小化多目标优化问题,其一般的数学描述为:
m in f (x )　(x ∈X )
(1) X ={x ∈E n |g (x )≥0,h (x )=0}
(2)其中,x =[x 1　x 2　…x n ]T 为决策变量,f (x )=[f 1(x )　f 2(x )　…　f k (x )]T 为目标函数矢量,g (x )=[g 1(x )　g 2(x )　…　g m (x )]T 为不等式约束,h (x )=[h 1(x )　h 2(x )　…　h p (x )]T 为等式约束。

为便于分析和说明,下面给出多目标函数优化问题中经常用到的几个术语或名词的定义。

1.1　弱优势和强优势解
a )如果在可行域内不存在x ∈X (x ≠x 3)使得f i (x )<f i (x 3)(i =1,2,…,k ),则x 3称为矢量优化问
题式(1)的一个弱优势解;否则,x 3成为优化问题式(1)的一个弱受控解。

b )如果在可行域内不存在x ∈X (x ≠x 3)使得f i (x )≤f i (x 3)(i =1,2,…,k ),而且至少存在一个i 满
足f i (x )<f i (x 3),则x 3称为矢量优化问题式(1)的一个强优势解;,x 3称为矢量优化问题式(1)的一
个强受控解。

1.2　Paret o 最优解或Paret o 曲面
所有强优势解和弱优势解构成了矢量优化问题式(1)的Paret o 最优解或最优Paret o 曲面。

2　改进的矢量进化算法
综上所述,为将单目标进化算法应用于矢量优化问题,必须解决:a )如何通过适值的分配和个体的选择使搜索轨迹尽可能地趋近真正的Paret o 曲面;b )如何保持群体的多样性来防止早熟现象,并获得光滑、均匀、完整的Paret o 曲面。

为实现上述两个目标,本文在综合现有文献[1,2]成果的基础上,提出了一种改进的矢量进化算法,其基本迭代过程如下。

步骤1:初始化。

设定算法的相关参数,确定初始种群P 的大小和存放当前搜索到的Paret o 解的优等群体P ′的大小。

步骤2:开始全局搜索。

a )从当前种群P 和外部Paret o 集合P ′中随机选取个体作为父代;
b )对父代进行交叉和变异操作产生子代;
c )从父代和子代中选取好的个体作为新的种群;
d )更新外部Paret o 集合P ′中个体;
e )对外部Paret o 集合P ′执行聚类操作以控制P ′的大小。

步骤3:开始局部搜索。

a )从外部Paret o 集合P ′中根据个体的密度选取某些个体;
b )在这些被选中的个体附近邻域内进行细化搜索;
c )判断是否搜索到了新的更好个体?如果答案为“是”,停止局部搜索;否则,转到步骤
d );
d )判断是否达到预先设定的最大迭代次数?如果达到,转向步骤4;否则,转向步骤a );
步骤4:算法终止条件判定。

如果条件满足,则停止;否则,转向步骤2。

2.1　优等群体P ′的更新在本文算法的搜索过程中,外部Paret o 最优解集P ′中的个体自动更新。

为简化描述,设x (l )是当前种群中一个新个体。

在外部Paret o 解集合中,如果有一个解x p
j 满足:
a )如果x p j 被x (l )所控制,则用x (l )取代x p j ;
b )如果x (l )被x p j 所控制,则x (l )不是Paret o 解,优等群体不变化;
c )如果优等群体(Paret o 最优解集)中没有个体满足式(1)或者式(2),则x (l )为一个新的Paret o 解,把这3
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聂　曼等:电磁装置多目标优化设计的改进矢量进化算法研究
个新解存储到外部Paret o集合中。

