《三角形》(解析版)-期末挑重点之2020-2021学年上学期人教版八年级数学

专题01 三角形
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形的分类
（1）三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
（2）三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形．
3．三角形三边的关系（重点）
（1）三角形的任意两边之和大于第三边．
三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a+b>c或c-b<a．
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|<c<a+b．
4．判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形．
当a最长，且有b+c>a时，就可构成三角形．
5．三角形的主要线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：
（1）三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
（2）任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
（3）任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部．但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部．
（4）一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点．（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交于一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部．）
（5）三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”．三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”．三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形．
6．三角形的稳定性
（1）三角形具有稳定性
（2）四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了．
7．三角形的内角和定理
三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关．
8．直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）．有两个角互余的三角形是直角三角形．一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角形中至少有两个内角是锐角．
9．三角形的外角
（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（3）三角形的外角和等于360°．
10．多边形
（1）在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角．多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
（2）一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n-3）条，其所有的对角线条数为
2)3
(
n
n
．
（3）画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其他边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形．
（4）各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
11．多边形的内角和
（1）n边形的内角和定理
n边形的内角和为（n−2）·180°。