周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案第三章4-5刚体力学解析

所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶. P点叫简化中心, 力的矢量和叫主矢, 力偶矩的矢量 和叫对简化中心的主矩.
主矢使刚体平动状态发生变化 主矩使刚体转动状态发生变化
2 刚体运动微分方程
如果ri代表刚体中任一质点Pi 对静止系S原点O的位 矢, rC 为质心C对O的位矢, 而ri’ 为Pi 对质心C的位矢, 动 坐标系S’随质心作平动, 其原点与质心C重合.
2
a R
T
a mg 5 m s2
mm
mM 2
h 1 at 2 2.5 m T 40 N
mg
2
例3、一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点， 距A端 l/3 . 杆从静止开始由水平位置绕O点转动. 求： （1）水平位置的角速度和角加速度. （2）垂直位置时的角速度和角加速度.
述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数
解： 受力分析知本题是一共
y
面力系的平衡问题, 取棍子所 在的平面为xy平面, 则
Fx 0, N1 sin 0 f 0
B
N1
Cl
Fy 0, N1 cos0 N2 P 0
对A点
Pl cos0 N1h / sin 0 0
h P
O
l N2
0
x
f
A
第三章 刚体力学
导读
• 空间力系和平行力系的求和 • 刚体运动微分方程和平衡方程 • 简单转动惯量的计算 •转动惯量的计算
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1 力系的简化
F1 F2 F3
将所有空间力作用点都迁移到一点.
力是滑移矢量
F
F
F
F
力可沿作用线移动，不能随意移动
设F’为作用在刚体A点上的一个力, P为空间任意一 点, 但不在F’的作用线上.
盘面垂直的轴的转动惯量
I 1 mR2 2
r dr Ro
例2、质量 M = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑 轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m=8kg 的物体. 求（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离. （2）绳子的张力.
解： mg T ma
M
T R 1 MR2
A
在P点添上两个与F’的作用线
F’
平行的力F1及F2, 且
r
F2
F1
P
F1 F2 0, F1 F2 F '
这样F’可以化为过P点的力F1和F’及F2所组成的 一个力偶.
力偶 方向：永远垂直于力偶的作用面
大小：与o点无关。
因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于 自身任意移动位置，不影响其效应。
解： Io Ic md 2
A
c
B
I0
1 12
ml2
m
l 6
2
1 9
ml2
o
（1）水平
o 0
mg l 1 ml2
69
3g
2l
（2）垂直
A
c
B
M 0, 0
o
机械能守恒 势能零点O
1 2
I0 2
mg
l 6
0
0
3g
l
（3）任意位置
A
c
B
M
mg
l cos
6
I0
o
1 2
I0 2
mg
rG
若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Ic ，
则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转
动惯量 Iz 是
Iz Ic md 2
质量为 m,长为 l 的细棒绕通过其端点和质心的垂
直轴的转动惯量
z
I 1 ml2 3
IC
1 ml2 12
o
dm
x dx
x
质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘, 通过盘中心并与
I xx
I yx
I
zx
I xy I yy Izy
I xz
I yz
I zz
叫做惯量张量, 元素叫惯量张量的组元或惯量系数.
利用矩阵乘法,得
Hale Waihona Puke I I xxI yx
I xy I yy
I xz I yz
I
zx
Izy
I zz
Lx I xx I xy I xz x
f Pl cos0 sin 2 0 / h N2 P Pl cos2 0 sin 0 / h
f N2
Pl cos0 sin 2 0 / h P Pl cos2 0 sin 0 / h
§3.5 刚体转动惯量
1 刚体的动量矩
刚体以作定点转动, 其中质点Pi对定点的位矢是ri,
则质点对定点的动量矩为
OQ 1 R I
I 为刚体绕该轴的转动惯量, 则Q点的坐标将是
x R, y R , z R
因过O点有很多转轴, 则有很多的Q点，这些点的轨迹是
Ixx x2 I yy y2 Izz z2 2I yz yz 2Izxzx 2Ixy xy 1
这是一个中心在O点的椭球, 通常叫惯量椭球, 如O为质心, 又叫中心惯量椭球. 椭球有三个主轴, 如坐标轴选取与之重合, 则惯量积消失.
11水平水平22垂直垂直33任意位置任意位置惯量张量和惯量椭球对形状规则的刚体将转动惯量写为积分形式yxxyzxxzzyyz对通过空间某一点对通过空间某一点oo的轴线的轴线为转动瞬轴相对于为转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦坐标轴的方向余弦xyzxyzzzyyxx一次算出轴转动惯量和惯量积通过o点的任一轴线的转动惯量都可得出
dt
M x
dJ y dt
M y
dJ z
dt
M z
六个独立的方程
刚体有六个独立变量. 故质心运动及绕质心转动两 组方程式恰好确定刚体的运动情况. 也可应用动能原理， 作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个.
注意: 这时刚体内力所作元功之和为零, 故刚体动能的 微分等于刚体在运动过程中外力所作的元功之和.
