电动力学课件：4-1平面电磁波
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第四章 电磁波的传播
本章重点：
1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系、偏振 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
引言
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电 磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在， 这就是电磁波。
cos2
k x
t
n
S
1
Re
E
H
1
2
2
E0
2
n
计算公式
g g 0e iti
f f 0e it
fg
1 2
f0 g0
cos
E例一x,t： 有1一00平e面x e电xp磁[i(波2，1其0电2 z场强2度为106 t)]
（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；
（2）确定频率、波长和波速；
对均匀介质 ， () 的
现象称为介质的色散。
一般频率成分不是
单一的，可能含有 若电磁波仅有一种频率成分
各种成分。
D E
B H
若电磁波具有各种频率成分，则：
D x,t Ex,t
Bx,
t
H
x,
t
实际上具有各种成分的电磁波可以写为：
E x, t E eitd
由此可知，由于
D
E
以及
2．平面电磁波的传播特性
（1）解为平面波
设
ES为x,t与 k
E0ei kxt
垂直的平面。在
S 面上相位 k x kx
平面波：波前或等 相面为平面，且波 沿等相面法线方向
传播。
k
x
= 常数，因此在同一时刻，
S
平面为等相面，而波沿
k
方向传播。
o
x S
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
i
E
）
同
D
iD
样 t
E
i
H
H iD iE
E
E
2
E
2
E
B t
i
H
2 E
令 k
H iD i E
v
2E k 2E 0 B i E
称为时谐波 的亥姆霍兹方 程（其中 k 称为波矢量）
2B k2B 0
同理可以导出磁感 应强度满足的方程
E i B
三、平面电磁波
研究平面波解的意
1．平面波解的形式
亥姆霍兹方程有多种解：
平面波解，球面波解，等。 其中最简单、最基本的形式
为平面波解。
E
x,t
E0ei
k xt
义：①简单、直观、
物理意义明显；②一
般形式的波都可以视
为不同频率平面波的
线性叠加。
B x,t
B0ei
kx
t
证 明2iE上(k面E 的)E解iki满[(足(亥k)E姆E0e霍ikek兹ixk)方xE程][：[((iikkEi0xk))Ee]eikikxxk2iEekiekikxEx0 ]
电磁波在空间传播 有各种各样的形式， 最简单、最基本的波 型是平面电磁波。
1．自由空间电磁场的 2．真空中的波动方程
基本方程
E B
2E
1
2E
0
t H D
t D 0 B 0
2B
c2 t2 1 2B
0
c 1 00
c2 t 2
能否直接用到介质中？
3．介质的色散
电磁波动在介质中
B
H
，而不能将真
空中的波动方程简单地用 代 0 、代 0转化为介
质中的波动方程。
4．时谐波（又称定态波）及其方程
时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的
电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。
这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表
Ex,t Exe 示为
e it
cos
t
i
sin t
i t
，因DB此xx有,,tt以 下BD关系xx成ee立iitt：
H
x,
t
H
x
e
it
对单一频率
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E、
B
H成立。介质中波动方程为：
2
E
1 v2
2E t 2
0
2B
1 v2
2B t 2
0
对定态波
B
(B(
x )e it
)
ieit
Bx
t
iB iH
t
E
B
iB
iH
t
B i E
（或者 H
（3）E v ，B H，H E
B H
2.5e y
exp[i(2
v
102
，H 0
4
100
107 108
z 2 106 t)]
2.5
（
H与 E同相位同频率，与
k垂直且与
E垂直，
故它在 轴y方向）。
（4）S ：单位时间垂直通过单位横向截面的能量
S vw
w E 2 B2 H 2 250
eikzt
E Re E0 ex iey
cos(kz t) i sin(kz t)
E0 [cos(kz t)ex sin(kz t)ey ]
E(z 0) E0 (costex sintey )
t 0, t ,
2
t , t 3 ,
2
E
E0ex
E
E0e y
E
E0ex
相互垂直且
B
k
E
）。
（5）波形图
k
4．平面电磁波的能量和能流
w
1 2
ED H B
1 2
E
2
1
B2
E v 1
B
w E2 B2
电场能等 于磁场能
S E H v n
电磁能量传播方向与 电磁波传播方向一致
w
E2
E
2 0
cos2
k
x t
w
1 2
E02
S
vE2n
vE02
E E0ey
y
E
x
右旋圆偏振
同样一个右旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的
线偏振波，且沿y轴波比x轴波相位超前 2 。
传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质 和导体的情况下的波动。在真空与介质、介质与介 质、介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、 折射、衍射和衰减等等，因此传播问题本质上是边 值问题。
电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微 波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。
§1 平面电磁波
一、电磁场波动方程
k E 0 同理 k B 0
（4） B 与 E的关系
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eik x
i
eik x
E0
k
E
几 点 说 明
a)
b)
B与 E
E
B
E, B, k
同相位；
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
c) E v，振幅比为波速（因为
B E,
B,
k k
例二、两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z
轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个波y 沿方向偏 振，但其相位比前者超前 2 ，求合成波的偏振。
解：E设1两个E电0e磁xe波ik分z别itk为zt
E2
E0ey
e
2
合 成波为
E E1 E2
iE0ey
ei
kzt
E0 ex iey
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(x x) 2 x x
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2 v
f
T
（3）横波特性(TEM波） k E k B 0
证明： E ( E0 )eikx (eikx )E0 ik E0eikx 0
（3）若介质的磁导率 4 10 7 (亨米) 求磁场强度；
（4）求在单位时间内从一个与 x y 平面平行的单位
面积通 过的电磁场能量。
解：（1）E 沿x 轴方向振荡，k
x
kz
，k
2
102
波沿 z方向传播。
（2） 2 106
2 102 (m)
k
f 106(Hz)
2
v
k
108 (m s )
本章重点：
1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系、偏振 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
