福建省龙岩市2019-2020学年第二次中考模拟考试数学试卷含解析

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福建省龙岩市2019-2020学年第二次中考模拟考试数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,有下面四个结论:0abc >①;0a b c ②-+>; 230a b +>③;40c b ->④,其中正确的结论是( )
A .①②
B .①②③
C . ①③④
D . ①②④
2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则反比例函数a y x
=
与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( )
A .
B .
C .
D .
3.如图,在以O 为原点的直角坐标系中,矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,反比例函数k y x
=
(x >0)与AB 相交于点D ,与BC 相交于点E ,若BD=3AD ,且△ODE 的面积是9,则k 的值是( )
A .92
B .74
C .245
D .12
4.如图,△ABC 中,BC =4,⊙P 与△ABC 的边或边的延长线相切.若⊙P 半径为2,△ABC 的面积为5,则△ABC 的周长为( )
A .8
B .10
C .13
D .14
5.已知O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面上一点,点P 在OM 上.一只蜗牛从P 点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是( )
A .
B .
C .
D .
6.如果1∠与2∠互补,2∠与3∠互余,则1∠与3∠的关系是( )
A .13∠=∠
B .11803∠=-∠o
C .1903∠=+∠o
D .以上都不对
7.如图,下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是( )
A .∠ABD=∠ACB
B .∠ADB=∠AB
C C .AB 2=AD•AC
D . AD AB AB BC
= 8.长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市,面积约2 050 000平方公里,约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为( )
A .205万
B .420510⨯
C .62.0510⨯
D .72.0510⨯
9.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米,数字0.00000071用科学记数法表示为( )
A .7.1×107
B .0.71×10﹣6
C .7.1×10﹣7
D .71×10﹣8
10.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,D 是线段BC 上的动点(不含端点B ,C).若线段AD 长为正整数,则点D 的个数共有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
11.用6个相同的小正方体搭成一个几何体,若它的俯视图如图所示,则它的主视图不可能是()
A.B.C.D.
12.将抛物线绕着点(0,3)旋转180°以后,所得图象的解析式是().
A.B.
C.D.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.若2x+y=2,则4x+1+2y的值是_______.
14.如图,是由一些小立方块所搭几何体的三种视图,若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方块,以搭成一个大正方体,至少还需要________个小立方块.
15.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为_______.
16.不等式2x-5<7-(x-5)的解集是______________.
17.关于x的一元二次方程2
4410
x ax a
+++=有两个相等的实数根,则
58
1
a a
a
-
-
的值等于_____.
18.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为_____.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛.若确定
甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,恰好选中乙同学的概率是.若随机抽取两位同学,请用画树状图法或列表法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
20.(6分)如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.求证:△ACE≌△BCD;若AD=5,BD=12,求DE的长.
21.(6分)解不等式组:
426
1
1
3
x x
x
x
>-


