2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试
卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知i为虚数单位，若复数m2−5m+6+(m−2)i是纯虚数，则实数m的值为()
A. 2或3
B. −1或6
C. 2
D. 3
2.若实数a，b满足−1<a<3，2<b<7，则b−a的取值范围是()
A. (1,10)
B. (3,4)
C. (−1,8)
D. (5,6)
3.如图所示的知识结构图中，①②处应分别填()
A. 归纳，类比
B. 合情推理，演绎推理
C. 分析法，三段论
D. 分析法，反证法
4.已知i为虚数单位，则复数z=2−i
的共轭复数在复平面内对应的点位于()
1+i4
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5.下列说法错误的是()
A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好
C. 线性回归方程对应的直线y^=b^x+a^至少经过其样本数据点中的一个点
D. 在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好
6.为庆祝中国共产党成立100周年，某校高二年级举行了党史知识竞赛，甲、乙、丙、
丁四位同学一起去向老师询问竞赛成绩，老师告诉他们四人中有2位优秀，2位良好，老师给甲看了乙、丙的成绩，给丙看了乙的成绩，给丁看了甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据上面信息，则()
A. 丙和丁可以知道自己的成绩
B. 丙和丁可以知道对方的成绩
C. 丙可以知道四个人的成绩
D. 丁可以知道四个人的成绩
7.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
根据如表画出散点图，发现样本点分布在曲线y =k ⋅2ct 的附近，为了求回归方程，令z =log 2y ，得到回归直线方程z =1.7t +log 2k ，则k 的值为( )
A. 21.5
B. log 21.5
C. 1.5
D. −1.5
8. 在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a(a >0)与圆ρ=3相切，则a 等于( )
A. 2√3
B. √6
C. 3√2
D. 6
9. 下面利用分析法证明问题的推理过程中不正确的是( )
A. 要证√3+√7<2√5，只需证(√3+√7)2<(2√5)2
B. 要证a 2+b 2−1−a 2b 2≤0，只需证(a 2−1)(b 2−1)≥0
C. 要证一元二次方程的两个根x 1，x 2都大于2，只需证x 1+x 2>4，且x 1x 2>4
D. 要证a ，b ，c 为等差数列，只需证a +c =2b
10. 若关于x 的不等式|x −3|+|x +a|<5有解，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−8)∪(2,+∞)
B. (−8,2)
C. (−∞,−2)∪(8,+∞)
D. (−2,8)
11. 曲线x 2−16y 2−4x =0经过伸缩变化{x′=λx(λ>0)y′=μy(μ>0)
后，变为曲线x′2−y′2−
2x′=0，则λ，μ的值分别为( )
A. λ=1
2，μ=4 B. λ=1
2，μ=2 C. λ=2，μ=4
D. λ=1，μ=4
12. 已知椭圆C 的参数方程为{
x =3cosθ
y =2sinθ
(θ为参数)，直线l ：x −2y −7=0，过椭圆C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，则|PA|的最大值和点P 的横坐标分别为( )
A. 12√5
5,−85
B. 24√5
5,−85
C. 12√5
5,−95
D. 24√5
5,−95
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若复数z 满足(2−i)z =4+3i(i 为虚数单位)，则|z|= ______ ．
14. 为了调查电动自行车骑乘人员佩戴安全头盔的情况，现随机调查1000名骑行人员，
其中年龄低于40岁的占3
5，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的等高条形图，则这1000名骑行人员中，戴头盔的有______人．
15.“谢尔宾斯基地毯”是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，将一个实心正方形
划分为9个小正方形，去掉中间的小正方形，对余下的小正方形重复这一操作(我们把去掉的正方形用黑色表示)，如图：
把第n个图形中黑色正方形的个数记为a n，a1=1，a2=9，a3=73，…，观察图形的变化规律，由归纳推理得a n=______．
16.若关于x的不等式|2x−6|+1≤ax有解，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
)=5．
圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−π
3
(1)求圆C的直角坐标方程和圆心C的极坐标；
(2)设直线l：θ=π
与圆C交于A，B两点，求线段AB的长度．
6
18.(1)已知x>y，求证：x3−y3>x2y−y2x；
(2)已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，求证：ab+bc+ac≤3．
19.河南电视台在周末晚间推出一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，
随机抽取了500名观众(其中男性300名)对节目评分(百分制)，将这300名男性观众的评分分组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”.若从女性
