2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第十章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理
2014届高三一轮复习课堂新坐标理科数学人教A版选修4-4第二节参数方程
明 考
基 础
【解析】 由题意知，直线l的参数方程是
情
典 例
xy＝＝51＋＋ttscionsππ33 ，，即yx＝＝51＋＋2t2，3t.
探 究
代入直线x－y－2 3＝0，得
课 后 作
·
提 知 能
1＋2t －(5＋ 23t)－2 3＝0，∴t＝－10－6 3.
业
由t的几何意义，知|MM0|＝|t|＝10＋6 3.
高
自
主
1．(人教A版教材习题改编)将参数方程
考 体
落
验
实 · 固 基
xy＝＝s2i＋n2θsin2θ，(θ为参数)化为普通方程为________．
· 明 考 情
础
【解析】 将sin2θ＝y代入x＝2＋sin2θ得y＝x－2，
又0≤sin2θ≤1，得2≤x≤3.
典
例 探
【答案】 y＝x－2(2≤x≤3)
典
∵
x＝－1－t， y＝2＋3t，
消t后，得3x＋y＋1＝0，表示直
例 探
线．
课 后
究
作
· 提
【答案】 圆与直线
业
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
3．(2013·汕头质检)在平面直角坐标系xOy中，直
高
自
主 落 实 ·
线l的参数方程为 xy＝＝tt＋，1 (参数t∈R)，圆C的参数方程
考 体 验 · 明
自 主
【尝试解答】
由xy＝＝ba＋＋ttscions
θ， θ. ②
①
高 考 体
落 实
(1)当t为非零常数时，
验 ·
·
固 基 础
原方程组为xy－－tt ba＝＝scions
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.1分类加法计数原理与分步
3．两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不 同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题， 其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事； 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法 ______________，只有______________才算做完这件事． 4．两个计数原理解决计数问题时的方法 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——是需要分类还是需要 分步． (1)分类要做到“______________”．分类后再分别对每一类进行计数， 最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务， 当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(2)分两步：先选教师，共 3 种选法，再选学生，共 6＋8＝14 种选法．由分步乘法计数原理知总选法数为 3×14＝42(种)．
(3)老师、男同学、女同学各一人可分三步，每步方法数依次为 3、6、8 种．由分步乘法计数原理知选法数为 3×6×8＝144(种)．
第十六页，共25页。
类型二 两个原理的综合应用
第十五页，共25页。
有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选 人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ (3)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解：(1)只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各 自有 3、6、8 种选法，总选法数为 3＋6＋8＝17(种)．
【名师一号】高考数学一轮总复习 10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
知识点二
分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，…，完成第 n 步 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法.
知识点三
两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 完成一件事情 的不同方法的种数． 它们的区别在于： 分类加法计数原理与分类 有 关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与 分步 有关，各个步骤 相互依存 各个步骤都完成了，这件事才算完成． ，只有
解析 当 x＝1,2,3,4,5 时，y 值依次有 5,4,3,2,1 个，由分类加
法计数原理，不同的数据对(x，y)共有 5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
答案 15
知识点二 3.判一判
分步乘法计数原理
(1)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法 是各不相同的．( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何 一个单独的步骤都能完成这件事．( )
对 点 自 测 知识点一 1.判一判 (1) 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相 同．( ) 分类加法计数原理
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成 这件事．( )
答案 (1)× (2)√
2 ．若 x， y∈ N*，且 x ＋ y≤6 ，则有序自然数对 (x， y) 共有 __________个．
备考知考情 独立考查两个计数原理的题目出现的较少， 但有时也会出现， 重点考查两个计数原理的应用，有时会利用分类讨论思想进行讨 论求解.
