静电场习题课1-14答案

静电场习题课1-14答案
静电场习题课
1．如图示真空中有两个半径分别为R 1和R 2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有
净电荷Q 1和Q 2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求： (1）导体球壳内、外电场强度E 的表达式； (2）内导体球壳()r R =1的电位?。

解：（1）外导体球壳的外表面所带电荷21Q Q Q =+外，则
r<="" p="">
12R r R <<时，2
0124r
Q E e r
πε=
；
r>R2时，
2
021
34r r Q Q E e πε+=
；
(2)
1
2
12
22
11321
2
21200001
111(
)()4444R R R R Q Q Q Q Q E dr E dr R R R R R ?πεπεπεπε∞+=+=
-
+
-=+∞??
2.真空中有一个半径为3cm 的无限长圆柱形区域内，有体密度ρ=10 mC m 3
均匀分布的电
荷。

求：r r r ===234cm, cm, cm 处的电场强度E 。

解：利用高斯定理，设R 为圆柱形区域的半径，
0.
Q E dS s ε=
3r cm <当时，
2E r
ρε=e ρ方向沿方向；
r>3cm 当时，
202R E e r
ρρε=方向沿方向。

所以
23r=cm E =v/m r=3cm E =v/m r=4cm E =v/m 77712，1.1310， 1.6910， 1.2710
3.内导体半径为2cm 和外导体的内半径为4cm 的球形电容器，其间充满介电常数ε=
2
F m
的电介质。

设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的ε值。

解：
224,48.s Q
r Q Q E E r r
D dS Q
D ππεπ==
==
沿径向
0.04
0.02
=ln 288Q Q
dr r ?ππ=?
内导体的电位：
000.040.04=88r Q Q r dr r r ?ππ=?
1设处电位
00
1
ln2=2=0.04ln
r r ??=
=ε
4.一同轴线内圆柱导体半径为a ，外圆柱导体半径为b ，其间填充相对介电常数ερ
r =a
的介质，当外加电压为U (外导体接地）时，试求：
(1)介质中的电通密度（电位移）D 和电场强度E 的分布； (2)介质中电位?的分布；
解:(1)由高斯通向定理
0,
.
2
0()()r bU
a b D e b a D
abU
E e b a ρρερρ
εερ
<<=
-==-时，
(2) 11
=()(()b
abU Ed b a b
ρ
ρρ=
--?以外导体为电位参考点）
5. 图示空气中一输电线距地面的高度3h m =，输电线的半径为5a mm =，输电线
的轴线与地面平行，旦对地的电压为3000U V =，试求地面上感应电荷分布的
规律。

(.
)ε012
88510=?-F m
0012
0-9,=b 22ln ln 3000V
2222 3.148.8510=30003000=23.510C /m
26000ln ln 5
A h a h a h a a
h a ττ?πεπεπετ->>-====??解：
则可认为电轴近似的放在输电线的轴线上，即h 。

若以地面为电位参考点，则
()
022129
2
222cos =
2(
)
323.510C /m 9n n E E h
E h x E x τπερ
ρττθπερπεσεπ-==
==+-?∴=-=?+
6. 已知半径为R 的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为σ0，则在其轴线上产生的电场强度为0
0y y
E e σπε=-。

一个带有均匀分布的电荷体密度为ρ0的半圆柱，半径也为R ，问它在轴线上产生的电场强度是多少？
=dr r dr
y
dEy e σρρπε=-000解：可将圆柱分为许多厚度为dr,其面密度
的半圆柱面，则距轴线半径为的
半圆柱面在轴线上产生的电场强度为
R y y
R Ey e dr e ρρπεπε=-=-?00整个半圆柱产生的总电厂强度为
7. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为τ，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质()εε204=相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d ，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。

20014300--43
===--+45
εεεεττττεεεε解：’
半
无
8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为R 1、R 3，其间充满介电常数分别为ε1、ε2的两种介质,其分界面是半径为R 2的圆柱面，若内导体单位长度带电荷量+Q ，外导体内表面单位长度所带电荷量-Q ，且外导体接地，如图所示，请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。

解:
122
32
222112322111
2
12
1212
r ====0=0,=-2=0
=R R R R R R R R R Q R ρρρρρρ?ρ?ρ?ερπεερρ===?≤≤?≤≤????=??，
9．图示真空中有一半径为a 的长直圆柱导体，其轴线离地面的高
度为h ，圆柱导体与地面
之间接有恒定电压源U 0。

若忽略端部的边缘效应，并以地面为电位参考点，试求：
(1)圆柱导体与地面之间区域的电场强度E 和电位?的表达式；(2)系统的单位长度电容C 0。

(
)()12120000000
20
100
1122022
11
9.1'ln ln 222ln 22ln
ln ln 2ln 220ln
A A A b b h a U b h a U b h a
b h a
U e e E e e b h a
U b h a b h a
C b h a
U b h a
ρρρρρρτρτ?περπετπεττπερπερρρτρρ?περρττπε?=
=+-===-+∴=
+--+??-∴=+=- -+=+--+===+--+解：
应用镜像法与电轴法
10. 内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器，其间充满介电常数
ε=2
r
F m的电介质。