观众的评分中随机抽取一份，“不满意”的概率为0.3，完成下面的2×2列联表；
(2)根据(1)中表格的数据，是否有95%的把握认为对该综艺节目是否满意与性别有
关．
附：
K2=n(ad−bc)2
，其中n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20.已知函数f(x)=|x+m|−|2x−m|，m>0．
(1)当m=1时，求不等式f(x)≥−3的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于3，求m的取值范围．
21.2021年3月5日李克强总理在政府工作报告中指出2020年年初剩余的551万农村
贫困人口全部脱贫，52个贫困县全部摘帽，2021年要做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接．对脱贫县从脱贫之日起设立5年过渡期，保持主要帮扶政策总体稳定．
(1)如表是某贫困县收入最低的一个家庭2020年8至12月的人均月纯收入(其中
2020年8月份的时间代码为1，依此类推)：
由散点图及相关性分析发现：该家庭人均月纯收入y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系，请求出回归方程；
(2)受2021年年初我国局部疫情出现反弹影响，在(1)的条件下，该家庭2021年第一季度(1,2，3月份)每月的人均月纯收入均为预测值的1
3，假设从4月份开始，每月的人均月纯收入均为预测值的4
5，由此估计该家庭2021年能否达到小康标准(按照农村家庭人均年纯收入8000元为达到小康标准)，并说明理由． 附：∑x i 5i=1y i =11750，b ̂
=
∑x i n i=1y i −nx −y
−
∑x i 2n i=1−nx
−
2，a ̂
=y −−b ̂
x −．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{
x =−1+tcosα
y =−2+tsinα
(t 为参数)． (1)求直线l 的普通方程；
(2)已知曲线C ：y 2=2px(p >0)，直线l 的倾斜角α=π
4，M 0(−1,−2)，直线l 与曲线C 分别交于点A ，B ，若|M 0A|，|AB|，|M 0B|成等差数列，求p 的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可知，m2−5m+6=0且m−2≠0，
解得m=3．
故选：D．
利用纯虚数的定义，列式求解即可．
本题考查了纯虚数定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵−1<a<3，∴−3<−a<1，
又2<b<7，∴−1<b−a<8．
即b−a的取值范围是(−1,8)．
故选：C．
由已知直接利用不等式的可乘积性与可加性求得b−a的取值范围．
本题考查简单的线性规划，考查不等式性质的应用，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意知，证明方法分为直接证明和间接证明，直接证明有综合法与分析法，间接证明是反证法，
所以在如图所示的知识结构图中，①②处应分别填“直接证明和反证法”．
故选：D．
根据证明方法分为直接证明和间接证明，直接证明有综合法与分析法，间接证明是反证法，由此填写知识结构图即可．
本题考查了证明方法的知识结构应用问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为z=2−i
1+i4=2−i
1+1
=1−1
2
i，所以z−=1+1
2
i，
所以在复平面内对应的点的坐标为(1,1
2
)，位于第一象限．
故选：A．
化简z，由共轭复数的定义求出z−，得到z−在复平面内对应的点所在的象限即可．
本题考查了复数的运算，共轭复数的定义以及复数的几何意义，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了回归分析与独立性检验和相关指数的应用问题，是基础题目．
根据统计分析的观点，对选项中的命题进行分析、判断即可．
【解答】
解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；
对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线y^=b^x+a^过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；
对于D，回归分析中，相关指数R2越大，越接近1，其模拟的效果就越好，正确．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：因为老师告诉他们四人中有2位优秀，2位良好，
老师给甲看了乙、丙的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，
因此说明乙和丙一个优秀，一个良好，
则甲和丁也是一个优秀，一个良好，
这一信息从甲说的话中可以得出；
给丙看了乙的成绩，则丙直到了乙的成绩，也知道了自己的成绩，
给丁看了甲的成绩，丁知道了甲的成绩，也知道了自己的成绩，
所以丙和丁可以知道自己的成绩．
故选：A．
由老师给甲看了乙、丙的成绩，说明乙和丙一个优秀，一个良好，甲和丁也是一个优秀，一个良好，然后进一步推理，即可判断得到答案．
本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，以及逻辑推理的核心素养，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知，t −
=
1+2+3+4+5
5
=3，
z −
=1
5×(log 28+log 232+log 2128+log 2256+log 21024)=6.6， 又回归直线方程z =1.7t +log 2k ， 所以6.6=1.7×3+log 2k ， 解得k =21.5． 故选：A ．
先求出样本中心，然后利用回归方程必过样本中心，列式求解即可．
