异面直线专题知识公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

∴ BE=DE ∴ △EBD是等腰三角形
∵EF是底边上中线 ∴EF⊥BD
同理：EAF
⊥AC， ∴EF是AC、BD公垂线段。
(2)△ABC中AB=BC=10，
E AC=16，E为AC中点 ∴BE=6
F B
D
Rt△BEF中，BF=4
异面直线AC ,BD的距离为
C
EF 2 5
第20页
例三、长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB、 BC、AA1长，作出BD1与AC所成角或补角， 并指明能够在那一个三角形中求出此角。
点O，过O作两异面直线平行线
a1,b1,则称a1,b1所成锐角或直角 为
两异面直线a,b所成角。
b a
O a1
b1
第7页
思 考：
1、异面直线所成角取值范围是多少？
异面直线所成角a取值范围是 0°<a≤90°
2、在实际问题中，是否在空中任 找一点作为O点，应如何找O点才 有助于作平行线和计算？
第8页
O
a1
帮 助
b1
解 答
第5页
分别在与空异中面再直任线意平取行一相点交O直2线，a作1ab21∥所a成、 直b角2∥或b锐.那角么只a1与b1异,a2面b2直所线成直位角置或相锐关角， 与相O等点吗位？置这无阐关明。了什么问题？
O2 a2
b2
b a
O a1
b1 第6页
定义
a,b是两异面直线，在空中任取一
第1页
异面直线知识回顾：
异面直线定义：
不同在任一平面里直线
异面直线判断办法：
1、不平行也不相交直线。 2、过平面外一点与平面内一点直线，和 平面内不通过该点直线是异面直线。
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如图所表示：正方体棱所在 直线中，与直线A1B异面有哪 些？
D1
C 1 答案：
A1
B 1 D1C1、C1C、CD
D
C D1D、AD、B1C1
10
BE 10
返回
第25页
A
B
第3页
用平行直线之间距离d
可拟定它们位置。
d
a
b
用相交直线所成直角或锐 角能够拟定两相交直线位 置关系。
那又应用什么来拟定 两异面直线位置关系
b
a
呢？
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a,b是两异面直线，若在 空中任取一点O，过O作 两异面直线平行线a1,b1, 则a1,b1所成锐角或直角 大小一定吗？为何？
b
a
想一 想
D
C 7。 A1B与B1C 60°
A
B
帮助解答 第10页
特殊地，若a1,b1所成角为直角，也就是 说异面直线所成角等于90°时，称：
两异面直线互相垂直
b
b1
思考
a
O a1
1、和始终线垂直直线有几条？
2 、互相垂直直线一定相交吗?
3、垂直于同始终线两直线平行吗？
返回 第11页
练
已知空间四边形ABCD两对角线 互相垂直，且AC=6，BD=8，E、
习 G分别是AB、CD上中点，求线段
EG长度。
思绪：两如对何角表线达互两相对垂角直线，互即相他垂们直所？
成角为直角，应把这个角作出
F
又E、G是AB、CD中点，考
虑作AD中点F，利用中位线
EF、GF构成三角形EFG进行
计算。 第12页
解
解：取AD中点F，连结EF，FG，则EF是 △ ABD中位线，FG是△ ADC中位线。
★公垂线夹在两异面直线间线段 长度，叫两异面直线距离。
l a AE
b FB
在两异面直线上各取一 点，这两点间距离最小 值就是两异面直线距离。
如图所表示：EF>AB
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找出每对异面直线公 D 1
C1
垂线，若正方体边长
A
1
为1，请回答每对异
B1
面直线距离是多少。
D
C
A
B
1、 A1B与D1C1公垂线是_A_1_D_1_距离是_1_ 2、A1B与C1C公垂线是__B_C__距离是__1__ 3、 A1B与CD公垂线是__B_C__距离是__1__
先在其中一条直线上找一点（或找图形 中与两异面直线都相关一点），作异面直 线平行线，将异面直线所成角转化为相交 直线所成直角或锐角。
然后看这个角所在三角形是哪一个，利 用三角形性质和三角函数进行计算。
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若a⊥b，b⊥c，则a，c位置关系 有三种：平行，相交，异面
a b
c
平行
ac b
相交
a b c
E
成角？
F A
C 考虑利用中点E作△DAC中位 线EF，∠BEF就是异面直线
B
所成角。
作出了异面直线所成角后应如何
进行计算？ 利用△BEF。