1
2
i
ri
mivi
1
2
L
1 2
I xx x2 I yyy2 I zz z 2 2I yzyz 2I zxzx 2I xyxy
刚体对定点的转动动能也可以写为
Ek
1 2
i
mivi vi
1 2
i
mi
ri
ri
1 2 2
i
miri2 sin 2 i
1 2 2
Lx I xx x I xyy I xz z
Ly I yx x I yyy I yz z Lz I zx x I zyy I zz z
2 刚体的转动动能
刚体以作定点转动, 对定点的转动动能为
Ek
1 2
i
mivi
2
1 2
i
mivi vi
1
2
i
mi
vi
ri
i
mi i2
1 2
I 2
3 刚体的转动惯量
上式中i为Pi的位矢 ri 与角速度矢量之间的夹角, i 为自Pi至转动瞬轴的垂直距离，而 I 称为刚体绕
转动瞬轴的转动惯量.
回转半径 rG I / m
z
物体的转动惯量决定于物体的质量
分布的情况, 又决定于转动轴的位置. 转
动轴不同,即使是同一物体转动惯量也不 同. 平行轴定理
I xx y2 z2 dm I yy z2 x2 dm I zz x2 y2 dm
I xy I yx xydm
I xz I zx zxdm I yz I zy yzdm
惯量椭球与惯量主轴
Ixx x2 I yy y2 Izz z2 2I yz yz 2Izxzx 2Ixy xy 1
Ly I yx I yy I yz y
Lz
I
zx
Izy
I zz z
惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时, 刚体转动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体上、 并随着刚体一同转动的动坐标系, 这样, 惯量系数都是常 数．
显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除, 如在转动轴上, 截取线段
ri mivi
整个L刚体对定r点i 的m动iv量i 矩为
mi
ri
ri
i
mi
r
2
ri
i
ri
i
动量矩一般不与刚体角速度共线. (动量与速度总共线)
在直角坐标系下
ri
xii
yi
j
zik
xi y j zk
所以
Lx mi x xi2 yi2 zi2 xi x xi y yi z zi
i
x mi yi2 zi2 y mi xi yi z mi xi zi
i
i
i
Ly x mi yi xi y mi zi2 xi2 z mi yi zi
i
i
i
Lz x mi zi xi y mi zi yi z mi xi2 yi2
i
i
i
引入符号
3 刚体平衡方程 若刚体处于平衡状态：
F 0 M 0
如为共面力系, 且设诸力均位于xy平面内, 则平衡方 程简化为
Fx 0, Fy 0, M z 0
例1、一根均匀的棍子、重为P长为2l. 今将其一端置于 粗糙地面上，又以其上的C点，靠在墙上，墙离地面的
高度为h.当棍子与地面的角度为最小值0时, 棍子在上
I xx mi yi2 zi2 I yy i mi zi2 xi2
i
I zz mi xi2 yi2
i
刚体对各轴的转动惯量
I xy I yx mi yi xi
i
I xz I zx mi zi xi i
I yz I zy mi zi yi
i
惯量积
则刚体动量矩表达式简化为
则刚体质心C的运动方程为
mrC
F (e) i
F
刚体在动坐标系S’中的相对运动对质心C 的总角动量
满足
•
J' M'
对固定坐标系中的定点O, 上式仍有效, 只需将J’改J (对定点 O的总角动量)，M’改M.
刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动
MMyxcc
Fx Fy
Mzc Fz
dJ x
I1x2 I2 y2 I3z2 1
I1, I2, I3称为O点上的主转动惯量.
此时有
L I1xi I2y j I3zk
Ek
1 2
I1x2 I2y2 I3z2
椭球与主轴交点的位矢R的方向和椭球上该点法线 的方向重合. 这是解析几何里求二次曲面主轴的方法, 或线性代数里求本征值的方法. 在力学里, 大都是对称 的均匀刚体, 而这种刚体的惯量主轴, 则可根据对称性 很方便地求出.
对通过空间某一点O的轴线, , , 为转动瞬轴相对于
坐标轴的方向余弦, 则
z
x ,y ,z
P(d, m)
o xy
z xy
I Ixx 2 I yy 2 Izz 2 2I yz 2Izx 2Ixy
一次算出轴转动惯量和惯量积, 通过O点的任一轴线的 转动惯量都可得出.
三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个 物理量, 代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩 阵的形式
l 6
sin
00
势能零点O
4 惯量张量和惯量椭球
对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式
I xx y2 z2 dm I yy z2 x2 dm I zz x2 y2 dm
I xy I yx xydm
I xz I zx zxdm I yz I zy yzdm
力系的简化规则 刚体运动微分方程
小结
刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动
MMyxcc
Fx Fy
Mzc Fz
dJ x
dt dJ y dt
M x M y
dJ z
dt
M z
六个独立的方程
转动惯量
1
Ek 2
i
mivi
2
1 2
I xx x2 I yyy2 I zz z 2 2I yzyz 2I zxzx 2I xyxy