J 基础回扣· 自主学习
《课堂新坐标》2014高考数学(文)一轮总复习(人教新课标·广东专用)课件：第十章 第一节 随机事件
高 考 体 验 · 明 考 情
课 后 作 业
网 络 构 建 · 览 全 局
策 略 指 导 · 备 高 考
自 主 落 实 · 固 基 础
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
典 例 探 究 · 提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
课 后 作 业
网 络 构 建 · 览 全 局
网
络
2．事件的关系与运算
典 例
构
探
建
究
· 览
名称
定义
符号表示
· 提
全
知
局 相等关系 若B______A，且_______，那么称
策 略
事件A与事件B相等
A＝B
能
高 考
指 导 · 备 高 考
并事件 某事件发生当且仅当_事__件__A__发__生__
(和事件)
或事件B发生，则称此事件为事件 A与事件B的并事件
略 指
一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，
考 体
导
验
· 备
频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作
· 明
高 考
随机事件的概率．
考 情
自
主
落
实 · 固 基 础
课 后 作 业
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
网
典
络
例
构
2．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
探
建
究
· 览
【提示】
全 局
球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少
知 能
有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白
高中数学高考高三理科一轮复习资料第10章 10.5 分类加法计数原理
解析：分两步完成，第一步选一套“福娃”吉祥物饰品有 7 种选法，第二步选一套藏羚羊卡通饰品有 8 种选法，因此共 有 7×8＝56(种)不同的选法． 答案：56
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情 有 n 类办法，这 n 类办法之间是互斥的、是独立的，每一类的 每一种方法都可以完成这件事． 那么求完成这件事情的方法总 数就用分类加法计数原理． 2．分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完 成”的问题．如果完成某件事情有 n 个步骤，而这 n 个步骤缺 一不可， 当且仅当依次完成这 n 个步骤后， 这件事情才算完成， 那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．
2．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演 前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中， 那么不同插法的种类为( ) A．42 B．30 C．20 D．12
解析：第一个节目有 6 种排法，第二个节目有 7 种排法， 共 6×7＝42(种)． 答案：A
3．若 x、y∈N*，且 x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有 __________个．
解析：当 b＝1 时，c＝4；当 b＝2 时，c＝4,5；当 b＝3 时， c＝4,5,6；当 b＝4 时，c＝4,5,6,7.故共有 10 个这样的三角形． 答案：A
题型二 分步乘法计数原理的应用 例 2 已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平 面上的点(a，b∈M)，问： (1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线 y＝x 上的点？
3．两个原理的区别与联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③______ 的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④ ________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可 以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步 骤⑥____________， 只有各个步骤都完成了， 这件事才算完成．
2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A.
新课标 ·理科数学（广东专用）自主落实 ·固基础附表：P(K2≥k k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 高考体验 ·明考情参照附表，得到的正确结论是( A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好典例探究 ·提知能该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 课后作业菜单
新课标 ·理科数学（广东专用） C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有自主落实 ·固基础关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 高考体验 ·明考情【解析】由相关系数K2的意义，附表所对应的概率为“爱好该运动与性别有关”，典例探究 ·提知能∴有 99% 以上的把握认为“ 爱好该项运动与性别有关”．【答案】 C 课后作业菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）自主落实 ·固基础课后作业（六十三）高考体验 ·明考情典例探究 ·提知能课后作业菜单。
高三一轮复习课堂新坐标理科数学人教A平面向量应用举例PPT课件
第26页/共41页
∴P→Q2－4P→C2＝0，∴|P→Q|2＝4|P→C|2.······2分
∴(－4－x)2＝4[(－1－x)2＋(－y)2]， 整理得：x42＋y32＝1，即为点P的轨迹方程.····4分 (2)①当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x＝－1.
第15页/共41页
一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的
作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的
大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2 7
B．2 5
C．2
D．6
【解析】 如图所示，由已
知得F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－(F1＋F2)． F23＝F12＋F22＋2F1·F2 ＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos 60°＝28. ∴|F3|＝2 7.
解得A(－1，－32)，B(－1，32)．
此时O→A·O→B＝－54，············5分
②当过点C的直线斜率存在时，设斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x＋1)．
代入方程
x2 4
＋
y2 3
＝1，整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12
＝0.