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例2、空间四边形ABCD四边长为10，对角线 BD=8，AC=16，E，F分别是AC、BD中点 求证:(1)EF是AC、BD公垂线段；(2)求出异
面直线AC、BD距离。 （参考解答）
若a,c是异面直线，a⊥b， b⊥c，b与a,c都相交，这样b 又能有几条？请同窗们试一下。
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★与异面直线都垂直且相交直线有 且只有一条，它叫
两异面直线公垂线
a b c
如图所表示：a⊥b，b⊥c且b与两异面 直线a、c都相交，把直线b叫作a,c两异 面直线公垂线。
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l是a,b公垂线，且与a,b交点分别是A、B那 么线段AB长叫异面直线a,b距离。
O点取法：
普通来说，O点要取在其中一条异 面直线上，或是题目条件中某始终 线上一些特殊点，如中点。
b a
b
O a1
a
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判断每对异面直线所成角是多少？
1。 A1B与D1C1 45°
2。 A1B与C1C 45°
3。 A1B与CD 45°
D1
C 1 4。 A1B与C1D 90°
A1
5。 A1B与B1D1 60° B 1 6。 B1B与AD 90°
4、 B1B与AD公垂线是__A_B__距离是__1__ 5、 A1A与B1C1公垂线是_A_1_B_1_距离是__1__
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例1、等腰Rt△ABC中，∠A=90°，
BC= 2 ,DA⊥AC,DA ⊥AB,若AD=1， 且E是AD中点，求异面直线EB、DC所 成角余弦。 （参考解答）
D 思考： 如何作出异面直线EB、DC所
答
∴ EF∥BD
FG∥AC，
∴ ∠EFG为异面直线AC、BD所
成角。
∵BD=8,AC=6 ∴ EF= 4,EFG=90°
∴在Rt△EFG中，
EG EF 2 FG2 32 42 5
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若a⊥b，b⊥c，则a，c 位置关系是什么？这样b有几 条？请同窗们合作，用笔比量 一下。 a,c能够平行、相交或异面，满 足条件b有无数条。
D1
A1 G D
O
A
C
作AC、BD交点O， 1DD1中点G ，连结GO，
B1
OD，则 C ∠GOD，可作为BD1与
AC所成角，可在
B △GOD中求这个角。
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1、异面直线所成角即与之分别平行
总 结
一组相交直线所成直角或锐角，当异 面直线所成角为直角时，称两异面直 线垂直。注意：垂直末必相交。
2、在处理异面直线所成角问题时， 常通过下列环节：
取AC中点F连EF, FB.则BEF即为BE, DC所成的角.
在RtEAB中, AB 1, AE 1 , EB 5
2
2
在RtAEF中, AF 1 AC 1 , AE 1 , EF 2
2
2
2
2
在RtABF中, AB 1, AF 1 , FB 5
2
2
1 EF 在等腰EBF中, cos BEF 2
异面
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4、 A1B与C1D所成角即A1B与 为 。 90°
D1
C1
D1
A1
B1
A1
A所B1成角，
C1 B1
第5题 第4题
D A
C
D
B
A
C B
5角A、1，B与A三1BB角1与D形1B所1D成1所角A成为为1角BD即。A6正10B°三与角，形因B所D此成
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例1简朴参考解答过程：
A
思考
EF是AC、BD公垂线意味着 什么？ EF ⊥ AC，EF ⊥BD
F B
E
D C
上面答案再加上条件：E、 F是中点，能够引出一些 什么样结论？
EF是AC中垂线，△AFC是等腰三角形。
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连结EB、ED、AF、FC。
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∵ABCD四边长都为10 ∴ △ADC≌ △ABC
∵BE、DE是两三角形相应边上中线