初三数学圆的复习课件

F
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O B D
C
F
A
关于等积式的证明
C A
O D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一不 可！

若圆心到弦的距离用d表示， 半径用r表示，弦长用a表示， 这三者之间有怎样的关系？

O
A
2
E
B
r
2
d
2
a 2
变式1：AC、BD有什么关系？ 变式2：AC＝BD依然成 立吗？
A C E O F D B
A
C
O
• 篮球是圆吗？
– 圆必须在一个平面内
• 以3cm为半径画圆，能画多少个？ • 以点O为圆心画圆，能画多少个？ • 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
– 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
• 圆是“圆周”还是“圆面”？
– 圆是一条封闭曲线
• 圆周上的点与圆心有什么关系？
圆的定义（集合观点）
• 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
• 弦和直径
– 什么是弦？什么是直径？ – 直径是弦吗？弦是直径吗？
与圆有关的概念
• 弧与半圆
– 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ – 弧分成哪几类？ – 半圆是弧吗？弧是半圆吗？
• 弓形是什么？ • 同心圆、同圆、等圆和等弧
– 怎样的两个圆叫同心圆？ – 怎样的两个圆叫等圆？ – 同圆和等圆有什么性质？ – 什么叫等弧？
O
• 已知： OA＝OB＝5厘米， AB＝8厘米，⊙O的直径6厘 米。求证：AB与⊙O相切。
B
A
C
以上两题辅助线的作法是否相 同？你分析出了什么结论？
• 证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。
– 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明 直线与半径垂直。（即连半径，正垂直） – 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂 线，再证明圆心到直线的距离等于半径。（即作垂线， 正半径）
n°弧
C D
一般地，n°的圆心角 对着n°的弧。
n°圆心角
O A
1°圆心角
B
1°弧
圆心角的度数 和它所对的弧 的度数相等。
圆周角
角的顶点 在圆心
F D C
O
圆心角：如∠BOA
圆内角：如∠BCA 圆外角：如∠BFA 圆周角：如∠BDA
•角的顶点在圆周上 •是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
A
B
B
① ① ④ ② ⑤ ④ ① ③ ⑤
E C O D
A
B
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂 直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
E C O D
A
B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？ E
如图， ⊙ O 的半径为 8 厘米，圆内弦 AB ＝8 3 厘米，
以 O 为圆心， 4 厘米为半径作小圆，求 直线 AB 相切。
证：小圆与
O A B
切线判定的方法
• 利用切线定义 • 利用圆心到直线的距离等于半径 • 利用切线判断定理 • 辅助线技巧： – 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公 共点，再证明直线与半径垂直 – 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆 心向直线作垂线，再证明圆心到直线的 距离等于半径。
D
B
O
A E B O
C F D
切线的判定和性质
• 判定切线的三种方法： 定义 – 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 – 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 本质一样 – 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 表达不同 • 切线的主要性质：
C
同弧所对的圆 如图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB 的大小 周角相等
E
D
E
O B
A
A
O B
F D
等弧所对的圆周角相等； 如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E 在同圆中，相等的圆周角 和∠F是什么关系？反过来呢？
所对的弧也相等
E O1 C A D O2
C
如图，⊙O1和⊙O2是等圆， 等圆也成立 如果弧AB＝弧CD，那么∠E 和∠F是什么关系？反过来 呢？
B A
A A O O C O
B
B
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
问题2：三角形的外心一定 ∠C＝90°O ▲ABC是锐角三角形 ▲ABC是钝角三角形 A 在三角形内吗？
B
垂直于弦的直径
及其推 论
AO=BO=CO=DO， D 弧AD＝弧BC，弧AC 想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两 O C ＝弧BD。 侧半圆会有什么关系？ AO=BO=CO=DO， 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在 弧AD＝弧BC=弧AC 的直线都是它的对称轴。 D C ＝弧BD。 O
C
O D
B
B
A
A
C
• 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半。 • 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是 它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ • 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什么性质？反过 来呢？
结论
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
( )
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的 圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。
– 到定点的距离等于定长的点都在圆上。 • 一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？ • 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
– 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
点与圆的位置关系
• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点的集合。 • 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 • 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 • 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定 的呢？ 如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r
C C A O O
A
C
O
B A
B
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角.
画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角 之间可能出现哪几种不同的位置关系?
C
C
C
O
O
O A
A B
B
A
B
回顾：圆周角等于它所对的弧的度数的一半。
猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角， 它们之间有什么关系？
圆的有关性质
过三点的圆
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？
讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心，
C C C
三角形叫做圆的内接三角形。
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任 意一个角度α，都能与原来的图形重合。
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
A
弦心距：从圆心到弦的距离。
C E D O B
A
• 什么时候圆周角是直角？ 反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
C
C
A
O A B
O
B
直线和圆的位置关系
重点内容
直线和圆的位置关系及其性质 有且仅有
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 d与r的关系 公共点名称
切 线 的 作 图
关 系 定 理
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
圆的有关性质
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
圆的定义辨析
• 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD P 交AB于C，求证：PA2＝PC· PD
A
经验： •证明等积式，通常利 用相似； •找角相等，要有找同 弧或等弧所对的圆周角 的意识；
C O D
B
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
A