第27页/共41页
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122.············8 分 ∴y1y2＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－3＋9k42k2. ∴O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－54kk22＋＋132 ＝－54－4（4k323＋3）.······················10 分
高考理科第一轮复习课件(10.1分类加法计数原理)
5．已知集合M={1，-2,3}，N={－4,5,6，－7}，从两个集合中
各取一个元素作为点的坐标(一个为横坐标，一个为纵坐标)，
则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点
的个数是________.
【解析】令M中的元素作为点的横坐标，N中的元素作为点的纵
坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2
【规范解答】(1)选C.根据题意，在A，B间有四个焊接点，每 个焊接点脱落与否有2种情况，则A，B间的4个焊接点，共有 2×2×2×2=16种情况， 其中A，B之间线路通畅时，有1，2，3，4全部没有脱落，只有 2脱落，只有3脱落，共3种情况， 则A，B之间线路不通的焊接点脱落的不同情况有16-3=13种情 况,故选C.
当中间数为8时，有7×8＝56(个)；
当中间数为9时，有8×9＝72(个)．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).
(2)完成该件事可分步进行. 涂区域1，有5种颜色可选. 涂区域2，有4种颜色可选. 涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种 颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选， 此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×(1×4+3×3)= 260(种)涂色方法. 答案：260
区别二
各类办法之间是互斥 的、并列的、独立的
各步之间是相互依存的， 并且既不能重复也不能遗 漏
2．应用两个计数原理的“两个”注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分 步．在分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列 出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
第十章 计数原理与概率
高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学人教A版第十章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理-文档资料37页
(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A
2 4
种方法，第二
高 考
指 导
步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，
体 验
· 备
第四步涂区域5有3种方法．
· 明
高 考
∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法，
考 情
故由分类计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.
高
考
考
情
自
主
落
实
· 固 基 础
课 后 作 业
菜单
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典
络
例
构
探
建
究
· 览
1．分类加法计数原理
· 提
全
知
局
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不 能
策 略
同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件
高 考
指
体
导 ·
事共有N＝_m_＋__n____种不同的方法．
菜单
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典
络
例
构 建
【解】
(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c
探 究
· 览
的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝
· 提
全
知
局 180个不同的二次函数．
能
策 略
(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，
高 考
指
体
导 b、c的取值均有6种情况．
· 提
全 局
【提示】
能否独立完成这件事是区分“分类”还是
(推荐)高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学人教A版第十章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理
明
高
考
考
情
自
主
落
实
· 固 基 础
课 后 作 业
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典
络
例
构
探
建
究
· 览
1．分类加法计数原理
· 提
全
知
局
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不 能
策 略
同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件
高 考
指
体
导 ·
事共有N＝_m_＋__n____种不同的方法．
体 验
· 备
法二 间接法 C26－C24＝15－6＝9 种．
· 明
高
考
考
情
【答案】 9
自
主
落
实
· 固 基 础
课 后 作 业
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典
络
例
构
探
建
究
·
·
览
提
全
知
局
某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出 能
策 略
4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有
构
探
建
1．本题常见错误：①忽视相同画册，相同集邮册条
究
·
·
览 全
件，错用排列计算．②找不准分类标准．求解的关键在于抓
提 知
局
能
住赠送画册的本数进行分类．
策
高
略 指
2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在
考 体
导
· 于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题
2014高考数学 基础知识清单 第10章 排列组合二项定理 新人教A版
高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：〔1〕掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．〔2〕理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．〔3〕理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．〔4〕掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．§10. 排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．的排列.．．重复．．元素从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多m种〕少种不同放法？〔解：n二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 那么S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m mm nmn-=+--==⑶两个公式：①;m n n mn CC -=②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.〔或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C 〕②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，那么需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，那么需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排〞，后者是“并成一组〞，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n 〔利用!1)!1(1!1n n n n --=-〕 ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法〔即用m n m n m n C C C 11+-=+递推〕如：413353433+=+++n n C C C C C . vi.构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合1. I.排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部〞的排列.它主要用于解决“元素相邻问题〞，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列〞，而m m A 那么是“局部排列〞.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，那么有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，假设其中A 、B 排在一起有2211A A nn ⋅--. ③有n 件不同商品，假设其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题〞.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅〔插空法〕，当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般〞的解题原那么.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即假设n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：〔逐步插空法〕〔m+1〕〔m+2〕…n = n！/ m ！；解法二：〔比例分配法〕m m n n A A /.⑦平均法：假设把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C 〔平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了〕又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ 〔!2/102022818C C C P =〕注意：分组与插空综合.例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故〔4321,,,x x x x 〕是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式〔如图所示〕故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：假设为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置那么有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在〔或不固定在〕某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A 〔一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的〕 ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列〔或组合〕，规定某r 个元素都包含在内 。