本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：直线ρcosθ+ρsinθ=a ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ
x 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为
x +y −a =0，
圆ρ=3转换为直角坐标方程为x 2+y 2=9．
所以圆心(0,0)到直线x +y −a =0的距离d =√2=3， 解得a =±3√2(负值舍去)， 故a =3√2． 故选：C ．
直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的
应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，√3+√7>0且2√5>0，(√3+√7)2<(2√5)2是√3+√7<2√5的充分条件，A 正确；
对于B ，若(a 2−1)(b 2−1)≥0，变形可得a 2b 2−a 2−b 2+1≥0，即a 2+b 2−1−a 2b 2≤0，则(a 2−1)(b 2−1)≥0是a 2+b 2−1−a 2b 2≤0的充分条件，B 正确； 对于C ，x 1+x 2>4，且x 1x 2>4不能推出证一元二次方程的两个根x 1，x 2都大于2，如x 1=1，x 2=5，C 错误；
对于D ，若a +c =2b ，则a ，b ，c 为等差数列，故a +c =2b 是a ，b ，c 为等差数列充分条件，D 正确； 故选：C ．
根据题意，依次分析选项中推理是否正确，综合可得答案． 本题考查分析法的运用，注意分析法与综合法的不同，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：∵|x −3|+|x +a|≥|a +3|，
∴若不等式|x −3|+|x +a|<5有解，只需|a +3|<5， ∴−8<a <2，
故实数a 的取值为(−8,2)． 故选：B ．
运用不等式的性质，可得|x −3|+|x +a|≥|a +3|，将原问题转化为|a +3|<5，即可求解．
本题主要考查绝对值不等式的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：将{x′=λx
y′=μy 代入x′2−y′2−2x′=0，得λ2x 2−μ2y 2−2λx =0，
此方程与x 2−16y 2−4x =0表示同一曲线，
∴
λ21
=
μ216
=
2λ4
，且λ>0，μ>0，则解得λ=1
2,μ=2．
故选：B ．
可将{x′=λx y′=μy 代入x′2−y′2−2x′=0，所得方程和与x 2−16y 2−4x =0表示同一曲线，
这样即可解出λ，μ的值．
本题考查了同一曲线的方程对应系数的关系，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：设曲线C 上的点坐标为P(3cosθ,4sinθ)，利用点P 到直线x −2y −7=0的距离d =
√5
=
√5
=35,sinα=4
5
)，
当cos(θ+α)=−1时，d max =
12√5
5， cosθ=cos(π−α)=−cosα=−3
5， 所以3cosθ=−9
5． 故选：D ．
直接利用三角函数关系式的变换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的诱导公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13.【答案】√5
【解析】解：复数z 满足(2−i)z =4+3i ， 可得|2−i||z|=|4+3i|， 可得|z|=
√42+32√22+(−1)2
=√5．
故答案为：√5．
利用复数的模的求法否则化简求解即可． 本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
14.【答案】880
【解析】解：年龄低于40岁的人数为1000×3
5=600，则年龄不低于40岁的人数为400， 所以这1000名骑行人员中，戴头盔人数为600×0.9+400×0.85=880(人)， 故答案为：880．
根据条件求得年龄低于40和不低于40的人数分别为600、400，再结合等高条形图得到戴头盔人数即可
本题考查条形图的识别与应用，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】
8n −17
【解析】解：根据题意，由图分析可得：a 1=1，a 2=8a 1+1=8+1， a 3=8a 2+1=82+8+1，……
则a n =8a n−1+1=8n−1+8n−2+⋯…+8+1=1(1−8n )1−8
=
8n −17
；
故答案为：
8n −17
．
根据题意，分析可得a n =8a n−1+1，代入数据可得a n =8n−1+8n−2+⋯…+8+1，由此计算可得答案．
本题考查归纳推理的应用，注意分析图形的变化规律，属于基础题．
16.【答案】{a|a ≥1
3或a <−2}
【解析】解：①当x >3时，2x −6+1≤ax 有解，即(2−a)x −5≤0有解， 若a <2时，则只需(2−a)×3−5<0，解得1
3<a <2， 若a ≥2时，则不等式(2−a)x −5≤0，显然成立， ∴a >1
3
．
②当x ≤3时，−2x +6+1≤ax 有解，即(2+a)x −7≥0有解， 若a <−2时，不等式(2+a)x −7≥0，
若a ≥−2时，则只需(2+a)×3−7≥0，解得a ≥1
3， ∴a <−2或a ≥1
3，
综上所述，实数a 的取值范围为{a|a ≥1
3或a <−2}．
故答案为：{a|a≥1
3
或a<−2}．
根据已知条件，分x>3，x≤3两种情况讨论，取其并集，即可求解．
本题主要考查不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−π
3)=5，根据{
x=ρcosθ
y=ρsinθ
x2+y2=ρ2
转换为直角坐标方程为(x−1)2+(y−√3)2=9．
圆心坐标为(1,√3)转换为极坐标为(2,π
3
).