+

-≤
⎪⎩
,并写出它的所有整数解.
22.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标是A(﹣2,3),B(﹣4,﹣1),C(2,0).点P (m,n)为△ABC内一点,平移△ABC得到△A1B1C1,使点P(m,n)移到P(m+6,n+1)处.(1)画出△A1B1C1
(2)将△ABC绕坐标点C逆时针旋转90°得到△A2B2C,画出△A2B2C;
(3)在(2)的条件下求BC扫过的面积.
23.(8分)2018年4月12日上午,新中国历史上最大规模的海上阅兵在南海海域隆重举行,中国人解放军海军多艘战舰、多架战机和1万余名官兵参加了海上阅兵式,已知战舰和战机总数是124,战数的3倍比战机数的2倍少8.问有多少艘战舰和多少架战机参加了此次阅兵.
24.(10分)如图,已知A(﹣4,
1
2
),B(﹣1,m)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=
n
x
图象的两个交点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D.
(1)求m的值及一次函数解析式;
(2)P是线段AB上的一点,连接PC、PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标.
25.(10分)甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品,在同一促销期间两家商场都让利酬宾,让利方式如下:甲商场所有商品都按原价的8.5折出售,乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售.某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物,设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x(x>0)元,让利后的购物金额为y元.
(1)分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式;
(2)该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱?并说明理由.
26.(12分)(1)问题发现:
如图①,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为;
(2)深入探究:
如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:
如图③,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中点,连接CN,若BC=10,CN=2,试求EF的长.
27.(12分)科技改变世界.2017年底,快递分拣机器人从微博火到了朋友圈,据介绍,这些机器人不仅可以自动规划最优路线,将包裹准确地放入相应的格口,还会感应避让障碍物,自动归队取包裹.没电的时候还会自己找充电桩充电.某快递公司启用80台A种机器人、300台B种机器人分拣快递包裹.A,B 两种机器人全部投入工作,1小时共可以分拣1.44万件包裹,若全部A种机器人工作3小时,全部B种机器人工作2小时,一共可以分拣3.12万件包裹.
(1)求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹;
(2)为了进一步提高效率,快递公司计划再购进A,B两种机器人共200台,若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于7000件,求最多应购进A种机器人多少台?
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.D
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得到a 0>,根据对称轴02b x a
=->得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >;1x =-时,由图像可知此时0y >,所以0a b c -+>;由对称轴123
b x a =-=,可得230a b +=;当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a b
c ++>,将23a b =-代入可得40c b ->.
【详解】
①根据抛物线开口方向得到0a >,根据对称轴02b x a =-
>得到b 0<,根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<,所以0abc >,故①正确.
②1x =-时,由图像可知此时0y >,即0a b c -+>,故②正确. ③由对称轴123
b x a =-=,可得230a b +=,所以230a b +>错误,故③错误; ④当2x =时,由图像可知此时0y >,即420a b
c ++>,将③中230a b +=变形为23a b =-,代入可得40c b ->,故④正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系,注意用数形结合的思想解决问题。

2.D
【解析】
【分析】
根据抛物线和直线的关系分析.
【详解】 由抛物线图像可知
,所以反比例函数应在二、四象限,一次函数过原点,应在二、四象限.
故选D
【点睛】
考核知识点:反比例函数图象.
3.C
【解析】
【分析】
设B 点的坐标为(a ,b ),由BD=3AD ,得D (
4a ,b ),根据反比例函数定义求出关键点坐标,根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.
【详解】
∵四边形OCBA 是矩形,
∴AB=OC ,OA=BC ,
设B 点的坐标为(a ,b ),
∵BD=3AD ,
∴D (4
a ,
b ), ∵点D ,E 在反比例函数的图象上, ∴
4
ab =k , ∴E (a , k a ), ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-
12•4ab -12•4ab -12•34a •(b-k a )=9, ∴k=245
, 故选:C
【点睛】
考核知识点:反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形,分析图形面积关系是关键.
4.C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案.
【详解】
连接PE 、PF 、PG ,AP ,
由题意可知:∠PEC=∠PFA=PGA=90°,
∴S△PBC=1
2
BC•PE=
1
2
×4×2=4,
∴由切线长定理可知:S△PFC+S△PBG=S△PBC=4,
∴S四边形AFPG=S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC=5+4+4=13,
∴由切线长定理可知:S△APG=1
2
S四边形AFPG=
13
2

