重庆育才中学届中考一诊数学试题含答案

2017届初三（下）第一次诊断性考试
数学试题
（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1. 试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2. 作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3. 作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成；
4. 考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠ 的顶点坐标为24,24b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，对称轴为2b
x a =-
． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、
C 、
D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在3，2-，0，5-这四个数中，最小的数是（ ）
A ．5-
B ．2-
C ．3
D ．0
2．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．计算23()ab 的结果，正确的是（ ）
A ．36a b
B ．35a b
C ．6ab
D ．5ab
4．下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）
A ．对我国初中学生视力状况的调查
B ．对量子科学通信卫星上某种零部件的调查
C ．对一批节能灯管使用寿命的调查
D ．对“最强大脑”节目收视率的调查 5．如图，∠1=65°，CD ∥EB ，则∠B 的度数为（ ）
A ．65°
B ．105°
C ．110°
D ．115°
6．若∆ABC ∽∆DEF ，相似比为1：3，则∆ABC 与∆DEF 的面积比为（ ）
A ．1：9
B ．1：3
C ．1：2
D ．1：3
7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D =40°，则∠CAB 的度数为（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．70°
8．在平面直角坐标系中，点(2,1)M -在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．估计61+的值在（ ）
A ．2到3之间
B ．3到4之间
C ．4到5之间
D ．5到6之间
10．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是（ ）
A ．56
B ．58
C ．63
D ．72
11．如图，某高楼OB 上有一旗杆CB ，我校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度1:3i =的山坡从坡脚的A 处前行50米到达P 处，测得旗杆顶部C 的仰角为45°，旗杆底部B 的仰角为37°（测量员的身高忽略不计），已知旗杆高BC =15米，则该高楼OB 的高度为（ ）米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A ．45
B ．60
C ．70
D ．85
12．如果关于x 的不等式组0243(2)x m
x x -⎧>⎪
⎨⎪-<-⎩的解集为1x >，且关于x 的分式方程1322x m x x -+=--有非负整
数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．7-
D ．8- 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数16200用科学记数法表示为．
14．计算：201
()(3)92π-+--=．
15．如图，在∆ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，AB =2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为． 16．一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别
标有1，1-，2-，3-四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为． 17．甲、乙两车分别从A ，B 两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A 地后，继续保持原速向远离B 的方向行驶，而甲车到达B 地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过15小时后两车同时到达距A 地300千米的C 地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y （千米），y 与x 之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B 地时，乙车距A 地千米．
18．如图，在正方形ABCD 中，点C 1在边BC 上，将∆C 1CD 绕点D 顺时针旋转90°得到∆A 1AD 。

A 1F 平分∠BA 1C 1，交BD 于点F ，过点F 作FE ⊥A 1C 1，垂足为E ．当A 1E =3，
第11题图
C1E=2时，则BD的长为．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
19．如图，点A、B、C、D在同一直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：
AE=FC．
20．为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生只能从“A（植物园），B（花卉园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是，补全条形统计图；
（2）若该学校共有3600名学生，试估计该校最想去湿地公园的学生人数．
四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
21．计算：
（1）2
(2)()(2)
x y x y x y
--++；（2）
2
2
95
(2) 242
y
y
y y y
-
÷--
--
22．如图，已知一次函数y kx b
=+的图象分别与x、y轴交于点B、A，与反比
例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=1
2
，OB=4，OE=2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求线段CD的长．
23．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销，购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出；若每涨价0.1元，销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）
的条件下的最高售价减少
2
15
m%．结果10月份利润达到3300元，求m的值（m＞0）．
24．一个正整数，由N 个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N 位数可以被N 整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”． （1）若四位数123k 是一个“精巧数”，求k 的值；
（2）若一个三位“精巧数”2ab 各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．
五、解答题：（本大题共2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．
25．已知，∆ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，E 为边AC 任意一点，连接BE ． （1）如图1，若∠ABE =15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO =1，求BC 的长；
（2）如图2，F 也为AC 上一点，且满足AE =CF ，过A 作AD ⊥BE 交BE 于点H ，交BC 于点D ，连接DF
交BE 于点G ，连接AG ．若AG 平分∠CAD ，求证：1
2
AH AC =．
26．如图1，已知抛物线23233y =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点A 作AE ⊥AC
交DH 的延长线于点E ． （1）求线段DE 的长度；