2.2　适值计算和适值共享
对多目标矢量优化问题,必须在Paret o意义上评价某一解的优、劣。

为此,本文采用排序(rank)的方法确定个体的适值。

但仿真计算结果表明,现有的排序计算适值的方法,在参数空间和目标函数空间引入适值共享函数后,在某些情况下,受控解的总适值可能比某个Paret o解的总适值还要大。

因此,某些受控解被选为新种群进行下一次迭代的几率要比某些Paret o解被选中的几率高,由此导致算法计算效率的降低。

为克服现有排序方法的这一不足,本文提出了适值定义的修正排序算法,即某一个体z的排序值采用下面的数学式进行计算:
Rank(z)=1
3
+p
i
(3)
其中,p
i
是种群P和外部Paret o集合P′中控制解z的个体数。

为保证搜索到的Paret o解均匀地分布于参数空间和目标函数空间,本文算法应用了适值共享技术。

为减少计算的复杂性,本文提出了一个简单的适值共享函数,其数学表达式为
f
sha re (x(i))=
1/d
f
(x(i))
∑N h
j=1
1/d
f
(x(j))
+
1/d
X
(x(i))
∑N h
j=1
1/d
X
(x(j))
(4)
其中,d
u
(x(k))(u=f,X)是u空间中观察点的点密度,N h是P′和P中个体数的总和,f和X分别代表目标函数空间和参数空间。

因此,个体z的适值为传统意义上定义的适值和共享适值的加权平均值,即
f
fit (z)=
w1
Rank(z)
+w2f sha re(z)(5)
其中,w
1和w
2
是权系数。

2.3　局部搜索和全局搜索
研究结果表明,现有的进化算法的局部搜索能力远不如它的全局搜索能力强。

因此,本文算法将整个搜索过程划分为局部搜索和全局搜索两个子过程,以期提高算法的局部搜索能力,进而实现全局和局部搜索的平衡。

不同于现有的局部搜索方法,本文提出的局部搜索算法不需要事先规定搜索半径。

首先,以与点密度成反比的概率,从外部Paret o集合中随机选取个体。

然后,施加小的扰动于选定的个体以产生新个体。

这个过程不断重复,直到找到一个更好或新的Paret o解,或者达到最大迭代次数为止。

具体迭代过程如下。

步骤1:从外部Paret o集合P′中,根据个体点密度随机选取个体x(i)作为种子。

步骤2:根据事先确定的邻域集合H{H|h
i =h
i-1
/c(i=1,2,...,r)}和种子x(i)随机产生一系列新的个
体y(i)
j
:
y(i)
j =x(i)+r
j
h j(6)
其中r
j
是区间[-1,1]中的一个任意参数.
步骤3:评价产生的新的个体。

如果发现更好或新的Paret o解,终止局部搜索;否则,转向步骤4。

步骤4:是否达到最大迭代次数?如果达到,终止局部搜索;否则,转向步骤1。

3　计算实例
3.1　数学检验函数
为验证这种改进的矢量进化算法的有效性,首先将其应用于一简单双目标函数的纯数学优化问题[3]的计算。

该问题的数学描述为:
m in f1(x1)=x12
f2(x1)=(x1-2)2
(7)
s.t.-1≤x
1≤1
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图1　改进矢量进化算法搜索到的典型数学问题的Paret o 曲线运用本文提出的改进矢量进化算法对该问题进行分析和计
算,搜索到的Paret o 曲线在目标函数空间的分布如图1所示。

显
然,该计算结果证明了本文改进的矢量进化算法可有效地防止早
熟现象,从而能够得到较为平滑、完整的Paret o 曲线。

3.2　工程应用实例
为进一步研究改进算法实用于电磁装置优化设计问题的性
能,本文又计算了长宽分别为a ×b 的矩形无芯螺线管的形状最
优化设计问题[4]。

在电流均匀分布的假设条件下,螺线管的体积
V /m 3和电感L /
μH 可以用下面简化的公式近似计算: L (a,b )=31.49k 2
14π2
b 9+6a b +5k 1k 2πab 2
(8) V (a,b )=πa 2b 4+k 21k 224
πa 2b +k 1k 22 (9)其中k 1=10m ,k 2=10-6m 2。