∴13
2

1
2
×AG•PG,
∴AG=13
2

由切线长定理可知:CE=CF,BE=BG,
∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE
=AC+AB+CF+BG
=AF+AG
=2AG
=13,
故选C.
【点睛】
本题考查切线长定理,解题的关键是画出辅助线,熟练运用切线长定理,本题属于中等题型.
5.D
【解析】
【分析】
此题运用圆锥的性质,同时此题为数学知识的应用,由题意蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P 点时所爬过的最短,就用到两点间线段最短定理.
【详解】
解:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段,因此选项A和B错误,
又因为蜗牛从p点出发,绕圆锥侧面爬行后,又回到起始点P处,那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点(P′)重合,而选项C还原后两个点不能够重合.
故选D.
点评:本题考核立意相对较新,考核了学生的空间想象能力.
6.C
【解析】
【分析】
根据∠1与∠2互补,∠2与∠1互余,先把∠1、∠1都用∠2来表示,再进行运算.
【详解】
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠1=90°
∴∠1=90°-∠2
∴∠1-∠1=90°,即∠1=90°+∠1.
故选C.
【点睛】
此题主要记住互为余角的两个角的和为90°,互为补角的两个角的和为180度.
7.D
【解析】
【分析】
根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,分别判断得出即可.
【详解】
解:A、∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;
B、∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;
C、∵AB2=AD•AC,
∴AC AB
AB AD
,∠A=∠A,△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;
D、AD
AB
=
AB
BC
不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意.
故选D.
【点睛】
点评:本题考查了相似三角形的判定,利用了有两个角对应相等的三角形相似,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
8.C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】2 050 000将小数点向左移6位得到2.05,
所以2 050 000用科学记数法表示为:20.5×106,
故选C.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
9.C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
0.00000071的小数点向或移动7位得到7.1,
所以0.00000071用科学记数法表示为7.1×10﹣7,
故选C.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
10.C
【解析】
试题分析:过A作AE⊥BC于E,∵AB=AC=5,BC=8,∴BE=EC=4,∴AE=3,∵D是线段BC上的动点(不含端点B,C),∴AE≤AD<AB,即3≤AD<5,∵AD为正整数,∴AD=3或AD=4,当AD=4时,E的左右两边各有一个点D满足条件,∴点D的个数共有3个.故选C.
考点:等腰三角形的性质;勾股定理.
11.D
【解析】
分析:根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案.
详解:∵主视图和俯视图的长要相等,∴只有D选项中的长和俯视图不相等,故选D.
点睛:本题主要考查的就是三视图的画法,属于基础题型.三视图的画法为:主视图和俯视图的长要相等;主视图和左视图的高要相等;左视图和俯视图的宽要相等.
12.D
【解析】
【分析】
将抛物线绕着点(0,3)旋转180°以后,a的值变为原来的相反数,根据中心对称的性质
求出旋转后的顶点坐标即可得到旋转180°以后所得图象的解析式.
【详解】
由题意得,a=-.
设旋转180°以后的顶点为(x′,y′),
则x′=2×0-(-2)=2,y′=2×3-5=1,
∴旋转180°以后的顶点为(2,1),
∴旋转180°以后所得图象的解析式为:.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的旋转变换,在绕抛物线某点旋转180°以后,二次函数的开口大小没有变化,方向相反;设旋转前的的顶点为(x,y),旋转中心为(a,b),由中心对称的性质可知新顶点坐标为(2a-x,2b-y),从而可求出旋转后的函数解析式.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.1
【解析】
分析:将原式化简成2(2x+y)+1,然后利用整体代入的思想进行求解得出答案.
详解:原式=2(2x+y)+1=2×2+1=1.
点睛:本题主要考查的是整体思想求解,属于基础题型.找到整体是解题的关键.
14.54
【解析】
试题解析:由主视图可知,搭成的几何体有三层,且有4列;由左视图可知,搭成的几何体共有3行;
第一层有7个正方体,第二层有2个正方体,第三层有1个正方体,
共有10个正方体,
∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体,以搭成一个大正方体,
∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体,
∴至少还需要64-10=54个小正方体.
【点睛】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体,再根据搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体,即可得出答案.本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查,关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体.
15.5.
【解析】
【详解】
试题解析:过E作EM⊥AB于M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,
∴EM=AD,BM=CE,
∵△ABE的面积为8,
∴1
2
×AB×EM=8,
解得:EM=4,
即AD=DC=BC=AB=4,
∵CE=3,
由勾股定理得:2222
43
BC CE
+=+
考点:1.正方形的性质;2.三角形的面积;3.勾股定理.
16.x<17 3
【解析】
解:去括号得:2x-5<7-x+5,移项、合并得:3x<17,解得:x<17
3
.故答案为:x<
17
3