（2）如图2，试在线段AE 上找一点F ，在线段DE 上找一点P ，且点M 为直线PF 上方抛物线上的一点，求当∆CPF 的周长最小时，∆MPF 面积的最大值是多少；
（3）在（2）问的条件下，将得到的∆CFP 沿直线AE 平移得到∆C ′F ′P ′，将∆C ′F ′P ′沿C ′P ′翻折得到∆C ′P ′F ″，记在平移过称中，直线F ′P ′与x 轴交于点K ，则是否存在这样的点K ，使得△F ′F ″K 为等腰三角形？若存在求出OK 的值；若不存在，说明理由．
数学试题参考答案与评分意见
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A B D A C B B B C C
二、填空题：
13. 1.62×104；14. 2；15. ﹣；16. ；17. 100；18.．
三、解答题：
19.证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，………………………（3分）
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F………………………（5分）
∴△ABE≌△FDC（ASA），………………………（6分）
∴AE=FC．………………………（8分）
20.解：（1）本次调查的样本容量是15÷25%=60；………………………（2分）
选择C的人数为：60﹣15﹣10﹣12=23（人），………………………（4分）
补全条形图如图：
………………………（6分）
（2）×3600=1380（人）．
答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约由1380人．………………………（8分）
四、解答题：
21.解：（1）原式=4x2﹣4xy+y2﹣（2x2+3xy+y2）………………………（2分）
=4x2﹣4xy+y2﹣2x2﹣3xy﹣y2………………………（3分）
=2x2﹣7xy………………………（5分）
（2）原式=(3)(3)
2(2)
y y
y y
+-
-
÷………………………（7分）
=(3)(3)
2(2)
y y
y y
+-
-
×
2
(3)(3)
y
y y
-
+-
………………………（9分）
=．………………………（10分）
22.解：（1）设该反比例函数的解析式为y=，………………………（1分）
∵tan∠ABO=，OB=4，OE=2，∴CE=（OB+OE）=3，…………………（3分）
∴点C的坐标为（﹣2，3）．………………………（4分）
∵点C在该反比例函数图象上，∴3=，解得：m=﹣6．
∴该反比例函数的解析式为y=﹣．………………………（5分）
（2）∵点B（4，0），点C（﹣2，3）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴有，解得：．
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2．………………………（7分）
令y=﹣x+2=﹣，即x2﹣4x﹣12=0，解得：x=﹣2，或x=6．
∵当x=6时，y=﹣=﹣1，即点D的坐标为（6，﹣1）．……………………（8分）
∵点C坐标为（﹣2，3），
∴CD=4．………………………（10分）
23.解：（1）设售价应为x元，依题意有
1160﹣≥1100，………………………（3分）
解得：x≤15．
答：售价应不高于15元．………………………（4分）
（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），由题意得：
1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]=3300，………………………（7分）
设m%=t，化简得2t2﹣t=0，解得：t1=0，t2=0.5，
所以m1=0，m2=50%，因为m＞0，所以m=50．………………………（9分）
答：m的值为50．………………………（10分）
24.解：（1）∵四位数是一个“精巧数”，
∴1230+k是4的倍数；
即1230+k=4n，………………………（3分）
当n=308时，k=2；当n=309时，k=6，
∴k=2或6；………………………（5分）
（2）∵是“精巧数”，∴a为偶数，且2+a+b是3的倍数，
∵a＜10，b＜10，∴2+a+b＜22，
∵各位数字之和为一个完全平方数，
∴2+a+b=32=9，………………………（7分）
∴当a=0时，b=7；当a=2时，b=5；当a=4时，b=3；当a=6时，b=1，
∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261．…………………（10分）
五、解答题：
25.（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．
在Rt△ABE中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，………………………（2分）
设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，∵AB2+AE2=BE2，∴（2x+x）2+x2=22，
∴x=（负根舍弃），∴AB=AC=（2+）•，
∴BC=AB=+1．………………………（4分）
（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．
∵BE⊥AP，∴∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAH+∠PAC=90°，∴∠ABE=∠PAC，
在△ABE和△CAP中，
，
∴△ABE≌△CAP，
∴AE=CP=CF，∠AEB=∠P，………………………（5分）
在△DCF和△DCP中，
，
∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC=∠P，∴∠GFE=∠GEF，
∴GE=GF，∵GM⊥EF，∴FM=ME，
∵AE=CF，∴AF=CE，∴AM=CM，………………………（7分）
在△GAH和△GAM中，
，
∴△AGH≌△AGM，………………………（9分）
∴AH=AM=CM=AC．………………………（10分）
26.解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+，
令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），∴DH=，
令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴=，即=，
解得：EH=，则DE=2；………………………（3分）
（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），
连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN 最小，………………………（5分）
直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，
联立得：F （0，﹣），P（2，），………………………（6分）
过点M作y轴的平行线交FH于点Q，
设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣），（0＜m＜2）；
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，
∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，
∴m=时，△MPF面积有最大值：；………………………（8分）
（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），∴CF=，CP==，
∵OC=，OA=1，∴∠OCA=30°，
∵FC=FG，∴∠OCA=∠FGA=30°，∴∠CFP=60°，
∴△CFP为等边三角形，边长为，
翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，………………………（9分）
1)当K F′=KF″时，如图3，
点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），∴OK=3；
2）当F′F″=F′K时，如图4，
∴F′F″=F′K=4，∵FP的解析式为：y=x﹣，
∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，∵∠OAF=30°，∴F′K=F′A
∴AK=4∴OK=4﹣1或者4+1；
3）当F″F′=F″K时，如图5，
∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，∵∠OAF=30°，∴∠A F′F″=90°，
∵F″F′=F″K=4，∴AF″=8，∴AK=12，∴OK=11，
综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或11．………………………（12分）。