A
B
观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧 AD＝弧BD，弧AC＝ 弧BC, AE＝BE 。
垂直于B 弦的直A 径
C O E D
B
垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理
A
C
O
E
D
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O C A D
O C A D
O C E D
• 操作：画⊙O，在⊙O上 任取一点A，连结OA， 过A点作直线l⊥OA
说说看：以上两 种判断办法是否 方便应用呢？
• 直线l是否与⊙O相切呢？ • 从作图过程看，这条切线l满足哪些条件？ l 经过半径外端 l垂直于这条半径
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。
• 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝ OB，CA＝CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
直线名称
2个 d＜r 交点 割线
1个 d＝r 切点 切线
无 d＞r
注意：“”， 即“等价于”
直线和圆的位置关系的判定
d与r的关系 位置关系 交点个数 图形
O l
d＞r d＝r
相离 相切 相交
无 1个
O l
d＜r
2个
O
l
切线的判定
重点内容
• 判断一条直线是不是圆的切线
– 使用定义：直线和圆有唯一的公共点 – 圆心到直线的距离d等于半径r时，直线和圆相切
切线的性质
重点内容
• 切线判定：直线l：①过半径外端②垂直于半径
• 切线性质：切线l，A为切点：OA⊥l
切线的性质定理：圆的切线垂 直于经过切点的半径。
切线判定与性质典型例题
C
• 已知：AB是⊙O的直径， BC是⊙O的切线，切点为B， OC平行于弦AD。 A 求证：DC是⊙O的切线。 • 如图，在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB和CD相 等，且AB与小圆相切于点E， 求证：CD与小圆相切。
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半
C
C
C
O
化 归
A
O
化 归
A
O A
B
分类讨论
B
完全归纳法
B
圆周角定理
C
1、已知∠AOB＝75°， 求： ∠ACB 2、已知∠AOB＝120°， B 求： ∠ACB
O
C
O
A B
A
3、已知∠ACD＝30°，求： ∠AOB
4、已知∠AOB＝110°，求： O ∠ACB
（如：OC）
B
O
C
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。 在同圆或等圆中， 定理 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
A C
O来自百度文库
B C' A'
B'
题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 （ 条 件 ） 圆 心 角 相 等
D
B
FD FB 变式3：EA＝____, EC=_____。
A C O D B
OA=OB 变式4：______ AC=BD.
A
AC=BD.
C D B
OC=OD 变式5：______
O
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
B M O A P
关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。

画图叙述垂径定理，并说出 定理的题设和结论。
题设
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB 想一想：如果将题设和 ② ① ② ① ③ ③ 结论中的5个条件适当互 ④ ② ③ ③ ④ 换，情况会怎样？ ⑤ ⑤ ⑤ ① ④ ④ ⑤ ② ① ② ③ ② ④ ⑤ ③
结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
侧面展开图是矩形矩形的一边长等于圆柱的高即母线长另一边长是底面圆的周长圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高圆锥的基本性质侧面展开图是扇形扇形的半径是圆锥的母线长弧长是圆锥底面圆的周长圆锥的侧面积等于扇形的面从一个底面半径为40cm高60cm的圆柱中挖去一个以圆柱上底为底下底圆心为顶点的圆锥如图得到一个几何体求这个几何体的表面积
青树中学中学 初三数学课件
齐敏
知识体系
圆
基本性质 直线与圆的 位置关系 切 线 的 性 质 切 线 的 判 定 切 线 长 定 理 圆与圆的 位置关系 位 性 判 置 质 定 分 类 正多边形 和圆 有 关 计 算
概 念
对 称 性
圆周角与 圆心角的 关系
垂 径 定 理
圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理