设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导
体电位的一半时，该处的ε值。

00
0.04
0.02
0.04
22 1
,
44
=
8
=ln2
88
0.04
==ln
88
ln2
=2=
0.04
ln
=
s
r
Q Q r D dS Q D E r r
Q
E
r
Q Q
dr
r
Q Q
dr
r r
r
r
ππε
π
ππ
ε
===
=
=
解：以为半径作高斯球面
沿径向
内导体的电位：
设处电位
11.已知真空中静电场的电位
2
()
x U
x xV
d
ε
=+，求电场强度的分布及电荷体密度ρ。

2
000
2
11./
2
=2/
x
x U
E e e V m
x d
E
gD gE C m
x
ε
ρεεε
ε
=-?=-=-+
=-?=-=-=-
解：
12. 自由空间有三块尺寸相同的薄金属板平行放置，1、2板和2、3板之间的距离均为
d
2
，已知：1、3板间电压为U0，金属板2带的电荷面密度为σ，如图5所示。

用电位函数的边值问题求金属板间电位分布，以及1板和3板上的电荷面密度，(设1板接地，且忽略端部的边缘效应)。

o
U
13
2d
2
d
2
21222
2
212122
2
2
1
1
2
2
2
10
022
002342134121000
0021012.12,23==0==000=0,,222(),(22d d
d
x x x x d d
x x d d dx dx
d d dx dx
U U d c x c c x c c c c c d d U U x d d εεσ
σσσ??εεεσσ??εε=====
=??==-==+=+==
+=-==+=- 设、板间电位、板间电位，00
0000212001)2();()22
d
U U x d x d σε?εσ?εσ
σεσε=+
=-=----=-
13. 一个半径为R 介质球，介电常数为ε，球内的极化强度K
P e r
γ=
，其中K 为常数。

计算:1）束缚电荷体密度和面密度；2）自由电荷密度；3）球内、外的电场和电位分布。

()(
)()()022222
00
22222
002013.111()1
(2),211=14R s r p p n r r R r r d d K K P r P r r dr r dr r r r R K
P e P R
D E P P E d d K
D r D r P r dr r dr r K q d r ρσεεεεερεεεεερτπεε==-?=-==-====
=+=
-?===
--==-??解：介质内的束缚电荷体密度为在的球面上，束缚电荷面
密度为
由于所以
由此可得到介质球内的自由电荷体密度为总的自由电荷量
20
1002220001212000000224(3)()
()()
4()=()()ln ()()()
R R
r
r
R
r
R r r r r RK r dr P K
E e r R r
q RK
E e e r R r r K RK
E dl E dr E dr dr dr
r r
K R K
r R r R E dr πεεεεεεεεπεεεεε?εεεεεεεεεεεε?∞∞∞∞=-==<--==>-=+=+--=+≤--==
介质球内、外的电场强度分别为介质球内、外的电位分别为
2000
0()
()()r K RK dr r R r r εεεεεεε∞=≥--?
14.空气中有一内外半径分别为a 和b 的带电介质球壳，介质的介电常数为ε，介质内有电荷
密度为2
A
ργ=
的电荷分布，其中系数A 为常数，求总电荷及空间电场强度、电位的分
布。

若b a →，结果如何？
12220()()
14.4(),r r A r a A b a q A b a E e E e r r
πεε--=-==
15. 半径为R 的空心球金属薄壳内，有一点电荷q ，离球心距离为b ，b R <。

设球壳为中
性，即壳内外表面总电荷为零，求壳内外的电场。

q 解：点电荷在壳内
16. 半径为a 的球形导体薄壳内、外分别充满着介电常数为ε、ε0的均匀介质，
已知离球心r 远处的电场强度E 的分布为
42
r r Ar e r a
E Ar e r a -?<=?>? 式中A 为常数。

求: [1] 导体球壳内、外介质中的电荷体密度ρ()r [2] 导体球壳表面上的电荷面密度σ。

提示：22111()(sin )sin sin r A A r A A r r r r φ
θθθθθφ
=-+
17. 如图1示真空中有一个半径为a 的介质球，其相对介电常数为εr =3，介质
球内分布着体密度为ρ的均匀自由电荷。

已知球心处的电位01000V ?=(以无穷远处为电位参考点)，球表面上介质一侧的电场强度E =104V m 试求： [1] 介质球的半径a ； [2] 介质球内的电荷体密度ρ；
[3] 定性画出空间E f r =1()和?=f r 2()的大致变化的曲线。

17题图。