17.3-【解析】
分析:先根据根的判别式得到a-1=1
a
,把原式变形为23357
a a a a
+
++--,然后代入即可得出结果. 详解:由题意得:△=2
(4)44(1)0
a a
-⨯+=,∴210
a a
--=,∴22
1,1
a a a a
=+-=,即a(a-1)=1, ∴a-1=
1
a
,
55
62232
88
8()8
1
1
a a a a
a a a a
a
a
--
∴==-=-
-
33232
(1)8(1)33188357
a a a a a a a a a
=+-+=+++--=+--
(1)3(1)57
a a a a
=+++--
24
a a
=--
143
=-=-
故答案为-3.
点睛:本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²-4ac:当△>0, 方程有两个不相等的实数根;当△<0, 方程没有实数根;当△=0,方程有两个,相等的实数根,也考查了一元二次方程的定义. 18.
21
2
+或1
【解析】
【分析】
图1,∠B’MC=90°,B’与点A重合,M是BC的中点,所以BM=
121
222
BC=+,
图2,当∠MB’C=90°,∠A=90°,AB=AC,
∠C=45°,
所以Rt'
CMB
V是等腰直角三角形,所以BM=2+1,所以CM+BM=2BM+BM=2+1,
所以BM=1.
【详解】
请在此输入详解!
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(1);(2)
【解析】
【分析】
1)由题意可得共有乙、丙、丁三位同学,恰好选中乙同学的只有一种情况,则可利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
解:(1)∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,确定甲打第一场,再从其余的三位同学中随机选取一位,∴恰好选到丙的概率是: ;
(2)画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,恰好选中甲、乙两人的有2种情况,
∴恰好选中甲、乙两人的概率为:
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.
20.(1)证明见解析(2)13
【解析】
【分析】
(1)先根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD,再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论;
(2)根据全等三角形的性质可得AE=BD,∠EAC=∠B=45°,即可证得△AED是直角三角形,再利用勾股定理即可求出DE的长.
【详解】
(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=90°
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA,∠BCD=∠ACB-∠DCA
∴∠ACE=∠BCD
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠BAC=∠B=45°
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD=12,∠EAC=∠B=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°,
∴△EAD是直角三角形
13
DE
∴===
【点睛】
解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等、对应角相等.
21.﹣2,﹣1,0,1,2;
【解析】
【分析】
首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集;再确定解集中的所有整数解即可.【详解】
解:解不等式(1),得x3
>-
解不等式(2),得x≤2
所以不等式组的解集:-3<x≤2
它的整数解为:-2,-1,0,1,2
22.(1)见解析;(2)见解析;(3)
1
9
4
π.
【解析】【分析】
(1)根据P (m ,n )移到P (m+6,n+1)可知△ABC 向右平移6个单位,向上平移了一个单位,由图形平移的性质即可得出点A 1,B 1,C 1的坐标,再顺次连接即可;
(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可;
(3)先求出BC 长,再利用扇形面积公式,列式计算即可得解.
【详解】
解:(1)平移△ABC 得到△A 1B 1C 1,点P (m ,n )移到P (m+6,n+1)处,
∴△ABC 向右平移6个单位,向上平移了一个单位,
∴A 1(4,4),B 1(2,0),C 1(8,1);
顺次连接A 1,B 1,C 1三点得到所求的△A 1B 1C 1
(2)如图所示:△A 2B 2C 即为所求三角形.
(3)BC 2222(42)(10)(6)137--+--=-+=
BC 扫过的面积2113794
4
ππ= 【点睛】 本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,比较简单,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键.
23.有48艘战舰和76架战机参加了此次阅兵.
【解析】
【分析】
设有x 艘战舰,y 架战机参加了此次阅兵,根据题意列出方程组解答即可.
【详解】
设有x 艘战舰,y 架战机参加了此次阅兵,
根据题意,得124328x y x y +=⎧⎨=-⎩
, 解这个方程组,得 4876x y =⎧⎨=⎩
, 答:有48艘战舰和76架战机参加了此次阅兵.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的应用,关键是根据题意列出等量关系进行解答.
24.(1)m=2;y=
12x+52;(2)P 点坐标是(﹣52,54). 【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)设点P 的坐标为15,
22P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,根据面积公式和已知条件列式可求得x 的值,并根据条件取舍,得出点P 的坐标.
【详解】
解:(1)∵反比例函数n y x =的图象过点14,,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴1422
n =-⨯=-, ∵点B (﹣1,m )也在该反比例函数的图象上,
∴﹣1•m=﹣2,
∴m=2;
设一次函数的解析式为y=kx+b ,
由y=kx+b 的图象过点A 14,,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
,B (﹣1,2),则 1422,k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 解得:125,2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴一次函数的解析式为1522
y x =+;
(2)连接PC 、PD ,如图,设15,22P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ∵△PCA 和△PDB 面积相等, ∴()1111541222222x x ⎛⎫⨯⨯+=⨯-⨯-- ⎪⎝
⎭, 解得: 5155,,2224
x y x =-=+= ∴P 点坐标是55,.24⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式,反比例函数与一次函数的交点问题,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
25.(1)y 1=0.85x ,y 2=0.75x+50 (x >200),y 2=x (0≤x≤200);(2)x >500时,到乙商场购物会更省钱,x=500时,到两家商场去购物花费一样,当x <500时,到甲商场购物会更省钱.
【解析】
【分析】
(1)根据单价乘以数量,可得函数解析式;
(2)分类讨论,根据消费的多少,可得不等式,根据解不等式,可得答案.
【详解】
(1)甲商场写出y 关于x 的函数解析式y 1=0.85x ,
乙商场写出y 关于x 的函数解析式y 2=200+(x ﹣200)×0.75=0.75x+50(x >200),
即y 2=x (0≤x≤200);
(2)由y 1>y 2,得0.85x >0.75x+50,
解得x >500,
即当x >500时,到乙商场购物会更省钱;
由y 1=y 2得0.85x=0.75x+50,
即x=500时,到两家商场去购物花费一样;
由y 1<y 2,得0.85x <0.75x+500,
解得x <500,
即当x <500时,到甲商场购物会更省钱;
综上所述:x >500时,到乙商场购物会更省钱,x=500时,到两家商场去购物花费一样,当x <500时,到甲商场购物会更省钱.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,分类讨论是解题关键.
26.(1)NC ∥AB ;理由见解析;(2)∠ABC=∠ACN ;理由见解析;(3)241; 【解析】
【分析】
(1)根据△ABC ,△AMN 为等边三角形,得到AB=AC ,AM=AN 且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM ,即∠BAM=∠CAN ,证明△BAM ≌△CAN ,即可得到BM=CN . (2)根据△ABC ,△AMN 为等腰三角形,得到AB :BC=1:1且∠ABC=∠AMN ,根据相似三角形的性质得到AB AC AM AN
=,利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN ,根据相似三角形的性质即可得到结论; (3)如图3,连接AB ,AN ,根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,根据相似三角形的性质得出
BM AB CN AC =,得到BM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案. 【详解】
(1)NC ∥AB ,理由如下:
∵△ABC 与△MN 是等边三角形,
∴AB=AC ,AM=AN ,∠BAC=∠MAN =60°,
∴∠BAM=∠CAN ,
在△ABM 与△ACN 中,
AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABM ≌△ACN (SAS ),
∴∠B=∠ACN=60°,
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°,
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°,
∴CN ∥AB ;
(2)∠ABC=∠ACN ,理由如下:
∵AB AM BC MN
==1且∠ABC=∠AMN , ∴△ABC ~△AMN
∴AB AC AM AN
=, ∵AB=BC , ∴∠BAC=12
(180°﹣∠ABC ), ∵AM=MN ∴∠MAN=
12(180°﹣∠AMN ), ∵∠ABC=∠AMN ,
∴∠BAC=∠MAN ,
∴∠BAM=∠CAN ,
∴△ABM ~△ACN , ∴∠ABC=∠ACN ;
(3)如图3,连接AB ,AN , ∵四边形ADBC ,AMEF 为正方形, ∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°, ∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC 即∠BAM=∠CAN ,