把直线l：θ=π
6
代入圆的极坐标方程为ρ2−2√3ρ−5=0，
所以ρ1+ρ2=2√3，ρ1ρ2=−5，
所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=4√2．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】证明：(1)∵x>y，
∴x3−y3−(x2y−y2x)=x2(x−y)+y2(x−y)=(x−y)(x2+y2)>0，
则x3−y3>x2y−y2x；
(2)由a+b+c=3，得(a+b+c)2=9，即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=9，
∵a，b，c为正实数，∴a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)，当且仅当a=b=c时等号同时成立．
故3ab+3bc+3ac≤9，即ab+bc+ac≤3．
【解析】(1)直接利用作差法证明；
(2)由a+b+c=3，得(a+b+c)2=9，展开平方后得a2+b2+c2+2ab+2ac+
2bc=9，再结合基本不等式证明．
本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用及作差法证明不等式，是基础题．
19.【答案】解：(1)因为从女性观众的评分中随机抽取一份，“不满意”的概率为0.3， 所以女性观众不满意的人数为0.3×200=60人， 则女性观众满意的人数为200−60=140人，
由频率分布直方图可知，男性观众不满意的人数为300×(0.015+0.025)×10×300=1290，
则男性观众满意的人数为300−120=180人， 故列联表如下：
(2)由(1)中表格中的数据可得，K 2=
500×(140×120−180×60)2
300×200×320×180
=
12524
≈5.208>3.841，
所以有95%的把握认为对该综艺节目是否满意与性别有关．
【解析】(1)由题中的数据信息，列出列联表即可；
(2)由列联表中的数据，计算K 2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案． 本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当m =1时，则有|x +1|−|2x −1|≥−3，
当x <−1时，−x −1+2x −1≥−3，解得x ≥−1，即无解， 当−1≤x ≤1
2时，x +1+2x −1≥−3，解得x ≥−1， ∴−1≤x ≤12，
当x >1
2时，x +1−2x +1≥−3，解得x ≤5， ∴1
2<x ≤5，
综上所述，不等式f(x)≥−3的解集为{x|−1≤x ≤5}． (2)由题意可知，f(x)={x −2m,x <−m
3x,−m ≤x ≤m
2−x +2m,x >m
2
，
记函数f(x)的图像与x 轴围成三角形ABC ，不妨设A(0,0)，B(2m,0)，
则可得C(m 2,
3m
2
)，
∴S △ABC =12
×2m ×3m 2
=
3m 22
，
∵
3m 22
>3，且m >0，
∴m >√2，
∴m 的取值范围为(√2,+∞).
【解析】
(1)当m =1时，则有|x +1|−|2x −1|≥−3，分x <−1，−1≤x ≤1
2，x >1
2三种情况讨论，取其并集，即可求解．
(2)按x =−m ，x =m
2分类讨论f(x)，可得f(x)={x −2m,x <−m 3x,−m ≤x ≤m 2−x +2m,x >m
2，记函数f(x)的图
像与x 轴围成三角形ABC ，结合m 的取值范围和三角形的面积公式，即可求解． 本题主要考查了绝对值不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，x −
=3,y −
=750，
∑x i 5i=1y i −5x −y −
=11750−5×3×750=500，
∑x i 25i=1−5x −2=55−45=10，
所以b ̂
=50010
=50，
则a ̂
=y −−b ̂
x −=750−50×3=600， 故所求线性回归方程为y ̂
=50x +600；
(2)2021年第一季度x 分别取6，7，8，每月的人均月纯收入均为预测值的1
3， 第一季度总收入记为S 1，
则S 1=1
3×[50×(6+7+8)+600×3]=950； 从4月份考试，每月的人均月纯收入均为预测值的4
5， 4月份的预测值是50×9+600=1050，
后九个月的总收入预测值可以看成是首项为1050，公差为50的等差数列的前9项和， 后九个月的总收入记为S 2， 则S 2=4
5×(9×1050+
9×82
×50)=9000，
故该家庭2021年人均年纯收入为950+9000=9950，
因为9950>8000，
所以估计该家庭2021年能达小康标准．
【解析】(1)先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程； (2)求出第一季度总收入，利用等差数列的求和公式求出后九个月的总收入，即可得到该家庭2021年人均年纯收入，比较即可得到答案．
本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+tcosα
y =−2+tsinα(t 为参数)，当cosα=0时，直
线l 的方程为x =−1；
当cosα≠0时，直线l 的方程为y =tanα(x +1)−2．
(2)当直线l 的倾斜角α=π
4时，直线l 的参数方程为{
x =−1+√2
2t y =−2+√2
2t
(t 为参数)代入
y 2=2px ，
得到：t 2−2√2(2+p)t +4p +8=0， 所以t 1+t 2=2√2(2+p)，t 1t 2=4p +8， 由于|M 0A|，|AB|，|M 0B|成等差数列， 所以t 1+t 2=2(t 1−t 2)， 整理得：3p 2+4p −4=0， 解得p =−2或2
3， 由于p >0， 所以p =2
3．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．。