函数的三要素(复习+习题)

二次函数 的定义域为R，
当a>0时，值域为{ }；
当a<0时，值域为{ }
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题
例1 求函数 的值域（答：[4,8]）
例2 当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是___（答： ）
例设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： ）
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域，注意利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性。
例1
例2 ，的值域为______（答： 、 ）
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率
已知函数函数的三要素定义域值域对应法则1定义域在研究函数问题时要树立定义域优先的原则2值域最值函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类
函数的三要素
1.映射 : A B的概念。
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”。
在理解映射概念时要注意：
1A中元素必须都有象且唯一；
2B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
例1.设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是（）
A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象 C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的D、 是 中所在元素的象的集合
例2.设 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则 一定是_____
（2）值域（最值）
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 。
①直接法：利用常见函数的值域来求：
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域
例1例2例3 （答： Nhomakorabea、（0,1）、 ）；
⑥基本不等式法：
1.转化成型如： ，利用平均值不等式公式或者对勾函数来求值域；
2.利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧
2.函数 : A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集
例1.已知函数 ， ，那么集合 中所含元素的个数有个
3.函数的三要素
定义域、值域、对应法则
（1）定义域（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）例1求 的定义域
例2函数 的定义域是 ， ，则函数 的定义域是__________(答： )
2. 型，先化简，再用均值不等式
例求 的值域（答：
3. 型，可用判别式法或均值不等式法
例求 的值域（答： ）
（3）对应法则
3.函数相等的判定：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数
例下面各组函数中为相同函数的是（ ）D
A． B．
⑨逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如：
⑩判别式法：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式
1. 型，可直接用不等式性质
例求 的值域（答： ）
③分式转化法（或改为“分离常数法”）；
④换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型；
例1 的值域为_____（答： ）
例2 的值域为_____（答： ）
例3 的值域为____（答： ）
例4 的值域为____（答： ）
运用换元法时，要特别要注意新元 的范围