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如图10－1－1所示，在连接正八 边形的三个顶点而成的三角形中， 与正八边形有公共边的三角形有 ________个． 【解析】 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)． 第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)． 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
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【答案】
B
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1．本题常见错误：①忽视相同画册，相同集邮册条 件，错用排列计算．②找不准分类标准．求解的关键在于抓 住赠送画册的本数进行分类． 2．分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在
用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为( )
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A．10
B．11
C．12
D．15
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【解析】 若4个位置的数字都不同的信息个数为1； 若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C 3 ；若恰有2个位 4 2 置上的数字不同的信息个数为C4. 3 2 由分类计数原理知满足条件的信息个数为1＋C业
菜
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1．(人教A版教材习题改编)某班新年联欢会原定的6个 节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( A．504 【解析】 法． 故共有7×8×9＝504种不同的插法． 【答案】 A B．210 C．336 )
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【答案】
A
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1．利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过 程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且也要确定分步的 标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存 的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
如图10－1－2所示，用四种 不同颜色给图中的A、B、C、D、 E、F六个点涂色，要求每个点涂 一种颜色，且图中每条线段的两个 端点涂不同颜色，则不同的涂色方 法共有( )
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故涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．
【答案】
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B
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第一节
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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【答案】
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3．(2012·大纲全国卷)6位选手依次演讲，其中选手甲
不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 ( ) A．240种 【解析】 B．360种 C．480种 D．720种
B．18种
先排第一列三个位置，再排第二列第一
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行上的元素，则其余位置上元素就可以确定．
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【尝试解答】 先排第一列，由于每列的字母互不相 同，因此共有A3种不同排法． 3 1 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A 2 种不同 的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法． 因此共有A3·A1·1＝12(种)不同的排列方法． 3 2
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某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出 4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有 ( ) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
2．分步必须满足两个条件：(1)步骤互相独立，互不干
扰．(2)步与步确保连续，逐步完成．
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已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b， c∈M，则 (1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数； (2)y＝ax2 ＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次
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因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向
上的二次函数.
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函数．
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【解】
(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c
的取值有6种情况，因此y＝ax2 ＋bx＋c可以表示5×6×6＝ 180个不同的二次函数． (2)y＝ax2 ＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况， b、c的取值均有6种情况．
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目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件 事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类 的两种方法是不同的方法．
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4．4．从4名男生，2名女生中，选2人参加某项活动，
至少有一名女生参加的选法有________种．
【解析】 法一 分两类， ①一男一女，共有 4×2＝8 种； ②两女，只有 1 种，共有 8＋1＝9 种． 法二 间接法 C2－C2＝15－6＝9 种． 6 4
【答案】 9
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【思路点拨】 计数原理．
由于是两类不同的书本，故用分类加法
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【尝试解答】 赠送一本画册，3本集邮册．需从4人 中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C1种方法． 4 赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画 册，其余2人送邮册，有C2种方法． 4 由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C 1 ＋C 2 ＝ 4 4 10(种)．
D．120
分三步，先插一个新节目，有7种方法，再
插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方
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2．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数
字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所
A．288种
B．264种
C．240种
D．168种
【思路点拨】 解答本题应注意两点：(1)每一个点都 有可以和它同色的两个点．(2)涂色的顺序不同影响解题的难 度，可先涂A、D、E，再分类涂B、F、C. 【尝试解答】 先涂A、D、E，共有4×3×2＝24种涂 法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与 E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法，另一类是B与 E和D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法，