引言
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电 磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在， 这就是电磁波。
cos2
k x
t
n
S
1
Re
E
H
1
2
2
E0
2
n
计算公式
g g 0e iti
f f 0e it
fg
1 2
f0 g0
cos
E例一x,t： 有1一00平e面x e电xp磁[i(波2，1其0电2 z场强2度为106 t)]
（1）判断电场强度的方向和波传播的方向；
（2）确定频率、波长和波速；
对均匀介质 ， () 的
现象称为介质的色散。
一般频率成分不是
单一的，可能含有 若电磁波仅有一种频率成分
各种成分。
D E
B H
若电磁波具有各种频率成分，则：
D x,t Ex,t
Bx,
t
H
x,
t
实际上具有各种成分的电磁波可以写为：
E x, t E eitd
由此可知，由于
D
E
以及
2．平面电磁波的传播特性
（1）解为平面波
设
ES为x,t与 k
E0ei kxt
垂直的平面。在
S 面上相位 k x kx
平面波：波前或等 相面为平面，且波 沿等相面法线方向
传播。
k
x
= 常数，因此在同一时刻，
S
平面为等相面，而波沿
k
方向传播。
o
x S
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
i
E
）
同
D
iD
样 t
E
i
H
H iD iE
E
E
2
E
2
E
B t
i
H
2 E
令 k
H iD i E
v
2E k 2E 0 B i E
称为时谐波 的亥姆霍兹方 程（其中 k 称为波矢量）
2B k2B 0
同理可以导出磁感 应强度满足的方程
E i B
三、平面电磁波
研究平面波解的意
1．平面波解的形式
亥姆霍兹方程有多种解：
平面波解，球面波解，等。 其中最简单、最基本的形式
为平面波解。
E
x,t
E0ei
k xt
义：①简单、直观、
物理意义明显；②一
般形式的波都可以视
为不同频率平面波的
线性叠加。
B x,t
B0ei
kx
t
证 明2iE上(k面E 的)E解iki满[(足(亥k)E姆E0e霍ikek兹ixk)方xE程][：[((iikkEi0xk))Ee]eikikxxk2iEekiekikxEx0 ]
电磁波在空间传播 有各种各样的形式， 最简单、最基本的波 型是平面电磁波。
1．自由空间电磁场的 2．真空中的波动方程
基本方程
E B
2E
1
2E
0
t H D
t D 0 B 0
2B
c2 t2 1 2B
0
c 1 00
c2 t 2
能否直接用到介质中？
3．介质的色散
电磁波动在介质中
B
H
，而不能将真
空中的波动方程简单地用 代 0 、代 0转化为介
质中的波动方程。
4．时谐波（又称定态波）及其方程
时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的
电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。
这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表
Ex,t Exe 示为
e it
cos
t
i
sin t
i t
，因DB此xx有,,tt以 下BD关系xx成ee立iitt：
H
x,
t
H
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对单一频率
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E、
B
H成立。介质中波动方程为：
2
E
1 v2
2E t 2
0
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1 v2
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0
对定态波
B
(B(
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)
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Bx
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t
E
B
iB
iH
t
B i E
（或者 H
（3）E v ，B H，H E
B H
2.5e y
exp[i(2
v
102
，H 0
4
100
107 108
z 2 106 t)]
2.5
（
H与 E同相位同频率，与
k垂直且与
E垂直，
故它在 轴y方向）。
（4）S ：单位时间垂直通过单位横向截面的能量
S vw
w E 2 B2 H 2 250
eikzt
E Re E0 ex iey
cos(kz t) i sin(kz t)
E0 [cos(kz t)ex sin(kz t)ey ]
E(z 0) E0 (costex sintey )
t 0, t ,
2
t , t 3 ,
2
E
E0ex
E
E0e y
E
E0ex
相互垂直且
B
k
E
）。
（5）波形图
k
4．平面电磁波的能量和能流
w
1 2
ED H B
1 2
E
2
1
B2
E v 1
B
w E2 B2
电场能等 于磁场能
S E H v n
电磁能量传播方向与 电磁波传播方向一致
w
E2
E
2 0
cos2
k
x t
w
1 2
E02
S
vE2n
vE02
E E0ey
y
E
x
右旋圆偏振
同样一个右旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的
线偏振波，且沿y轴波比x轴波相位超前 2 。
传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质 和导体的情况下的波动。在真空与介质、介质与介 质、介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、 折射、衍射和衰减等等，因此传播问题本质上是边 值问题。
电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微 波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。
§1 平面电磁波
一、电磁场波动方程
k E 0 同理 k B 0
（4） B 与 E的关系
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eik x
i
eik x
E0
k
E
几 点 说 明
a)
b)
B与 E
E
B
E, B, k
同相位；
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
c) E v，振幅比为波速（因为
B E,
B,
k k
例二、两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z
轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个波y 沿方向偏 振，但其相位比前者超前 2 ，求合成波的偏振。
解：E设1两个E电0e磁xe波ik分z别itk为zt
E2
E0ey
e
2
合 成波为
E E1 E2
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kzt
E0 ex iey
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(x x) 2 x x
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2 v
f
T
（3）横波特性(TEM波） k E k B 0
证明： E ( E0 )eikx (eikx )E0 ik E0eikx 0
（3）若介质的磁导率 4 10 7 (亨米) 求磁场强度；
（4）求在单位时间内从一个与 x y 平面平行的单位
面积通 过的电磁场能量。
解：（1）E 沿x 轴方向振荡，k
x
kz
，k
2
102
波沿 z方向传播。
（2） 2 106
2 102 (m)
k
f 106(Hz)
2
v
k
108 (m s )