AB AM BC AN
== ∴AB AC AM AN =, ∴△ABM ~△ACN ∴BM AB CN AC
=,
∴CN AC BM AB ==cos45°=2,

2BM =, ∴BM=2,
∴CM=BC ﹣BM=8, 在Rt △AMC ,
=
∴.
【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.
27.(1)A种机器人每台每小时各分拣30件包裹,B种机器人每台每小时各分拣40件包裹(2)最多应购进A种机器人100台
【解析】
【分析】
(1)A种机器人每台每小时各分拣x件包裹,B种机器人每台每小时各分拣y件包裹,根据题意列方程组即可得到结论;
(2)设最多应购进A种机器人a台,购进B种机器人(200−a)台,由题意得,根据题意两不等式即可得到结论.
【详解】
(1)A种机器人每台每小时各分拣x件包裹,B种机器人每台每小时各分拣y件包裹,
由题意得,
80300 1.4410000
{
3802300 3.1210000
x y
x y
+=⨯
⨯+⨯=⨯

解得,
30
40
x
y
=


=


答:A种机器人每台每小时各分拣30件包裹,B种机器人每台每小时各分拣40件包裹;(2)设最多应购进A种机器人a台,购进B种机器人(200﹣a)台,
由题意得,30a+40(200﹣a)≥7000,
解得:a≤100,则最多应购进A种机器人100台.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组,一元一次不等式的应用,正确的理解题意是解题的关键.。

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