图2　改进矢量进化算法搜索到的无芯螺
线管形状优化设计问题的Paret o 曲线
现通过对螺线管截面尺寸(长宽)的优化设计,实现电感
L (a,b )参数最大和线圈体积V (a,b )最小的设计目标。

此外,考虑到实际的几何形状,还需施加如下的几何约束条件
a >k 1k 2
4πb (10)
在该问题的分析计算过程中,算法参数设定为:种群大小:
200,最大迭代次数:250。

在上述典型参数的条件下,应用本文算
法进行分析计算,即可得到该问题的Paret o 解。

图2所示为本文
算法某一次典型运行后得到200个Paret o 解的具体分布。

显然,
本文算法搜索到的Paret o 解均匀地分布于目标函数空间。

由此可
进一步说明,本文提出的改进矢量进化算法可以有效地应用于实际电磁装置多目标函数优化设计问题的分析和计算。

4　结　论通过引入新的适值计算方法和简单的适值共享函数,以及新的局部搜索方法,本文提出了一种改进的矢量进化算法。

典型数学函数和实际无芯螺线管形状优化设计问题的分析计算结果表明,与传统的进化算法相比,本文的改进矢量进化算法能更好地保持搜索过程中个体的多样性,有效、完整地搜索到多目标优化问题的Paret o 解。

因此,本文提出的改进矢量进化算法为实际工程电磁装置的多目标优化设计问题提供了一种可供选择的分析和计算工具。

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An I m p r oved Evo l uti o na ry Al go rithm App li ed t o Multi o bj ecti ve
De si gns of El ectr om agne ti c P r obl em s
N IE M an,X I A Hai2xia,YAN G Shi2you,N I Guang2zheng
(College of Electrical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou310027,China)
Ab s trac t:The design of an electr omagnetic device usually involves the si m ultaneous op ti m izati on of several in2 commensurable criteria,and is traditi onally s olved by using s ome scalar techniques.Due t o the p redefined weigh2 ting coefficients,such treat m ent has the disadvantage of m issing concave porti ons of the trade2off curve.T o give e2 nough number of trade2off s oluti ons of this kind of p r oble m s,an i m p r oved evoluti onary algorith m is p r oposed t o ob2 tain directly the Paret o op ti m al s oluti ons of multi2objective designs of electr omagnetic devices.The si m ulati on re2 sults on s olving a mathe matical functi on and a p r ot otype p r oble m reveal that the p r oposed method is effective in sa mp ling the entire Paret o2op ti m al fr ont and distributing the generated s oluti ons over the trade2off surface.
Key wo rd s:Op ti m al design;Evoluti onary algorith m;Multi2objective op ti m izati on;Paret o op ti m al
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Hydr o the r m a l Se l f2a ssem bl y and Cha racte ri za ti o n of
Dande li o n2li ke ZnO Nano structure s
ZHU L u2m ing,ZHU Hong2liang,YU Gui2xia,YAO Kui2hong
(Materials Engineering Center,Zhejiang Sci2Tech University,Hangzhou310018,China)
Ab s trac t:Novel dandeli on2like ZnO nanostructures were successfully synthesized via a si m p le citric acid (CA)assisted hydr other mal self2asse mbly p r ocess at250oC.X2ray diffracti on,scanning electr on m icr oscopy and UV2vis s pectr oscopy were e mp l oyed t o study the mor phol ogy,crystal structure,op tical and electrical p r operties of the p r oduct.The results reveal that the p r oduct is dandeli on2like ZnO nanostructures asse mbled fr om thousand of nanoflakes.Additi onally,the energy band gap(Eg)of the nanostructures was found t o3.61e V.Further more,the possible mechanis m f or the CA2assisted hydr other mal self2asse mbly of the nanostructures has been p resented.
Key wo rd s:Zinc oxide;Nanostructures;Self2asse mbly;Hydr other mal synthesis;Se m iconduct or
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